Forma Normal Logica Proposicional

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE INFORMÁTICA CURSO DE SISTEMAS DA INFORMAÇÃO

FORMAS NORMAIS

CURITIBA 2009

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE INFORMÁTICA CURSO DE SISTEMAS DA INFORMAÇÃO

EMERSON SHIGUEO SUGIMOTO RODRIGO CIRINO DE ANDRADE VAGNER VENGUE

FORMAS NORMAIS

Trabalho

acadêmico

apresentado

à

disciplina de Lógica para Computação. Universidade

Tecnológica

Paraná. Unidade de Curitiba.

Professor: Adolfo.

CURITIBA 2009

Federal

do

SUMÁRIO

SUMÁRIO ....................................................................................................................................... 3 LISTA DE FIGURAS.......................................................................................................................... 4 LISTA DE TABELAS.......................................................................................................................... 5 LISTA DE ALGORITMOS .................................................................................................................. 6 1

FORMAS NORMAIS ................................................................................................................ 7 1.1

FNC ou FORMA CLAUSAL............................................................................................... 7

1.1.1 2

CONVERSÃO COM TABELAS VERDADE ................................................................ 11

CLÁUSULAS DE HORN .......................................................................................................... 12 2.1

FÓRMULAS DE HORN .................................................................................................. 12

3

FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) .................................................................................. 13

4

REFERÊNCIAS ....................................................................................................................... 17

3

LISTA DE FIGURAS

FIGURA 1 – EXEMPLO DE FÓRMULA CLAUSAL .. 7 REPARE NO CONECTIVO DE CONJUNÇÃO Λ: FIGURA 2 - FNC DO ALGORITMO 2 .................................................................................................................... 9 FIGURA 3 - LEI DE MORGAN ........................................................................................................................ 10 FIGURA 4 - DISTRIBUIÇÃO DE V SOBRE Λ .................................................................................................... 10

4

LISTA DE TABELAS

TABELA 1 - (X → Y) (¬X V Y) ............................................................................................................. 8 TABELA 2 - ¬ (X V Y) ¬X Λ ¬Y ................................................................................................................... 8 TABELA 3 - ¬ (X Λ Y) ¬X V ¬Y ..................................................................................................................... 8 TABELA 4 - ¬¬ X X .................................................................................................................................... 9 TABELA 5 - X V (Y Λ Z) (X V Y) Λ (X V Z) ...................................................................................................... 9 TABELA 6 - VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) ............................................................................................ 10 TABELA 7 - VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) ............................................................................................ 10 TABELA 8 - TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) ................................................................................................ 11 TABELA 9 - DISJUNÇÃO ENTRE DUAS FÓRMULAS ....................................................................................... 13 TABELA 10 - DISJUNÇÃO COMUTATIVA ...................................................................................................... 13 TABELA 11 - TAUTOLOGIA ........................................................................................................................... 15 TABELA 12 - TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) .............................................................................................. 15

5

LISTA DE ALGORITMOS

ALGORITIMO 1 - TRANSFORMAÇÃO DA FNC SEM NOVOS ÁTOMOS ........................................ 8 ALGORITIMO 2 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS......................... 9 ALGORITIMO 3 - TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS ....................................... 16

6

1

FORMAS NORMAIS

Uma fórmula normal são as fórmulas da lógica proposicional apresentadas num formato definido, ou seja, são fórmulas que são moldadas para serem exibidas em um formato definido. Sendo duas as principais formas normais: FNC – forma normal conjuntiva e a FND – forma normal disjuntiva, exemplos: H = (¬P Λ Q) V (¬R Λ ¬Q Λ P) V (P Λ S) – forma normal disjuntiva (V). G = (¬P V Q) Λ (¬R V ¬Q V P) Λ (P V S) – forma normal conjuntiva (Λ).

