Mat4. Act. 6

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Nombre: Andrés Jaramillo Inclán Nombre del curso: Matemáticas IV Módulo: 3. Circunferencia y elipse.

Matrícula: 2595678 Nombre del profesor: Adriana del Carmen Cantú Actividad: 6. El ángulo entre rectas. La ecuación

Parábola e hipérbola. de una familia de rectas. Fecha: 28 de septiembre de 2009 Equipo: No Aplica. Bibliografía: - Melba Alicia Guerra. Apoyos Visuales del Tema 6. 2009-09-28. http://cursos.tecmilenio.edu.mx/cursos/ene08/prepa/pm/pm04400/apoyos/6.swf Ejercicio: Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el sentido en que se toman los ángulos para calcularlos cuando se encuentran formados por la intersección de rectas? 2. Tienes dos pendientes de dos rectas que forman los ángulos. ¿Cómo sabes cuál tomar como m1 y cuál como m2 para aplicarlas a la fórmula? 3. ¿Cuáles son las dos condiciones independientes que determinan una recta? 4. ¿Cómo se le llama a la constante arbitraria k? 5. Escribe la ecuación de la familia de rectas cuyo parámetro es la pendiente. 6. Escribe la ecuación de la familia de rectas cuyo parámetro es la ordenada en el origen. II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Calcula el ángulo formado por la intersección de las rectas L2 y L1, tomado de L2 a L1. La pendiente de L1 es -2/3 y la de L2 es de 2. 2. Encuentra el ángulo obtuso del paralelogramo cuyo vértices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y D(7,3). 3. Determina el valor del parámetro k de tal forma que la recta de la familia 2x –hk +3 = 0 sea perpendicular a la recta 6x + 5y -11 = 0. Escribe la ecuación de la recta. 4. Calcula también el ángulo de inclinación de cada lado. La recta que pasa por los puntos (-2,0) y (2,4) intersecta a la recta que pasa por (-4,2) y (2,0). Determina los ángulos formados por la intersección mediante la fórmula de ángulos formados entre dos rectas. 5. Los vértices de un paralelogramos son: A(0,4), B(4,0), C(0,-4) y D (-4,0). Calcula los ángulos interiores de esta figura. Traza su gráfica. 6. Determina los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (-7,3), B(3,6) y C(-4,7). 7. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 450. La recta inicial pasa por los puntos A(-2,1) y B (9,7) y la recta final por los puntos J(3,9) y K (-2, y). Determina la coordenada del punto K. 8. Encuentra el ángulo que pasa forma la recta que pasa por los puntos L(2,-3) y M(3,4) con la recta que une el origen C(0,0) con el punto D(6,2). Traza la gráfica para mejor interpretación de los datos. 9. Los puntos A(1,1), B(5,3) y C(6,-4) son los vértices de un triángulo isósceles. Encuentra el valor de uno de sus ángulos iguales. 11. Encuentra la ecuación de la recta con pendiente 2 y que pasa por la intersección de las rectas 3x + 2y -10 = 0 y 4x – 6y + 7 = 0. 12. Determina el valor del parámetro k de tal forma que la recta de la familia kx – y + 8 = 0 pase por el punto (-5,3). Encuentra la ecuación de la recta. 13. Usando el método del parámetro, encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (6,-8) y es paralela a la recta 5x – 9y -4 = 0 15. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 5x – 2y +1 = 0 y

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4x – 2y – 1 = 0. Encuentra su ecuación si es perpendicular a la recta 4x + 8y – 19 = 0 sin determinar su punto de intersección. __________________________________________________________________________

