Kyklwmata Synexous Menu Kef5

∫∂º∞§∞πO

5

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ∆· ËÏÂÎÙÚÔÏÔÁÈο Î·È ËÏÂÎÙÚÔÓÈο ΢ÎÏÒÌ·Ù· ‰ÂÓ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÔ‡ÓÙ·È ÌfiÓÔ ÌÂ Û˘Ó¯›˜ Î·È ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓ˜ Ù¿ÛÂȘ ‹ Û˘Ó¯‹ Î·È ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓ· Ú‡̷ٷ ·ÏÏ¿ Ì ٿÛÂȘ Î·È Ú‡̷ٷ, ÁÂÓÈÎfiÙÂÚ· Û‹Ì·Ù·, Ù· ÔÔ›· ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚÂÙÈ΋ ÌÔÚÊ‹. ∆¤ÙÔÈ· Û‹Ì·Ù· ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È .¯ ÛÙË ÙËÏÂfiÚ·ÛË ÛÙÔ Î‡Îψ̷ Û¿ÚˆÛ˘, ÛÙ· „ËÊȷο ΢ÎÏÒÌ·Ù· ¯ÚÔÓÈÛÌÔ‡, ÛÙ· ΢ÎÏÒÌ·Ù· ·˘ÙÔÌ·ÙÈÛÌÔ‡. °ÂÓÈο Ù· Û‹Ì·Ù· ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈο ‰ËÏ. Ì ÙË ¯Ú‹ÛË Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂˆÓ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ Ë Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ‰È·ÁÚ·ÌÌ¿ÙˆÓ ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ, Ë Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ‚·ÛÈÎÒÓ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈÎÒÓ fiˆ˜ Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹, Ë ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹, ÙÔ Ï¿ÙÔ˜, Ë ÙÈÌ‹ ·fi ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹. ™ÎÔfi˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ Â›Ó·È Ë Î·Ù·ÓfiËÛË Ù˘ ÂÚÈÁÚ·Ê‹˜ Î·È ¯Ú‹Û˘ ÙˆÓ ÛËÌ¿ÙˆÓ Ô˘ Û˘Ó‹ıˆ˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÙfiÛÔ ÛÙ· ·Ó·ÏÔÁÈο fiÛÔ Î·È ÛÙ· ÏÔÁÈο ΢ÎÏÒÌ·Ù·.

154 ♦ KEºA§AIO 5

5-1. OÚÈÛÌÔ› – ∫·ÙËÁÔڛ˜ ÛËÌ¿ÙˆÓ ❏ ™‹Ì· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Ù¿ÛË ‹ Ë ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ô˘ ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ∆· Û‹Ì·Ù· ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È ÊÔÚ›˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÚÔÔÚÈÛÌfi ÙËÓ ÙÚÔÊÔ‰fiÙËÛË Î·Ù·Ó·ÏˆÙÒÓ ËÏÂÎÙÚÈ΋˜ ÂÓ¤ÚÁÂÈ·˜ ‹ Ó· Â›Ó·È ÊÔÚ›˜ ÏËÚÔÊÔÚ›·˜, fiˆ˜ .¯ Ù· ÙËÏÂÈÎÔÈÓˆÓȷο Û‹Ì·Ù·. ∆· Û‹Ì·Ù· Ù·ÍÈÓÔÌÔ‡ÓÙ·È Ì ‚¿ÛË: ·) ∆· ÛÙÔȯ›· ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ∆· Û‹Ì·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ·ÈÙÈÔÎÚ·ÙÈο Î·È Û ÛÙ·ÙÈÛÙÈο.

❏ ∞ÈÙÈÔÎÚ·ÙÈο ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· Ô˘ ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ·fi ÔÚÈṲ̂ÓÔ ·ÚÈıÌfi ·Ú·Ì¤ÙÚˆÓ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ÌÈ· ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓË Ù¿ÛË Â›Ó·È ·ÈÙÈÔÎÚ·ÙÈÎfi Û‹Ì·.