1.1 FNC ou FORMA CLAUSAL

A FNC (forma normal conjuntiva) também é chamada de forma clausal. É empregada no método de inferência chamado de resolução, que serve de base ao PROLOG (linguagem de programação) e a programação lógica. O elemento básico da FNC é o literal que é uma fórmula atômica (por exemplo: p, chamado de positivo) ou sua negação (como exemplo: ¬p, chamado de negativo). Uma cláusula é a disjunção1 de literais: L1 V L2 V ... Ln Exemplo:

FIGURA 1 – EXEMPLO DE FÓRMULA CLAUSAL Onde

n

é o tamanho da cláusula, se

n

= 1, a cláusula é dita unitária, se

n

= 0, é dita

vazia, neste caso, convenciona-se que uma cláusula vazia é dita falsa, . Uma cláusula: ¬q1 V ... V ¬qk V p1 V ... V p1, pode ser reescrita na forma implicativa: (q1 Λ ... Λ qk) → (p1 V ... V p1) Quando em uma fórmula a negação só pode estar aplicada aos átomos, ela é dita Forma Normal de Negação – FNN, isto significa que não pode haver uma negação de uma cláusula, a negação deve ser empurrada para os átomos, conforme a lei De Morgan. 1

Disjunção: exemplo p V q. 7

ALGORITIMO 1 - TRANSFORMAÇÃO DA FNC SEM NOVOS ÁTOMOS Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FNC, B

A2.

1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça Redefinir ―→‖ em termos de ―V‖ e ―¬‖:

2:

(X → Y)

(¬X V Y)

3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan3: ¬ (X V Y)

¬X Λ ¬Y

¬ (X Λ Y)

¬X V ¬Y

4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X

X

5: Distributividade de V sobre Λ: X V (Y Λ Z)

(X V Y) Λ (X V Z)

6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Apesar de gerar uma fórmula FNC, ele pode gerar fórmulas exponencialmente maiores que a fórmula de entrada. O problema esta no passo 5 da distributividade, que causa a duplicação da subfórmula X, que por sua vez pode ser no formato (X1 Λ X2), que poderá gerar uma nova duplicação. TABELA 1 - (X → Y) X 0 0 1 1

(¬X V Y)

¬X 1 1 0 0

¬X 1 1 0 0

Y 0 1 0 1

TABELA 3 - ¬ (X Λ Y) X 0 0 1 1

¬X 1 1 0 0

(¬X V Y) 1 1 0 1

¬X Λ ¬Y

TABELA 2 - ¬ (X V Y) X 0 0 1 1

X→Y 1 1 0 1

Y 0 1 0 1

¬Y 1 0 1 0

XVY 0 1 1 1

¬ (X V Y) 1 0 0 0

¬X Λ ¬Y 1 0 0 0

XΛY 0 0 0 1

¬ (X Λ Y) 1 1 1 0

¬X V ¬Y 1 1 1 0

¬X V ¬Y Y 0 1 0 1

¬Y 1 0 1 0

2

B A, sig. Equivalência lógica, ou seja, para valorações que satisfaçam A, são exatamente as mesmas valorações que satisfazem B, A B, sse, A B e B A. 3 Fonte: Wikipédia , Acesso em 26/03/2009, às 10h50m. 8

TABELA 4 - ¬¬ X

X

X 0 1

¬X 1 0

TABELA 5 - X V (Y Λ Z) X 0 0 0 0 1 1 1 1

Y 0 0 1 1 0 0 1 1

¬¬X 0 1

(X V Y) Λ (X V Z) YΛZ 0 0 0 1 0 0 0 1

Z 0 1 0 1 0 1 0 1

X V (Y Λ Z) 0 0 0 1 1 1 1 1

XVY 0 0 1 1 1 1 1 1

XVZ 0 1 0 1 1 1 1 1

(X V Y) Λ (X V Z) 0 0 0 1 1 1 1 1

ALGORITIMO 2 - TRANSFORMAÇÃO LINEAR PARA FNC COM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FNC, B

A.

1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça 2:

Redefinir ―→‖ em termos de ―V‖ e ―¬‖: (X → Y)

(¬X V Y)

3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan: ¬ (X V Y)

¬X Λ ¬Y

¬ (X Λ Y)

¬X V ¬Y

4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X

X

5: Inserção de novo átomo p: X V (Y Λ Z)

(X V p) Λ (¬p V Y) Λ (¬p V Z) Λ (¬Y V ¬Z V p)

6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Repare no conectivo de conjunção Λ:

FIGURA 2 - FNC DO ALGORITMO 2 No ALGORITMO 2, foi introduzido um novo símbolo atômico p, de forma que p ↔ (Y Λ Z), ou seja, p têm a mesma valoração de (Y Λ Z), desmembrando ↔ em dois: (p → (Y Λ Z)) Λ (Y Λ Z → p).