Procedimientos y Resultados: Contesta las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es el sentido en que se toman los ángulos para calcularlos cuando se encuentran formados por la intersección de rectas? Leer con atención la explicación de la actividad Se deben de medir en sentido contrario al de las manecillas del reloj 2. Tienes dos pendientes de dos rectas que forman los ángulos. ¿Cómo sabes cuál tomar como m1 y cuál como m2 para aplicarlas a la fórmula? Leer con atención la explicación de la actividad La pendiente m1 pertenece a la recta inicial, mientras que la pendiente m2 pertenece a la recta final 3. ¿Cuáles son las dos condiciones independientes que determinan una recta? Leer con atención la explicación de la actividad La pendiente y la ordenada en el origen de la recta 4. ¿Cómo se le llama a la constante arbitraria k? Leer con atención la explicación de la actividad Parámetro de la familia 5. Escribe la ecuación de la familia de rectas cuyo parámetro es la pendiente. Leer con atención la explicación de la actividad y=kx+b 6. Escribe la ecuación de la familia de rectas cuyo parámetro es la ordenada en el origen. Leer con atención la explicación de la actividad y=mx+k II. Resuelve los siguientes problemas: 1. Calcula el ángulo formado por la intersección de las rectas L2 y L1, tomado de L2 a L1. La pendiente de L1 es -2/3 y la de L2 es de 2. Para sacar el ángulo requerido debemos ubicar a cual es m1 y cual es m2, esto dependerá de cual sea el lado inicial y cual el final respectivamente.

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El lado inicial, según el problema, es L2, el lado final será entonces L1. Las pendientes serán m1=2 y m2=-2/3 Ya ubicados en el problema podemos sacar el ángulo solicitado, esto se hará con la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 Sustituyendo: tanθ=-2/3-2/1+(2)(-2/3) tanθ=-8/3/1+(-4/3) tanθ=-8/3/-1/3 tanθ=8 Con el resultado de la tangente, se saca la tangente a la menos 1 tan-18=82’8º 2. Encuentra el ángulo obtuso del paralelogramo cuyo vértices son: A(-2,1), B(1,5), C(10,7) y D(7,3). Para este problema debemos de trazar al paralelogramo para saber de que figura se trata y de esta forma saber cual es el ángulo obtuso que se debe de calcular Se sabe que se debe de calcular el ángulo que se forma de el lado inicial (AB) a el lado terminal (BC) Por lo que ahora debemos de calcular las pendientes de ambos lados m1AB=5-1/1+2 mAB=4/3 m2BC=7-5/10-1 mBC=2/9 Ahora si empleamos la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 para determinar el ángulo obtuso que se forma entre los lados AB y BC tanθ=2/9-4/3/1+(4/3)(2/9) tanθ=-10/9/1+(8/27) tanθ=-10/9/35/27 tanθ=-6/7 tan-1-6/7=(-40.60º+180º) = 139.4º 3. Determina el valor del parámetro k de tal forma que la recta de la familia 2x –hk +3 = 0 sea perpendicular a la recta 6x + 5y -11 = 0. Escribe la ecuación de la recta. Se debe de encontrar el valor de k, que es la pendiente de la ecuación. La pendiente de la ecuación 2xhk+3 es igual a la pendiente recíproca de signo contrario de la ecuación 6x+5y-11=0 Calculando pendiente de 6x+5y-11=0 con formula m=-A/B m=-6/5 recíproca de signo contrario=5/6 Sustituyendo en 2x-hk+3=0 y=(5/6)-2x-3 y=-5/3x-3 4. Calcula también el ángulo de inclinación de cada lado. La recta que pasa por los puntos (-2,0) y (2,4) intersecta a la recta que pasa por (-4,2) y (2,0). Determina los ángulos formados por la intersección mediante la fórmula de ángulos formados entre dos rectas. En este caso el lado inicial es el que se forma por (-4,2) y (-2,0), el final por (-2,0) y (2,4). Así que ya sabemos cual es m1 y cual m2 Calculando m1 m1=0-2/2+4 m1=-2/6 m1=-1/3 m2=4-0/2+2 m2=4/4 m2=1 Ahora se utiliza la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 para determinar el ángulo entre las rectas tanθ=1+1/3/1+(-1/3)(1) tanθ=4/3/1+(-1/3) tanθ=4/3/2/3 tanθ=2 tan-12=63º

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El siguiente paso es calcular los ángulos de inclinación de cada lado Angulo de inclinación de el lado cuya pendiente es -1/3 α=tan-1m α=tan-1-1/3 α=-18.43º α=-18.43+180=161.56º Angulo de inclinación de el lado cuya pendiente es 1 α=tan-1m α=tan-11 α=45º 5. Los vértices de un paralelogramos son: A(0,4), B(4,0), C(0,-4) y D (-4,0). Calcula los ángulos interiores de esta figura. Traza su gráfica. Primero se traza la gráfica

