Logica Proposicional 4º Medio

LÓGICA PROPOSICIONAL

LÓGICA Ciencia que trata del razonamiento correcto Estudia la forma del razonamiento, que por medio de técnicas y reglas (condiciones), determina si un argumento es válido o no. Demuestra si un argumento, si un razonamiento es verdadero, falso o indeterminado. ARISTÓTELES (Organon): “ARTE DE LA ARGUMENTACIÓN CORRECTA Y VERDADERA” 1

LOS SIGNOS Y EL LENGUAJE Los Signos “Todo aquello que representa y significa algo para alguien" Imágenes - Símbolos SIG NIFICADO - RECEPTOR

LÓGICA PROPOSICIONAL La Teoría Conductista:

Skinner estímulos

Adaptación

Repetición y

corrección los adultos. La Teoría Innatista: Noam Chomsky adquisición de lenguaje

para

de

Dispositivo

El cerebro programa poder analizar el

La Teoría Cognitiva:

Jean Piaget

Desarrollo de la inteligencia Desarrollo del

lenguaje. La Teoría Interaccionista: Noam Chomsky Cerebro especie innata para estructura del lenguaje heredado

ninguna pista cómo llegó esta

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CONOCIMIENTO LINGÜÍSTICO (Lenguaje)

“Es un sistema que usa señales físicas: sonidos, gestos, marca en un papel, para expresar un significado, enseñar un objeto o un concepto”

Sintaxis – Semántica - Fonética 5

Es un fenómeno social basado en la capacidad que poseen algunas especies animales (más complejo y desarrollado en el hombre) hombre de comunicarse mediante símbolos.

6

LENGUAJE NATURAL Es la lengua utilizada por una comunidad lingüística

El ruso, el catalán, el inglés, el castellano, etc.

7

Símbolos Lingüísticos El significado es la idea o contenido que tenemos en la mente de cualquier palabra conocida. El significante que es el conjunto de sonidos o letras con que transmitimos el contenido de esa palabra conocida.

Reglas

GRAMÁTICA Fonética Ortografía Semántica Sintaxis Morfología 8

ORACIÓN Una oración es una expresión lingüística gramaticalmente correcta(reglas)y que posee sentido completo (Entendible, comprensible el mensaje) Enunciativas Derivativas Dubitativas Interrogativas Exclamativas

9

DERIVATIVAS

Ejemplo: * No fumes en este lugar. * Sal inmediatamente de aquí.

Ejemplo: * Ojalá sople el viento. * Que tengas un feliz cumpleaños. 10

DUBITATIVAS

Ejemplo: * Quizá Laura comience a recuperarse. * Acaso llueva mañana.

11

INTERROGATIVAS

Ejemplo: *¿Recibiste mi mensaje? * ¿Volvió a contar la misma mentira? 12

EXCLAMATIVAS

Ejemplo: * ¡Qué bonito! * ¡Bravo! 13

ENUNCIATIVAS

Un juicio, una idea, una opinión; estas oraciones informan de algo que está sucediendo, que sucedió en el pasado o que está por ocurrir. Afirmativa o negativa. Verdadera o falsa.

14

LENGUAJE ARTIFICIAL Imprecisiones Semánticas RAZÓN *

- Palabras que tienen más de un significado y que se usan ambiguamente - “Pedro ha arrendado una casa” - Rápido, difícil, agradable

Deficiencias Sintácticas -“Tras lanzar el salvavidas, Don Ramón se hundía en el lago”, * - Entrega a las ciencias una expresividad rigurosa y exacta. - Las ciencias emplean lenguajes artificiales. - No tiene imprecisiones, porque tiene un significado preciso15.

EL LENGUAJE FORMAL Lenguaje artificial que utiliza una tabla de símbolos formales.

Símbolos + Reglas Constantes y Variables

La Lógica y la Matemática son lenguajes formales.

Convencionales + Operatividad y Eficacia del cálculo 16

VARIABLES Signos que carecen de significado fijo.