9

Eliminando ―→‖, aplicando a redefinição de ―→‖ em termos de ―V‖ e ―¬‖(X → Y)

(¬X

V Y): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬(Y Λ Z) V p). Em seguida por meio das leis De Morgan, empurramos a negação adentro (convertendo V em Λ): (¬p V (Y Λ Z)) Λ (¬Y V ¬Z V p), representado pela FIGURA 3.

FIGURA 3 - LEI DE MORGAN O segundo elemento já esta já está no formato clausal, no primeiro elemento não há dupla negação, e será aplicada a distribuição de V sobre Λ, obtendo-se:

FIGURA 4 - DISTRIBUIÇÃO DE V SOBRE Λ A vantagem das fórmulas clausais esta na representação e solução de problemas envolvendo fórmulas proposicionais, pois para se satisfazer uma fórmula do formato clausal, basta satisfazer um literal em cada uma das suas cláusulas, e para falsificar uma fórmula no formato clausal, basta falsificar todos os literais de uma única cláusula, ou seja, falsificar uma cláusula. Por exemplo, para satisfazer a fórmula (¬p V Y) Λ (¬p V Z): TABELA 6 - VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) p 0 1

¬p 1 0

Y

Z

1

1

(¬p V Y) Λ (¬p V Z) 1 1

E para falsificá-la: TABELA 7 - VALORAÇÃO DE (¬P V Y) Λ (¬P V Z) p 0 0 1

¬p 1 1 0

Y 0

Z 0

(¬p V Y) Λ (¬p V Z) 0 0 0

10

1.1.1

CONVERSÃO COM TABELAS VERDADE

Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é: TABELA 8 - TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) Linhas 1 2 3 4 5 6 7 8

P T T T T F F F F

Q T T F F T T F F

R T F T F T F T F

(P → Q) Λ R T F F F T F T F

As linhas que interpretam a fórmula (P → Q) Λ R como Falsa são as linhas 2,3,4,6 e 8. De acordo com a linha 2, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=F}, na elaboração da FNC I[P] = T, considera-se ¬P e I[R] = F, considera-se R. Assim: 2ª linha: ¬P V ¬Q V R 3ª linha: ¬P V Q V ¬R 4ª linha: ¬P V Q V R 6ª linha: P V ¬Q V R 8ª linha: P V Q V R A Fórmula normal de (P → Q) Λ R é: (¬P V ¬Q V R) Λ (¬P V Q V ¬R) Λ (¬P V Q V R) Λ (P V ¬Q V R) Λ (P V Q V R).

11

2

CLÁUSULAS DE HORN

As Cláusulas de Horn são cláusulas (conjunto de literais) na forma disjuntiva com no máximo um literal positivo, exemplo: ¬ p V ¬ q V. . . V r Estas cláusulas podem ser divididas em três formas: Fatos, Regras e Consulta ou Restrições. Fatos são cláusulas com apenas um literal positivo e são usadas para afirmar que um literal é válido, exemplo: {p} Regras são cláusulas com exatamente um literal positivo, exemplo: ¬p V¬qVr Ou, de acordo com as equivalências notáveis: ¬ (p Λ . . . Λ q) V r, (p Λ . . . Λ q) → r

(lei de De Morgan). (definição de → em termos de V e ¬)

Na qual, p Λ . . . Λ q é chamado de corpo da regra e r é chamado de cabeça da regra. Consultas ou Restrições são cláusulas com apenas literais negativos. Este tipo de cláusula pode ser manipulada através de um sistema de refutação, contudo, dependendo das restrições de um sistema pode gerar inconsistências, exemplo: ¬ p \/ ¬ q \/ ¬ r \/ ¬s

