Legendre

Tugas MK NASAB KELOMPOK Mirna Ermawati

2225060467

Suf’ah

2225060451

APLIKASI PERSAMAAN DIFERENSIAL LEGENDRE • Momen Legendre telah banyak digunakan pada aplikasi pengenalan pola, pengindeks-an citra, pengenalan wajah, dll karena kemampuannya sebagai deskriptor citra invariant. Namun komputasinya yang kompleks dengan error aproksimasi yang signifikan sering menjadi masalah dalam penggunaan momen Legendret. Tugas akhir ini akan membandingkan beberapa metode komputasi momen Legendre dalam aplikasi rekonstruksi citra dan merekomendasikan yang terbaik dengan error minimal dan waktu komputasi yang efisien. Proses komputasi dilakukan dengan mensampling citra input dan mengaproksimasi polinomial Legendre. Momen Legendre didapat dari perkalian polinomial Legendre dengan fungsi citra. Kemudian citra direkonstruksi dari polinomial Legendre dan momen Legendre yang terbentuk. Beberapa varian pengembangan dari proses komputasi ini antara lain Exact Legendre Moment (ELM), Speedy Legendre Moment (SLM), Exact Geometric Moment (EGM), Zeroth Order Approximation (ZOA), dan Simpson’s Rule (SR). Dari hasil rekonstruksi citra disimpulkan bahwa ELM merupakan metode terbaik untuk citra berwarna atau keabuan. Sedangkan untuk citra biner, SLM merupakan metode terbaik. Keakuratan hasil rekonstruksi dipengaruhi oleh ukuran block encoding dan orde maksimum polinomial. Semakin kecil ukuran block encoding, semakin akurat haslinya, tetapi waktu komputasinya lama. Orde polinomial yang tinggi juga menyebabkan waktu komputasi yang lama, tetapi hasil yang didapat akan lebih akurat. http://digilib.its.ac.id/detil.php?id=2735& Momen%20Legendre

• Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie

Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

dimana r dan r

'adalah panjang dari vektor

masing-masing dan γ adalah

dan

sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r>

r '.

Ekspresi memberikan potensial

gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana pengamat dan

dan

adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi

sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Gambar 2 Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ terletak pada sumbu z pada z

(r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang

= a (Gambar 2) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi.

Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials

• Diferensial Legendre punya aplikasi operator dan persamaan diferensial linier http://www.informaworld.com/smpp/content~db=all~content=a747004546~tab=citations

• Persamaan yang Legendre memainkan peran besar dalam fisika dan teknik. Secara

khusus, persamaan ini paling berguna untuk mengobati masalah nilai batas memamerkan bola simetri http://www.emis.de/journals/HOA/AAA/Volume2007/56419.pdf