Reciben un surtido ilimitado de contenidos.

Símbolo y objeto de la realidad

Nº 3 Contabilizar: caballos, conjuntos, conceptos, autos, etc. En lógica, el símbolo “p”, puede traducir cualquier enunciado afirmativo, como: “París es una ciudad” o “la casa es roja” . 17

CONSTANTES Signos con sentido fijo

Enlazan entre sí símbolos del vocabulario primitivo

OPERADORES - CONECTORES Matemáticas

Lógica Proposicional

V

V

^ 18

LÓGICA PROPOSICIONAL





 

Se dice que la lógica proposicional trabaja con sentencias u oraciones a las cuales se les puede asociar un valor de verdad (cierto o falso); estas sentencias se conocen como sentencias declarativas o, simplemente, proposiciones. Pueden existir proposiciones que son simples, así como proposiciones que están construidas por otras proposiciones usando elementos (conectivas lógicas) que las asocian, que se llaman complejas. La lógica proposicional (o cálculo proposicional) tiene el propósito de simbolizar cualquier tipo de razonamiento para su análisis y tratamiento, ésta usa sentencias declarativas a las que se puede asociar un valor de verdad (cierto o falso); es decir, usa proposiciones. Ejemplo: P y Q son proposiciones: P : El águila es un ave Q : La ballena es un mamífero

19

LA LÓGICA COMO LENGUAJE FORMAL

Demostración simbólica verdad de una cadena razonamientos.

del valor deductiva

de de

Razonamiento = proceso mental Paso de uno o más enunciados (premisas) a otro posterior (conclusión) 20

CONCLUSIÓN RAZONAMIENTO DEDUCTIVO

Expresiones “POR LO TANTO”, “LUEGO”, “EN CONSECUENCIA”, “SE DEDUCE QUE”, Si ocurre X, entonces sucederá Y Ocurre X, Luego, sucederá Y. 21

EL LENGUAJE DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL La formalización del Lenguaje Natural

22

ENUNCIADOS Proposiciones tomadas en bloque Sin análisis interno

V

Se simboliza con una letra consonante (variable): como “p”, “q”, “r”, “s”, etc.

F 23

“Todos los hombres son mortales”

p P = Todos los hombres son mortales

Enunciado VERDADERO

“Chile está en Europa

p P = Chile está en Europa

Enunciado FALSO

24

ENUNCIADOS SIMPLES

V

“Proposición que no está formado por otros enunciados y por ello no contiene términos de enlace o conectivas”.

F

Los enunciados simples del lenguaje natural se sustituirán por las variables proposicionales simbolizadas mediante las letras minúsculas: “m”, “n”, “o”, “p”, “q”, “r”, etc. 25

P = La casa es roja

P = Barticcittio es DT de Colo Colo 26

COMPUESTOS “Enunciado compuesto por varios enunciados simples o varios compuestos, enlazados por conectores como: y, o, pero, si……..entonces, sí y sólo si, no, ni….. ni, una de dos, por lo tanto, etc.” Su valor de verdad se determina completamente por medio del valor de verdad de sus enunciados simples junto con la forma cómo ellos se conectan para conformar un enunciado compuesto. 27

“Los trabajadores están cosechando lechugas y papas” P = Los trabajadores están cosechando lechugas. q = Los trabajadores están cosechando papas. 28

Cómo formalizar el lenguaje natural:

(I) Identificar los enunciados simples (II) Asignar a cada enunciado simple su

contexto, siempre afirmado. (III) Identificar los conectores lógicos: negación, condicional, disyunción inclusiva, etc. (IV) Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y las partículas lógicas: Formalización y 29

Algunas formalizaciones sencillas Ejemplo: “Hume canta o Kant baila o Hegel da palmas” 1º Identificar las variables: (enunciados/proposiciones) p = Hume canta q = Kant baila 4º Simbolizar: r = Hegel da palmas p∨q∨r 2º Identificar conectores: conectores Disyunción exclusiva: o o. 3º Formalizar: “ o o “ 30

Algunas formalizaciones sencillas Hume canta y Kant baila y Hegel da palmas 1º P = Hume canta q = Kant baila q r = Hegel da palmas 2º Conjunción: y, y.