Ahora vamos a sacar tres pendientes, las de los lados AB, BC y DA, esto nos ayudará a determinar 2 ángulos que nos ayudarán a determinar los otros 2. Recordemos que un paralelogramo siempre suma 360º. Calculando pendientes mAB=0-4/4-0 mAB=-4/4 mAB=-1 mBC=-4-0/0-4 mBC=-4/-4 mBC=1 mDA=4-0/0+4 mDA=4/4 mDA=1 Ahora tenemos que determinar que pendientes son iniciales y que pendientes son finales dependiendo de los lados a los que les determinaremos su ángulo Entre mDA y mAB; mDA=m1 y mAB=m2 Entre mAB y mBC; mAB=m1 y mBC=m2 Es momento de determinar el ángulo DAB con la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 tanθ=-1-1/1+(-1)(1) tanθ=-2/1+(-1) tanθ=-2/0 tanθ=Err Angulo ABC tanθ=1+1/1+(1)(-1) tanθ=2/1+(-1) tanθ=2/0 tanθ=Err Como no se ha podido determinar ninguno de los angulos se intentara con el angulo BCD Necesitamos la pendiente de el lado CD para hacer el proceso mCD=0+4/4-0 mCD=4/4 mCD=1 m1=mCD m2=mBC Calculando BCD con fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 tanθ=1-1/1+(1)(1) tanθ=0/1+(1)

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tanθ=0/1 tan-10=0 Como se puede observar las pendientes no nos ayudaron a determinar los angulos del paralelogramo, pero al parecer las pendiente 1 y -1 son inversas y estos siempre pasa en los ángulos de 90º por lo tanto Todos los ángulos del paralelogramos son ángulos rectos de 90º 6. Determina los ángulos internos del triángulo cuyos vértices son A (-7,3), B(3,6) y C(-4,7). Para este problema, primero determinaremos las 3 pendientes de los lados del triangulo. mAB = 1/3 mBC = -1/7 mCA = 4/3 Una vez que tenemos las pendientes pasamos al cálculo de los ángulos con la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 Angulo BAC tanθ=4/3-1/3÷1+(4/3)(1/3) tan-1θ=34.69º Angulo ACB tanθ=-1/7-4/3÷1+(-1/7)(4/3) tan-1θ=-61.26º = -61.26+ 180 = 118.73º Angulo ABC 118.73º + 34.69º = 153.42º 180 – 153.42 Ángulo = 26.57º 7. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º. La recta inicial pasa por los puntos A(-2,1) y B (9,7) y la recta final por los puntos J(3,9) y K (-2, y). Determina la coordenada del punto K. Para encontrar la coordenada “y2” que falta tenemos que aplicar la fórmula para encontrar la medida del ángulo entre las 2 rectas. A continuación el procedimiento Como ya sabemos el ángulo de 45º salió de la tangente a la menos uno de el ángulo formado por las pendientes de las coordenadas anteriores. Lo regresaremos a su tangente que es 1. Después sacaremos la pendiente de la recta AB que es 6/11 y a la nominador de la pendiente (y2-y1) la tomaremos como la incógnita “x” en la ecuación que haremos. Ecuación tanθ=m2-m1/1+m2m1

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11. X = 25/17 Ahora solo falta sacar la coordenada que estamos buscando: “y2” ya que y1 ya la tenemos y nos servirá para encontrar la que buscamos con la fórmula de pendiente m=y2-y1/x2-x1 y2-9=25/17 y2=25/17+9 y2=10.47 Las coordenadas completas quedarían A(-2,1). B (9,7). J(3,9). y K (-2,10.47).