2.1

FÓRMULAS DE HORN

Fórmulas de Horn são um conjunto de cláusulas de Horn na forma normal conjuntiva, exemplo: (¬ p \/ q) /\ (r \/ ¬ s) /\ (a \/ ¬a) /\ (a \/ ¬b) Uma das propriedades das cláusulas de Horn é a respeito do princípio da resolução: duas cláusulas de Horn regras inferem outra cláusula de Horn e uma cláusula do tipo consulta ou restrição com uma cláusula regra infere uma cláusula também do tipo consulta ou restrição. As cláusulas de Horn receberam este nome em homenagem ao lógico matemático Alfred Horn, que em 1951 publicou no jornal Journal of Symbolic Logic o artigo ―On sentences which 12

are true of direct unions of algebras‖. Alfred Horn foi o primeiro a chamar a atenção para estes tipos de cláusulas, que hoje, através de suas propriedades, com o princípio da resolução dão base à programação lógica e a linguagem de programação Prolog.

3

FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND)

Na lógica booleana, uma forma normal disjuntiva (FND) é uma normalização de uma fórmula lógica no qual temos uma disjunção de conjunções de literais. Também chamada cláusula dual. Uma conjunção de literais disjuntivos tem a forma de: A1 Λ A2 Λ... Λ An Podemos encontrar na forma de polinômios, em que a conjunção é representada pela multiplicação (*), e a disjunção pela adição (+) e a negação por uma barra sobre o átomo (Ū) por exemplo a fórmula ( ¬p1Λ p2 ) V ( p1Λ¬p2 ) pode ser expresso em notação matemática da seguinte forma: Ū1 U2 + Ū1 U2 Toda fórmula proposicional podemos transformar em uma forma do tipo disjuntiva para isso podemos usar meios como as Lei da Dupla Negação, as Leis de De Morgan, e a distributividade de átomos.

A disjunção entre duas fórmulas só é verdadeira quando ao menos uma delas é verdadeira. A saber: TABELA 9 - DISJUNÇÃO ENTRE DUAS FÓRMULAS PQ VV VF FV F F

P∨Q V V V F

Repare que a disjunção também é comutativa, ou seja que pode haver troca na ordem dos operadores sem perda do resultado: TABELA 10 - DISJUNÇÃO COMUTATIVA P Q P∨Q Q∨P VV V V VF V V FV V V F F F F

13

Interpretação: "pVq" pode ser interpretada como "p ou q", "Entre as proposições p e q, ao menos uma é verdadeira". Assim, se p significa "Fulano estuda filosofia" e Q significa "Fulano estuda matemática", P V Q pode ser interpretada como "Fulano estuda filosofia ou matemática"; o que só é falso se nem P nem Q forem verdadeiras. Com a disjunção é preciso tomar muito cuidado tanto na interpretação de fórmulas quanto na formalização de proposições, pois na linguagem natural muitas vezes os disjuntos são excludentes. Por exemplo: "Uma moeda ao ser lançada resulta em cara ou coroa". Veja essas proposições:

Proposição I - «Gosta de lógica e/ou gosta de método» ( L V M ) Proposição E - «Ou gosta de lógica ou gosta de métodos» ( L VV M )

Ambas as proposições são o resultado da disjunção das duas proposições simples: «Gosta de Lógica» - proposição L «Gosta de Métodos» - proposição M

Considera que estas proposições são idênticas? Dirão elas uma e a mesma coisa? A proposição I diz que é possível que goste quer de lógica, quer de métodos; pode acontecer que goste das duas disciplinas. A proposição E diz que se gosta de lógica, então não gosta de métodos. Mas, se for o caso que goste de métodos, então não gosta de lógica. As duas proposições M e L não são compatíveis uma com a outra; isto é, a verdade de uma significa a falsidade da outra. Logo sabemos que há: A proposição I é a que podemos chamar de disjunção inclusiva (V). A proposição E é a que podemos chamar de disjunção exclusiva (VV)

Finalizando (A VV B) só é V se, e somente se, A e B têm valores-verdade diferentes. Exemplos de forma normal disjuntiva:

Todavia, as seguintes fórmulas não estão na FND: — NÃO é o operador mais extremo

14

— um OU está aninhado com um E De acordo com o que vemos nas leis de Morgan, numa expressão da forma conjuntiva temos: ¬(P Λ Q) ↔ (¬P V ¬Q) Podemos aferir o contrário pela bi-implicação (↔), obtendo uma formula disjuntiva: (¬P V ¬Q) ↔ ¬(P Λ Q) E por tabelas da verdade conseguimos provar que se trata de uma a tautologia para ambas as formulas de conjunção e disjunção de literais. TABELA 11 - TAUTOLOGIA Linhas

p

q

¬(p v q)