3º “

y

y

.”

4º p∧q∧r

31

Algunas formalizaciones sencillas Hume canta o Kant baila y Hegel da palmas 1º p = Hume canta q = Kant baila r = Hegel da palmas 2º Disyunción inclusiva: o Conjunción: y .

3º “

o

y

.”

4º p ∨ (q ∧ r)

32

Algunas formalizaciones sencillas Hume canta o Kant baila, y Hegel da palmas 1º p = Hume canta q = Kant baila r = Hegel da palmas 2º Disyunción inclusiva: o Conjunción: y .

3º “

o

y

.”

4º (p ∨ q) ∧ r

33

Algunas formalizaciones sencillas Si Hume canta, Kant baila 1º p = Hume canta q = Kant baila

2º Disyunción inclusiva: o Conjunción: y .

3º “ Si

, entonces

.”

4º p→q

34

Algunas formalizaciones sencillas -Si Hume canta y Kant baila, Hegel da palmas Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

(p ∧ q) → r 35

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta, y, si Kant baila, Hegel da palmas

Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

p ∧ (q → r) 36

Algunas formalizaciones sencillas -Hume canta si y sólo si Hegel da palmas Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

p↔r 37

Algunas formalizaciones sencillas -Hume no canta si y sólo si Hegel no da palmas Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

¬p ↔ ¬r 38

Algunas formalizaciones sencillas - Si Hume canta, entonces Kant baila si Hegel no da palmas

Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

p → (¬r → q) 39

Algunas formalizaciones sencillas - Hume canta, si y sólo si Kant no baila si Hegel da palmas

Hume canta = p Kant baila = q Hegel da palmas = r

p ↔ (r → ¬q) 40

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0  (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Sólo formalizamos las oraciones declarativas, las que afirman o niegan algo: Kant baila Hume no canta demasiado bien Hegel cree que dar palmas es la principal tarea de un filósofo que se precie de serlo pero no ¿Bailaría Kant con Heidegger? ¡Hume, arráncate para solearte!

41

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

Con frecuencia hay que considerar idénticas a oraciones con distinto tiempo verbal: Kant baila ≡ Kant bailará ≡ Kant bailaría Kant ama a Hume = Hume es amado por Kant

42

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

- Hay que completar aquello que está explícito,

PERO NO MÁS

Kant baila y silba = Kant baila y Kant silba PERO: Kant tiene un loro ≠ Kant tiene un ave

43

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes

- Hay que fijarse en qué palabras se refieren al

mismo objeto, como los pronombres: Hume nació en Escocia. Si él nació allí, no nació en Chile. Aquí sólo hay 2 proposiciones: p = Hume nació en Escocia q = Hume nació en Chile 44

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - A veces hay que desechar ciertos elementos

irrelevantes, como los adverbios: 1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión Aquí sólo cuentan 2 proposiciones:

p = Hegel discute q = a Hegel le sube la tensión 45

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes - Pero contrástese con la siguiente: 2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión Aquí podría ser razonable contar 3 proposiciones:

p = Hegel discute q = Hegel discute acaloradamente r = a Hegel le sube la tensión 46

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 1. Hegel discute acaloradamente. Si Hegel discute, le sube la tensión 2. Hegel discute. Si Hegel discute acaloradamente, le sube la tensión

La razón es que del argumento 1 parece seguirse que a Hegel le sube la tensión, mientras que del argumento 2 no parece seguirse.