8. Encuentra el ángulo que pasa forma la recta que pasa por los puntos L(2,-3) y M(3,4) con la recta que une el origen C(0,0) con el punto D(6,2). Traza la gráfica para mejor interpretación de los datos. Para este problema debemos de sacar primero las pendientes de cada una de las rectas. También se debe de establecer cual será m1 y cual m2. Se usará la fórmula m=y2-y1/x2-x1 para ambas pendientes LM = m2 = 7 CD = m1 = 1/3

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Se aplica la fórmula tanθ=m2-m1/1+m2m1 para calcular el ángulo tanθ=7-1/3÷1+(7)(1/3) tanθ=20/3÷1+(7/3) tanθ=20/3÷10/3 tanθ=2 tan-12=63.43º Gráfica:

9. Los puntos A(1,1), B(5,3) y C(6,-4) son los vértices de un triángulo isósceles. Encuentra el valor de uno de sus ángulos iguales. Se encontrará el valor del ángulo CAB, para esto se necesitará saber cuales son las pendientes de los lados CA y AB Calculando pendientes con fórmula m=y2-y1/x2-x1 AB = m2 = 1/2 CA = m1 = -1 Teniendo ya las pendientes, se procede a calcular el ángulo requerido con la fómula tanθ=m2-m1/1+m2m1 tanθ=7-1/3÷1+(7)(1/3) = 3 tan-13=71.56º 11. Encuentra la ecuación de la recta con pendiente 2 y que pasa por la intersección de las rectas 3x + 2y -10 = 0 y 4x – 6y + 7 = 0. En esta ocasión utilizaremos la fórmula A1x+B1y+C1+k(A2x+B2y+C2)=0 para encontrar la familia de rectas que pasan por dos rectas Sustitución de la fórmula 3x+2y-10+k(4x-6y+7)=0 (3+4k)x+(2-6k)y-10+7k Calculando pendiente para después usar en la ecuación m=-3+4k/2-6k=2 3+4k=(2)(2-6k) 3+5k=4-12k 16k=1 k=1/16 Sustituyendo en la ecuación (3 + 4(1/16))x + (2 – 6(1/16))y -10 + 7(1/16) 13/4x + 13/8y – 153/16 Quitando el denominador: (8) 13/4x + 13/8y – 153/16 R = 26x+13y-76.5=0 12. Determina el valor del parámetro k de tal forma que la recta de la familia kx – y + 8 = 0 pase por el punto (-5,3). Encuentra la ecuación de la recta. La ecuación de la recta en forma simplificada está desordenada, se debe de ordenar para encontrar el parámetro de la familia. y=-kx-8 Se debe de convertir a fórmula general ir disipando los números hasta obtener el valor del

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parámetro y la ecuación general. y-3=k(x+5) k=1 y-3=x+5 x-y+8=0 13. Usando el método del parámetro, encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto (6,-8) y es paralela a la recta 5x – 9y -4 = 0 Se tiene la ecuación 5x-9y-4=0. Lo primero que hay que hacer es encontrar la pendiente de esta recta 5x – 9y -4 = 0 M = 5/9 Ahora utilizaremos el metodo del parámetro y-(-8)=5/9(x-6) y+8=5/9x-10/3 5/9x-y+14/3=0 Quitando el denominador: (9)5/9x-y+14/3=0 5x-9y+42=0 15. Una recta pasa por la intersección de las rectas de ecuaciones 5x – 2y +1 = 0 y 4x – 2y – 1 = 0. Encuentra su ecuación si es perpendicular a la recta 4x + 8y – 19 = 0 sin determinar su punto de intersección. En esta ocasión utilizaremos la fórmula A1x+B1y+C1+k(A2x+B2y+C2)=0 para encontrar la familia de rectas que pasan por dos rectas Sustitución de la fórmula 5x-2y+1+k(4x-2y-1)=0 (5+4k)x+(-2+2k)y+1-1k=0 Calculando pendiente para después usar en la ecuación. La pendiente será la recíproca de signo contrario a la de la recta 4x+8y-19=0. Se calculará con la fórmula –A/B m=-8/4 m=-2 Recíproca de signo contrario ½ m=5+4k/-2+2k=1/2 5+4k=(1/2)(2-2k) 5+4k=1-1k 1k+4k=1-5 5k=-4 k=-4/5 Sustituyendo en la ecuación (5+4(-4/5))x+(-2+2(-4/5))y+1-1(-4/5)=0 (5-16/5)x+(-2-8/5)y+1+4/5 9/5x-18/15y+9/5=0 Quitando el denominador: (5) 9/5x-18/15y+9/5 R = 9x+6y+9=0