(¬p Λ ¬q)

(¬p Λ ¬q) ↔ ¬(p v q)

1

T

T

F

F

T

2

T

F

F

F

T

3

F

T

F

F

T

4

F

F

T

T

T

 Usando o mesmo raciocínio podemos fazer o mesmo em outras fórmulas. Considere a fórmula: H = (P → Q) Λ R, sua tabela verdade é : Obs. (a forma esta na forma normal conjuntiva e será transformada no final em formal normal disjuntiva) TABELA 12 - TABELA VERDADE ((P → Q) Λ R) Linhas 1 2 3 4 5 6 7 8

P T T T T F F F F

Q T T F F T T F F

(P → Q) Λ R T F F F T F T F

R T F T F T F T F

As linhas que interpretam a fórmula (P → Q) Λ R como Verdade são as linhas 1, 5 e 7. De acordo com a linha 1, {I[P]=T e I[Q]=T e I[R]=T}, ou seja para que a fórmula (P → Q) Λ R seja verdade: P Λ Q Λ R, a linha 5 diz que {I[P]=F e I[Q]=T e I[R]=T}, ou seja, ¬P Λ Q Λ R e a linha 7 diz que: {I[P]=F e I[Q]=F e I[R]=T}, ou seja ¬P Λ ¬Q Λ R.

15

Apartir das três linhas (1, 5 e 7), obtêm-se: P Λ Q Λ R, ¬P Λ Q Λ R e ¬P Λ ¬Q Λ R. A fórmula (P → Q) Λ R é interpretada como verdade quando ocorre a linha 1 ou a linha 5 ou a linha 7 (observe a palavra ou). Convertendo a fórmula (P → Q) Λ R em FND, fica: (P Λ Q Λ R) V (¬P Λ Q Λ R) V (¬P Λ ¬Q Λ R).  Usando métodos de transformação façamos assim:

Obtemos uma fórmula na FNC de forma muito parecida com a FND, apenas mudando a forma do conector.

Exemplo: ALGORITIMO 3 - TRANSFORMAÇÃO NA FND SEM ADIÇÃO DE NOVOS ÁTOMOS Entrada: Uma fórmula B. Saída: Uma fórmula A na FND, B ≡ A. 1: para todas as subfórmulas X, Y, Z de B faça 2:

Redefinir ―→‖ em termos de ―V‖ e ―¬‖: (X → Y)

(¬X V Y)

3: Empurrar as negações para o interior por meio das leis De Morgan: ¬ (X V Y)

¬X Λ ¬Y

¬ (X Λ Y)

¬X V ¬Y

4: Eliminação da dupla negação: ¬¬ X

X

5: distributividade de Λ sobre V : XΛ(YVZ)

( X Λ Y ) V ( X Λ Z)

6: fim para 7: A fórmula A é obtida quando não há mais substituições possíveis. Repare no conectivo de disjunção V: XΛ(YVZ)

( X Λ Y ) V ( X Λ Z)

Aqui vemos o mesmo problema na FNC, que é o aumento proporcional da fórmula, mesmo

sem

adicionarmos

novos

átomos,

ela

aumenta

exponencialmente

com

a

distributividade dos átomos em novas cláusulas fora isso difere da FNC na mudança do conectivo, como vemos na regra número 5.

16

4

REFERÊNCIAS

DIAS, Carlos Magno Corrêa. Lógica Matemática: Introdução ao Cálculo Proposicional. Curitiba, C. M. Corrêa Dias, 1999. SOUZA, João Nunes de. Lógica para ciência da Computação: Fundamentos de linguagem, semântica e sistemas de dedução. Rio de Janeiro: Campus, 2002. SILVA, Flávio Soares Corrêa da; FINGER, Marcelo; MELO, Ana Cristina Vieira de. Lógica para computação. São Paulo: Editora Thompson, 2006. 234 p. ISBN 85-221-0517-0 Augustus

Morgan

matemático

e

lógico

britânico.