En general no tomaremos en cuenta detalles de este tipo 47

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Otros casos problemáticos: - Hume es inocente. Si no es culpable, debe ser absuelto ¿Cuántas proposiciones hay aquí? Presumiblemente, sólo 2: p = Hume es inocente q = Hume debe ser absuelto Hume es inocente = Hume no es culpable

En general asumimos que inocente es lo contrario de culpable 48

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (i) y (ii) Identificar enunciados y asignar constantes Pero hay que tener cuidado: - Hume es escocés. Si no es británico, le gusta la rumba ¿Cuántas proposiciones hay aquí?

En este caso hay 3: p = Hume es escocés q = Hume es británico r = a Hume le gusta la rumba Hume es escocés ≠ Hume no es británico 49

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Las cinco partículas NO, Y, O, SI, SI Y SÓLO SI son las más evidentes. Pero hay expresiones del lenguaje natural que cumplen la misma función lógica, aunque no tengan la misma función pragmática. Cuando una expresión tenga la misma función lógica que una de esas 5 partículas, la formalizamos usando la misma conectiva.

50

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a Y

Peano habla Y Quine duerme Peano habla, PERO Quine duerme Peano habla AUNQUE Quine duerme Peano habla, SIN EMBARGO, Quine duerme Peano habla, Quine duerme A PESAR DE QUE Peano habla, Quine duerme

p ∧ q 51

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a O Peano habla O Quine duerme Peano habla, A MENOS QUE Quine duerma

p ∨ q 52

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

(iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a NO

Peano NO habla NO ES EL CASO QUE Peano hable NO OCURRE QUE Peano hable NO ES CIERTO QUE Peano habla

¬p 53

Cómo formalizar el lenguaje (iii) Identificar las partículas lógicas en L natural Expresiones equivalentes0a SI…(ENTONCES) SI Peano habla, (ENTONCES) Quine duerme CUANDO Peano habla, Quine duerme Que Peano hable ES SUFICIENTE PARA que Quine duerma Que Peano hable IMPLICA QUE Quine duerma SIEMPRE QUE Peano habla, Quine duerme Quine duerme, SI Peano habla Quine duerme EN CASO DE QUE Peano hable Quine duerme SUPUESTO QUE Peano hable

p → q 54

Cómo formalizar el lenguaje NECESARIO / SUFICIENTE natural en L 0 Compara 2 universidades: U1: Es suficiente sacar un 9 para tener Matrícula U2: Es necesario sacar un 9 para tener Matrícula Si sueles sacar 9 y te interesa tener Matrículas, ¿qué universidad te lo pone más fácil?

¡La U1! SI sacas un 9, tienes Matrícula. En la U2 sacar 9 no implica 

tener Matrícula. 

En la U2 ocurre que SI NO sacas 9, NO tienes MH. Por tanto, SI  tienes MH, es que tienes un 9 55

Cómo formalizar el lenguaje Por tanto, si nosnatural encontramos: en L0 α es suficiente para ß

α → ß α es necesario para ß

ß → α ¬ α → ¬ß

56

 2. 3.

1.

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

Caso peculiar (i): SÓLO SI Me mareo si voy en coche Me mareo sólo si voy en coche ¿dicen lo mismo 1 y 2?

Me mareo si voy en bus la oración 3 ¿contradice a 1, a 2, a ambas, a ninguna?

Contradice a 2, pero no a 1. 1 y 3 son compatibles (o consistentes): las dos pueden ser verdaderas a la vez. Pero 2 y 3 son incompatibles (o contradictorias): las dos no pueden ser verdaderas a la vez. 57

 2. 3.

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

Caso peculiar (i): SÓLO SI Me mareo si voy en coche Me mareo sólo si voy en coche ¿dicen lo mismo 1 y 2?

1 y 2 no dicen lo mismo: En 1, que vaya en coche es condición suficiente para que me maree (pero puedo marearme por más razones) me mareo = p voy en coche = q

(1) = (q → p)

En 2 que vaya en coche es condición necesaria para que me maree (si no voy en coche no me mareo) me mareo ≡ p voy en coche = q

(2) = (p → q) 58

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0  Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y

“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuál es su forma lógica?