❏ ™Ù·ÙÈÛÙÈο ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· Ô˘ ¤¯Ô˘Ó Ù˘¯·›· ÙÈÌ‹ Û οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô ıfiÚ˘‚Ô˜ Â›Ó·È ÛÙ·ÙÈÛÙÈÎfi Û‹Ì·. ‚) ªÂÚÈΤ˜ ‚·ÛÈΤ˜ Ì·ıËÌ·ÙÈΤ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ fiˆ˜: π) ∏ Û˘Ó¤¯ÂÈ· ∆· Û‹Ì·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ·Ó·ÏÔÁÈο Î·È „ËÊȷο.

❏ ∞Ó·ÏÔÁÈο ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· Ô˘ Â›Ó·È Û˘Ó¯›˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-1 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ·Ó·ÏÔÁÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜.

™¯‹Ì· 5.1.

AÓ·ÏÔÁÈÎfi Û‹Ì·

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 155

❏ æËÊÈ·Îfi ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ Û‹Ì· Ô˘ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚÈÙ¤˜ ÙÈ̤˜. ™ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· 5-2 Ê·›ÓÂÙ·È ¤Ó· „ËÊÈ·Îfi Û‹Ì·.

f(t) PAM

EÍÔ‰Ô˜

™¯‹Ì· 5.2.

t

æËÊÈ·Îfi Û‹Ì·

ππ) ∏ Û˘ÌÌÂÙÚ›· ∆· Û‹Ì·Ù· ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ¿ÚÙÈ· Î·È ÂÚÈÙÙ¿.

❏ ÕÚÙÈ· ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË: f(t)=f(–t) ÁÈ· οı t. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-3 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ·ÚÙ›Ô˘ Û‹Ì·ÙÔ˜.

F(t)

(0,0)

™¯‹Ì· 5.3.

t

ÕÚÙÈÔ Û‹Ì·

156 ♦ KEºA§AIO 5

❏ ¶ÂÚÈÙÙ¿ ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË: f(t)=–f(–t) ÁÈ· οı t. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5.4 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ÂÚÈÙÙÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜. F(t)

t

(0,0)

™¯‹Ì· 5.4.

¶ÂÚÈÙÙfi Û‹Ì·

III) ∏ ÂÚÈÔ‰ÈÎfiÙËÙ·

❏ ¶ÂÚÈÔ‰Èο ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· Û‹Ì·Ù· ÁÈ· Ù· ÔÔ›· ÈÛ¯‡ÂÈ Ë Û¯¤ÛË: f(t+nT)=f(t) ÁÈ· οı t, fiÔ˘ n ·Î¤Ú·ÈÔ˜. ∏ ·Ú¿ÌÂÙÚÔ˜ ∆ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÂÚ›Ô‰Ô˜. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5.5 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜. F(t)

t (0,0)

™¯‹Ì· 5.5.

¶ÂÚÈÔ‰ÈÎfi Û‹Ì·

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 157

5-2. ¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÛËÌ¿ÙˆÓ ∏ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÓfi˜ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ï‹Ú˘ Ë ÌÂÚÈ΋. ∏ Ï‹Ú˘ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ú·ÁÌ·ÙÔÔÈ›ٷÈ: • ∞Ó·Ï˘ÙÈο, ‰ËÏ·‰‹ Ì ̷ıËÌ·ÙÈΤ˜ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ, ÔÈ Ôԛ˜ ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙË ÌÂÙ·‚ÏËÙ‹ ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Û˘Ó¿ÚÙËÛË V=220ËÌ(314t) ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ÌÈ· ÂÓ·ÏÏ·ÛÛfiÌÂÓË Ù¿ÛË. • °Ú·ÊÈο, ‰ËÏ·‰‹ Ì ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·Ù· ÛÂ Û˘Ó¿ÚÙËÛË Ì ÙÔ ¯ÚfiÓÔ. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-6 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÂÓfi˜ Û‹Ì·ÙÔ˜. • ªÂ ›Ó·Î˜ ÙÈÌÒÓ, ‰ËÏ·‰‹ ›Ó·Î˜ Ô˘ ÁÈ· ÔÚÈṲ̂Ó˜ ¯ÚÔÓÈΤ˜ ÛÙÈÁ̤˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜. O ›Ó·Î·˜ 5-1 ÂÚÈÁÚ¿ÊÂÈ ¤Ó· Û‹Ì·.