Disponível

em:

Acesso em 12.abr.2009.

Formas

normais:

Disponível

em:



Acesso

em 12.abr.2009.

WIKIPÉDIA.

Enciclopédia

multilíngüe

on-line

livre.

Teoremas

De

Morgan.

Disponível em: Acesso em 28.mar.2009.

WIKIPÉDIA. Disponível

Enciclopédia em:

multilíngüe

on-line

livre.

Teoremas

De



Morgan.

Acesso

em

04.abr.2009.

WIKIPÉDIA. Disponível

Enciclopédia em:

multilíngüe

on-line

livre.

Teoremas

De



Morgan.

Acesso

em

Disponível

em:

04.abr.2009. WIKIPÉDIA.

Enciclopédia

multilíngüe

on-line

livre.

Distributividade.

Acesso em 12.abr.2009.

WIKIPÉDIA. Enciclopédia multilíngüe on-line livre. lei da dupla negação. Disponível em: Acesso em 12.abr.2009.

WIKIPÉDIA. Enciclopédia multilíngüe on-line livre. Formal normal disjuntiva. Disponível em: Acesso em 12.abr.2009.

17

Exercícios 3.5) Transformar no formato clausal, introduzindo, se necessário, novos átomos. ((p → q) → p) → p ¬((p → q) → p) V p ¬(¬(p → q) V p) V p ¬(¬(¬p V q) V p) V p ¬((p Λ ¬q) V p) V p (¬(p Λ ¬q) Λ ¬p) V p ((¬p V q) Λ ¬p) V p (p V (¬p V q) Λ (p V ¬p)) (p V ¬p V q) Λ (p V ¬p) ¬(p Λ ¬p) (¬p V p) ((¬p V p) → r) Λ (r → (¬p V p)) (¬(¬p V p) V r) Λ (¬r V (¬p V p)) ((p Λ ¬p) V r) Λ (¬r V ¬p V p) (p V r) Λ (¬p V r) Λ ( ¬r V ¬p V p) (p V q) → ¬(q V r) ¬(p V q) V ¬(q V r) (¬p Λ ¬q) V (¬q Λ ¬r) ((¬p Λ ¬q) V A) Λ (¬A V ¬q) Λ (¬A V ¬r) Λ (q V r V A) (¬p V A) Λ (¬q V A) Λ (¬A V ¬q) Λ (¬A V ¬r) Λ (q V r V A)

3.6) Verificar qual das fórmulas anteriores, no formato clausal, é uma cláusula de Horn. As cláusulas de Horn encontradas são: {(p V ¬p)} {(¬p V r), ( ¬r V ¬p V p)} {(¬p V A), (¬q V A), (¬A V ¬q), (¬A V ¬r)} Mas nenhuma fórmula de Horn (conjunto de cláusulas de Horn) 3.7) Apresentar uma fórmula cuja forma clausal sem adição de novos átomos seja exponencialmente maior no tamanho. Apresentar, em seguida, a mesma fórmula no formato clausal com adição de novos átomos. (A V R) Λ (A V B) (A V c) Λ (¬ c V R) Λ (¬ c V B) Λ (¬ R V ¬ B V c)

3.8) Verificar se as fórmulas a seguir são satisfazíveis. p1 V ¬p2 V ¬p3 p2 V ¬p4 p3 V ¬p4 p4 V ¬p5 V ¬p6 p5 V ¬p7 p6 \/ ¬p7 São todas fórmulas satisfazíveis, basta valorar todos os literais como True. p1 \/ ¬p2 \/ ¬p3 p2 \/ ¬p4 p3 \/ ¬p4 p4 \/ ¬p5 \/ ¬p6 p5 \/ ¬p7 p6 \/ ¬p7 ¬p7 \/ ¬p1 p7 \/ p4 São todas fórmulas satisfazíveis, basta valorar todos os literais como True ou False. (não corrigidos! Ou incompletos!)

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE INFORMÁTICA CURSO DE SISTEMAS DA INFORMAÇÃO

Apresentação em Sala FORMAS NORMAIS

EMERSON SHIGUEO SUGIMOTO RODRIGO CIRINO DE ANDRADE VAGNER VENGUE

CURITIBA 2009