Intento #1: desechamos el imperativo

levantar el mundo = p

formalización: p Pero ¿se limita Arquímedes a afirmar que va a levantar el mundo?

59

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y



“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuállaes su forma Intento #2: interpretamos ‘y’ como conyuntorlógica?

dar un punto de apoyo ≡ p

levantar el mundo ≡ q

formalización: p ∧ q Pero ¿afirma entonces Arquímedes que le damos un punto de apoyo?

60

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 Caso peculiar (ii): IMPERATIVO + y



“Dadme un punto de apoyo y levantaré el mundo” ¿cuálque esnosu forma lógica? Intento #3: sospechamos todo es lo que parece

Arquímedes está estableciendo una condición: SI le damos un punto de apoyo, él levanta el mundo dar un punto de apoyo ≡ p levantar el mundo ≡ q formalización correcta: p → q !!

61

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0

 Caso peculiar (iii): IMPERATIVO + o

1. “Dame un vaso de agua o me muero” 2. “Dame un vaso de agua o una gaseosa” ¿tienen la misma forma lógica?

 •

•

NO. establece una condición que, caso de no cumplirse, acarrea una consecuencia: “si no me das un vaso de agua, me muero”: ¬p → q es una disyunción de dos imperativos, y no se puede formalizar

62

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Expresiones equivalentes a SI Y SÓLO SI Peano habla SI Y SÓLO SI Quine duerme Peano habla CUANDO Y SÓLO CUANDO Quine duerme Que Peano hable EQUIVALE A que Quine duerma Que Peano hable ES NECESARIO Y SUFICIENTE PARA que Quine duerma Peano habla, EN EL CASO, Y SÓLO EN EL CASO, DE QUE Quine duerma

p ↔ q 63

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 1. Iré al cine o al teatro 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

p ∨ q

Hemos visto que estas dos expresiones se formalizan igual 64

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes:

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro 3. Si no voy al teatro, voy al cine

¬q → p

Pero cabe pensar que 2 viene a decir lo mismo que 3  65

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes:

2. Iré al cine a menos que vaya al teatro

¬p → q 4. Si no voy al cine, voy al teatro Y también puede parecernos que 2 viene a decir lo mismo que 4  66

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iii) Identificar las partículas lógicas Formalizaciones equivalentes: 1. Iré al cine o al teatro 2. Iré al cine a menos que vaya al teatro 3. Si no voy al teatro, voy al cine

p ∨ q ¬q → p

¬p → q

4. Si no voy al cine, voy al teatro Veremos que en el fondo todas son lógicamente equivalentes 67

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 Otras expresiones: NI α NI ß es lo mismo que NO α Y NO ß “Ni tomo leche ni tomo harina” p = tomar leche q = tomar harina ¬p ∧ ¬q

“No tomo leche y harina” La idea es que no los tomo conjuntamente ¬(p ∧ q)

OJO! ¬p ∧ ¬q NO EQUIVALE a ¬(p ∧ q) 68

Cómo formalizar el lenguaje natural en L0 (iv) Reconstruir los enunciados complejos - Lo fundamental en los casos que plantean “dudas razonables” es aplicar el sentido común y mantener un CRITERIO HOMOGÉNEO. - Hay que tener mucho cuidado en no añadir nada que no venga realmente dado en la oración - La lógica proposicional no permite muchas florituras: lo fundamental es mantener la forma lógica con las conectivas y evitar ambigüedades - La formalización tiene un poco de arte y, como tal, requiere práctica.