F(t)

t (0,0)

™¯‹Ì· 5.6.

¶ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ì ÙË ¯Ú‹ÛË ‰È·ÁÚ¿ÌÌ·ÙÔ˜

t (s) 1 2 3 4 5

I (mA) 0,67 0,87 0,42 0,56 0,38

¶›Ó·Î·˜ 5.1

158 ♦ KEºA§AIO 5

❏ ªÂÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ÂÓfi˜ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ì ‚¿ÛË ÔÚÈṲ̂Ó˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÔÈ Ôԛ˜ ·Ú¤¯Ô˘Ó Ï‹Úˆ˜ ÙȘ ÂÈı˘ÌËÙ¤˜ ÏËÚÔÊÔڛ˜.

5-3. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÛËÌ¿ÙˆÓ OÈ ÛÔ˘‰·ÈfiÙÂÚ˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈΤ˜ ÙÈ̤˜ ÁÈ· ÙË ÌÂÚÈ΋ ÂÚÈÁÚ·Ê‹ ›ӷÈ: ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜

❏ ª¤ÛË ÙÈÌ‹ „ËÊÈ·ÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÙÔ˘ ·ıÚÔ›ÛÌ·ÙÔ˜ ÙˆÓ ÙÈÌÒÓ ÙÔ˘ „ËÊÈ·ÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÚÔ˜ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙÔ˘˜. n

fav =

™ fk

k =1

(5.1)

n

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 5-7 ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È: F(t) 4 3 2 1 (0,0)

t 1

™¯‹Ì· 5.7.

fav =

2

3

4

5

6

YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ „ËÊÈ·ÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜

2 + 2,5 + 1,5 + 3 + 4 + 1 14 = = 2.33 6 6

❏ ª¤ÛË ÙÈÌ‹ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ËÏ›ÎÔ ÙÔ˘ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô ÚÔ˜ ÙËÓ ÂÚ›Ô‰Ô.

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 159

fav =

EÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô T

(5.2)

¶Ú¤ÂÈ Ó· ÛËÌÂȈı›, fiÙÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Â›Ó·È ¿Óˆ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· t Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ıÂÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ, ÂÓÒ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ̤ÚÔ˘˜ Ô˘ Â›Ó·È Î¿Ùˆ ·fi ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· t Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ·ÚÓËÙÈÎfi ÚfiÛËÌÔ. F(t) 2 1 (0,0) –1

™¯‹Ì· 5.8.

t T 2

T

YÔÏÔÁÈÛÌfi˜ ̤Û˘ ÙÈÌ‹˜ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜

°È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì· 5-8 ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È: 2Ø T + – 1 Ø T 2 2 =1 fav = 2 T ‚) ∂ÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜

❏ ∂ÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ (¤ÓÙ·Û˘ ‹ Ù¿Û˘) ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÙÔ ˘ÔıÂÙÈÎfi Û˘Ó¯¤˜ Û‹Ì· (¤ÓÙ·ÛË ‹ Ù¿ÛË), ÙÔ ÔÔ›Ô fiÙ·Ó ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ› ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÓÙÈÛÙ¿ÙË Ô˘ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ› ÙÔ Û‹Ì· Â› ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ¤¯ÂÈ ˆ˜ Û˘Ó¤ÂÈ· Ô ·ÓÙÈÛÙ¿Ù˘ Ó· ηٷӷÏÒÓÂÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÔÛfi ıÂÚÌfiÙËÙ·˜. ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ f Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ frms. Á) ¶Ï¿ÙÔ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜

❏ ¶Ï¿ÙÔ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Ì¤ÁÈÛÙË ıÂÙÈ΋ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-9 ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÂÚÈÔ‰ÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜.

160 ♦ KEºA§AIO 5 F(t) FP t (0,0)

™¯‹Ì· 5.9.

¶Ï¿ÙÔ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜

∆Ô Ï¿ÙÔ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜ f Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ fp. ‰) ∆ÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹.

❏ ∏ ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹ Â›Ó·È ›ÛË Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ Ù˘ ̤ÁÈÛÙ˘ ıÂÙÈ΋˜ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Î·È Ù˘ ÂÏ¿¯ÈÛÙ˘ ·ÚÓËÙÈ΋˜ ÙÈÌ‹˜ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜. F(t) Fp-p t (0,0)

™¯‹Ì· 5.10.

TÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹

™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-10 ÛËÌÂÈÒÓÂÙ·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ·fi ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹. ∏ ·fi Û ÎÔÚ˘Ê‹ Û ÎÔÚ˘Ê‹ ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ f Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ˆ˜ fp-p.

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 161

5-4. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈο Û‹Ì·Ù· ·) ∞ÚÌÔÓÈο Û‹Ì·Ù·

❏ ∞ÚÌÔÓÈο ÔÓÔÌ¿˙ÔÓÙ·È Ù· ËÌÈÙÔÓÔÂȉ‹ Î·È Ù· Û˘ÓËÌÈÙÔÓÔÂȉ‹ Û‹Ì·Ù·. ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙˆÓ ·ÚÌÔÓÈÎÒÓ ÛËÌ¿ÙˆÓ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ª¤ÛË ÙÈÌ‹ Ìˉ¤Ó ¤¯Ô˘Ó fiÏ· Ù· Û‹Ì·Ù· Ô˘ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈο ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙÔ˘ ¯ÚfiÓÔ˘ t. ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ·ÚÌÔÓÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: f rms =

f0 2

™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-11 Ê·›ÓÂÙ·È ¤Ó· ·ÚÌÔÓÈÎfi Û‹Ì·. F(t)

(0,0)

™¯‹Ì· 5.11.

t

AÚÌÔÓÈÎfi Û‹Ì·

‚) £ÂÙÈÎÔ› ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ› ·ÏÌÔ› ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-12 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ıÂÙÈÎÒÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÒÓ ·ÏÌÒÓ. F(t) A

(0,0)

™¯‹Ì· 5.12.

T 2

T

£ÂÙÈÎÔ› ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔÈ ·ÏÌÔ›

t

162 ♦ KEºA§AIO 5

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: f av =

EÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô T

AØT 2 ⇒ ⇒ f av = T

f av = A 2

∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: Èڛ˜ Ó· ηٷÛÙÚ·ÙËÁËı› Ë ÁÂÓÈÎfiÙËÙ· ˘ÔÙÂı¤ÙÔÌ ˆ˜ ÙÔ Û‹Ì· Û˘Ó›ÛÙ·Ù·È ·fi ·ÏÌÔ‡˜ ¤ÓÙ·Û˘ Ú‡̷ÙÔ˜. ∆Ô ÔÛfi Ù˘ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Q Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ·fi ·ÓÙÈÛÙ¿ÙË R, Ô ÔÔ›Ô˜ ‰È·ÚÚ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ Û‹Ì· Û ¯ÚfiÓÔ ∆ ›ӷÈ: Q = A 2 R T (1) ∏ Û¯¤ÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ ÁÈ·Ù› ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· 0 ≤ t ≤ T ÙÔ Û‹Ì· 2 2 T Â›Ó·È Û˘Ó¯¤˜, ÂÓÒ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· ≤ t ≤ T ,, Q = 0 2 ™‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÓÂÚÁÔ‡ ÙÈÌ‹˜: 2 Q = frms RT (2) ∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) Î·È (2) ¤ÂÙ·È: A2 2 2 frms = frms RT = A 2R T 2 ⇒ 2 ⇒ frms = A 2

Á) ∆ÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ› ·ÏÌÔ› Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ› ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· t. ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-13 Ê·›ÓÔÓÙ·È ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ› ·ÏÌÔ› Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ› ˆ˜ ÚÔ˜ ÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ÙˆÓ ¯ÚfiÓˆÓ. F(t) A

T 2

(0,0)

™¯‹Ì· 5.13.

t T

TÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ› ·ÏÌÔ› Û˘ÌÌÂÙÚÈÎÔ› ˆ˜ ÚÔ˜ t

