Legendre

Drei-Term-Rekursionen fu¨r standardisierte und L2-normierte Legendre-Polynome Michael Kratzer TU M¨ unchen 21. Mai 2007

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Standardisierte Legendre-Polynome

Fakt 1 Die Legendre-Polynome lassen sich darstellen als P˜k := d.h. es gilt P˜k ⊥Pk−1 ∀k ∈ N0

dk dxk


k x2 − 1 ,

Beweis: [Junge07] Um die P˜k zu standardisieren (d.h. um Pk mit Pk (1) = 1 zu ermitteln), bestimmen wir nun P˜k (1):
k
k−1 dk−1 dk 2 2 ˜ x −1 = x −1 k (2x) (1) Pk (1) = k k−1 dx dx x=1 x=1 Um (1) weiter auszuwerten, ben¨otigen wir Lemma 2 (Produktregel fu ¨ r i-te Ableitung) Seien f, g analytisch. (i)

Dann gilt (f g) (x) = i!

i X f (l) (x) g (i−l) (x) l=0

l!

(i − l)!

P∞ f (i) (x) i P∞ g(i) (x) i Beweis: Seien f (x + h) = i=0 i=0 i! h und g (x + h) = i! h die Taylor-Entwicklungen von f und g um x. Dann ist das Cauchy-Produkt (f g)(x) =

∞ X (f g)(i) (x) i=0

i!

Insbesondere ist (f g)(i) (x) = i!

i

h =

∞ X i X f (l) (x) g (i−l) (x) i=0 l=0

Pi

l=0

l!

f (l) (x) g (i−l) (x) l! (i−l)! .

1

(i − l)!

hl hl−i



In Fortsetzung von (1) ergibt sich damit 
k−1 dk−1  2 ˜ Pk (1) = x −1 k (2x) dxk−1 x=1 



 k−1  d
k−1 2  = 2k  k−1 x − 1 + dx  x=1


k−1 dk−2 2 x −1 dxk−2 x=1 | {z }

    

=0, da ein (x2 − 1) = 0 u ¨brigbleibt


k−2 dk−2  2 = (2k) k−2 x − 1 (k − 1)(2x) = ··· dx x=1
0 d0 2 k = 2k k! = 2 k! 0 x − 1 dx x=1

(2)

¨ Ahnlich ergibt sich
k
k−1 dk+1 dk 2 2 0 ˜ x −1 x −1 (k + 1)(2x) Pk (1) = = k+1 k dx dx x=1  x=1  k k−1

d d k−1 k−1 +k = ··· x2 − 1 x2 − 1 = 2(k + 1) k k−1 dx dx x=1 x=1   k X
l−1 d 2 dl−1 k 0 k−l (k + 1)! 2 = 2 (k + 1)! (x − 1) + 2 l l−1 x − 1 dx l! dx x=1 x=1 | {z } l=1 =0

=

k X l=1

2k−l

k  X (k + 1)!  1 k k(k + 1) ˜ l · 2l−1 (l − 1)! = 2 (k + 1)! = Pk (1) (3) l! 2 2 l=1

Mit (2) und (3) folgt also Lemma 3 Pk :=

P˜k 2k k!

(k ∈ N0 ) sind standardisierte Legendre-Polynome, d.h es

gilt Pk (1) = 1. Außerdem gilt Pk0 (1) =

k(k+1) . 2

Satz 4 (Drei-Term-Rekursion fu ¨ r standardisierte Legendre-Polynome) (k + 1)Pk+1 = (2k + 1)xPk − kPk−1 , P−1 = P0 = 1 Beweis: Aus [Junge07] folgt, dass sich Pk+1 als Pk+1 = a·xPk +b·Pk−1 darstellen l¨asst. Insbesondere gilt Pk+1 (1) = a · xPk (1) + b · Pk−1 (1) 0 0 Pk+1 (1) = a · (xPk )0 (1) + b · Pk−1 (1)

Einsetzen des obigen Lemmas ergibt das Gleichungssystem 1 = a +b  k(k + 1) (k − 1)k (k + 1)(k + 2) = a 1+ +b 2 2 2 mit eindeutiger L¨osung a =

2k+1 k+1 ,

k b = − k+1 .

2



2

L2 -normierte Legendre-Polynome

Wir wollen nun L2 -normierte Legendre-Polynome betrachten, d.h. Polynome pk = ck P˜k mit kpk k2 = 1. Es gilt:

2 Z 1 dk
k d k
k

2 2 x − 1 · x − 1 dx 2 P˜k = k dxk 2 −1 dx  √ Z 1  2k d (2k)!(k)! π k 2 k 2 k = (−1) (x − 1) (x − 1) dx = (4) 2k (k + 12 )! −1 dx | {z } =(2k)!

Die Fakult¨at nicht-ganzer Zahlen ist dabei u ¨ber die Γ-Funktion zu bestimmen. Die zweite Gleichheit gilt wegen mehrfacher partieller Integration, wobei der
k dl 2 = 0 bei x = ±1 f¨ ur l < k (vgl. (2)); die uv-Term“ wegf¨allt, da dx l x − 1 ” dritte Gleichheit wird z.B. von Maple geliefert. Da es f¨ ur die folgende Rechnung auch gen¨ ugt, das Ergebnis zu erraten, ist kein strenger Beweis notwendig. Mit Lemma 3 und (4) ergibt sich Pk =

1 2k k!

r

√ (2k)!k! π/2 pk (k+ 12 )!

=

1 2k

r

√ (2k)! π/2 p . k!(k+ 12 )! k

Einsetzen in Satz 4 liefert: s s s √ √ √ k + 1 (2k + 2)! π/2 2k + 1 (2k)! π/2 k (2k − 2)! π/2 pk+1 = xpk − k−1 xpk−1 2k+1 (k + 1)!(k + 32 )! 2k 2 (k)!(k + 21 )! (k − 1)!(k − 12 )! s s k + 1 (2k + 2)(2k + 1)(2k)(2k − 1) 2k + 1 (2k)(2k − 1) ⇒ pk+1 = xpk − kpk−1 4 2 (k + 1)k(k + 23 )(k + 12 ) (k)(k + 21 ) {z } | √ (2k−1)(2k+1)

⇒ xpk = p

r

k 2k − 1 pk+1 + p pk−1 (2k − 1)(2k + 1) 2k + 3 (2k − 1)(2k + 1) k+1 k pk−1 + p pk+1 ⇒ xpk = √ 2 2−1 4k − 1 4(k + 1) | {z } | {z } k+1

:=βk−1

=βk

Somit ergibt sich Satz 5 (Drei-Term-Rekursion fu ¨ r L2 -normierte Legendre-Polynome) k ∀k > 0 4k 2 − 1 ¨ Beweis: Sonderfall k = 0 als Ubungsaufgabe, allgemein siehe oben hxpk+1 ,pk i hpk+1 ,xpk i Bemerkung: Aus βk = = kpk k kpk+1 k ∀k (vgl. [Junge07] (7.16)) folgt bereits 1 = kp1 k = kp2 k = · · · . (4) muss also nicht bewiesen werden, um die Normiertheit zu zeigen. xpk = βk−1 pk−1 + βk pk+1 , p0 = 1, β0 = 0, βk−1 = √

Literatur [Junge07] O. Junge, Vorlesung Numerik 2, TU M¨ unchen, SoSe 2007

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