69

Ejercicios de formalización en L0 Cuando el ventero está en la puerta, el diablo

está en la venta, pero cuando no está en la puerta, el diablo sigue estando en la venta

p ≡ el ventero está en la puerta q ≡ el diablo está en la venta

(p → q) ∧ (¬p → q) 70

Ejercicios de formalización en L0  Supongamos

que una figura sólo puede ser cuadrada o triangular, pequeña o grande, y roja o azul. Interpretemos las expresiones del tipo ‘X es un cuadrado azul’ como ‘X es un cuadrado’ y ‘X es azul’.

p = es pequeña r = es roja t = es triangular

q = es cuadrada s = es grande u = es azul

71

Ejercicios de formalización en L0  Si es grande, también es azul; es un triángulo azul o es roja y

pequeña; si es roja, no es un cuadrado pequeño; si es triángulo, es rojo y pequeño. p = es pequeña s = es grande

q = es cuadrada r ≡ es roja t = es triangular u ≡ es azul

(s → u)  ;  (t ∧ u) ∨ (r ∧ p)  ;  r → ¬(q ∧ p)  ;  t → (r ∧ p) Obsérvese que podemos sustituir los ; por conyuntores y obtener así una sola  fórmula compleja: (s → u) ∧ [(t ∧ u) ∨ (r ∧ p)] ∧ [r → ¬(q ∧ p)] ∧ [t → (r ∧ p)] 72

Si es un

Ejercicios de formalización en L 0 cuadrado pequeño, es rojo; ni es

un cuadrado grande ni es un cuadrado rojo; es un triángulo sólo si es rojo p = es pequeña s = es grande

q = es cuadrada r ≡ es roja t = es triangular u ≡ es azul

[(q ∧ p) → r] ∧ [¬(q ∧ s) ∧ ¬(q ∧ r)] ∧ (t → r) 

73

Ejercicios de formalización en L0

No es un cuadrado grande; no es un triángulo

azul; es roja si y sólo si es pequeña p = es pequeña s = es grande

q = es cuadrada r ≡ es roja t = es triangular u ≡ es azul

¬(q ∧ s) ∧ ¬(t ∧ u) ∧ (r ↔ p)

74

Ejercicios de formalización en L 0 Si es un cuadrado o es roja, es grande; es grande si y sólo si es azul; sólo es un cuadrado si es roja p = es pequeña s = es grande

q = es cuadrada r ≡ es roja t = es triangular u ≡ es azul

[(q ∨ r) → s] ∧ (s ↔ u) ∧ (q → r)

75

Ejercicios de formalización en L Aprobaré lógica, si Dios quiere. Aprobaré lógica 0 si y sólo si estudio y hago todos los ejercicios. Sin embargo, no he hecho los ejercicios. Por tanto, Dios no quiere que apruebe lógica. p = apruebo lógica r = estudio

q = D quiere que apruebe s = hago los ejercicios

¿hay algún modo de marcar la diferencia de ese ‘por tanto’? SÍ: es la conclusión de un argumento. Vamos a marcarla con el símbolo ∴

(q → p) ∧ [p ↔ (r ∧ s)] ∧ ¬s ∴ ¬q 76

Ejercicios de formalización en L0 Si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa.

p = W lo hizo q = W lo hizo con llave r = W lo hizo con cuerda s = asesinato en vestíbulo t = asesinato en cocina

[p → (q ∨ r)] ∧ (r ↔ s) ∧ t ∴ (p → q) 77

Ejercicios de formalización en L0 Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos.

p = humanos son libres q = humanos ligados a esencia r = D crea humanos

(p → ¬q) ∧ (r → q) ∧ p ∴ ¬r 78

Ejercicios de formalización en L0 No hay vida en Marte a menos que haya oxígeno allí, y no hay oxígeno allí a menos que haya allí alguna planta, y no hay plantas allí a menos que haya agua. Por tanto, si hay vida en Marte, allí hay agua. p = hay vida en M q = hay O2 en M

r = hay plantas en M

s = hay agua en M (¬q → ¬p) ∧ (¬r → ¬q) ∧ (¬s → ¬r) ∴ (p → s) (¬p ∨ q) ∧ (¬q ∨ r) ∧ ( ¬r ∨ s) ∴ (p → s)

(p → q) ∧ (q → r) ∧ (r → s) ∴ (p → s) 79