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 163

Q =Q1 +Q2 Q1 =A2 R T 2 Q2 =A2 R T 2

0≤t ≤ T 2 T ≤t ≤T 2

14243

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó, ·ÊÔ‡ Â›Ó·È Û˘ÌÌÂÙÚÈÎfi ˆ˜ ÚÔ˜ t. ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È: ∞Ó ÙÔ Û‹Ì· ıˆÚËı› ¤ÓÙ·ÛË Ú‡̷ÙÔ˜, ÙfiÙ ÙÔ ÔÛfi ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ·fi ·ÓÙÈÛÙ¿ÙË R, Ô˘ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È ·fi ÙÔ Û‹Ì·, ÁÈ· ¯ÚfiÓÔ ∆ ›ӷÈ:

(1)

fiÔ˘ Q1 Ë ıÂÚÌfiÙËÙ· Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ R ÛÙË Ì›· ËÌÈÂÚ›Ô‰Ô Î·È Q2 Ë ıÂÚÌfiÙËÙ· Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È ·fi ÙËÓ R ÛÙËÓ ¿ÏÏË ËÌÈÂÚ›Ô‰Ô. ∞fi ÙËÓ (1) ¤ÂÙ·È: Q =A2R

T + A 2 R T = A 2 RT 2 2

(2)

∞ÏÏ¿ ·fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÓÂÚÁÔ‡ ÙÈÌ‹˜ ¤ÂÙ·È: 2 Q = f rms RT

(3)

∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (2) Î·È (3) ¤ÂÙ·È: 2 f rms RT = A 2 RT ⇒

f rms = A

‰) ∆ÚÈÁˆÓÈÎfi˜ ·ÏÌfi˜ ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-14 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÚÈÁˆÓÈÎÔ‡ ·ÏÌÔ‡. F(t)

A

t (0,0)

™¯‹Ì· 5.14.

T 2

T

¢È¿ÁÚ·ÌÌ· ÙÚÈÁˆÓÈÎÔ‡ ·ÏÌÔ‡

164 ♦ KEºA§AIO 5

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÏÌÔ‡ ›ӷÈ: EÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô , ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÏÌÔ‡ Â›Ó·È ÙÔ ÂÌT ‚·‰fiÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ÏÂ˘Ú¿ ∆ Î·È ‡„Ô˜ ∞. ∂Ô̤ӈ˜: f av =

1 TA ⇒ f av = 2 T f av = 1 A 2

∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ›ӷÈ: f rms = A 3

Â) ¶·ÏÌfi˜ Û¿ÚˆÛ˘ ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5.15 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ıˆÚËÙÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ Û¿ÚˆÛ˘. F(t) A

t (0,0)

™¯‹Ì· 5.15.

T

2T

¢È¿ÁÚ·ÌÌ· Û‹Ì·ÙÔ˜ Û¿ÚˆÛ˘

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ˘ÔÏÔÁ›˙ÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: EÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô , ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Â›Ó·È ÂÌT ‚·‰fiÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ‚¿ÛË ∆ Î·È ‡„Ô˜ ∞. ∂Ô̤ӈ˜: f av =

1 AT f av = 2 ⇒ f av = 1 A T 2

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 165

∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ›ӷÈ: f rms = A 3

ÛÙ) ∏ÌÈ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ ËÌÈÙÔÓÔÂȉ¤˜ Û‹Ì·: ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-16 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ËÌÈ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ ËÌÈÙÔÓÔÂȉԇ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜. f(t)

(0,0) ™¯‹Ì· 5.16.

T 2

T

3 T2

2T

t

TÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· ËÌÈ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ ËÌÈÙÔÓÔÂȉԇ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: f av = A  ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: f rms = A 2

˙) ¶Ï‹Úˆ˜ ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ ËÌÈÙÔÓÔÂȉ¤˜ Û‹Ì·: ™ÙÔ Û¯‹Ì· 5-17 Ê·›ÓÂÙ·È ÙÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ï‹Úˆ˜ ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ ËÌÈÙÔÓÔÂȉԇ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜.

166 ♦ KEºA§AIO 5 f(t)

t (0,0) ™¯‹Ì· 5.17.

T

2T

TÔ ‰È¿ÁÚ·ÌÌ· Ï‹Úˆ˜ ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ ËÌÈÙÔÓÔÂȉԇ˜ Û‹Ì·ÙÔ˜

∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Ï‹Úˆ˜ ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ›ӷÈ: f av = 2A 

∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ›ӷÈ: f rms = A 2

5-5. ∂Ê·ÚÌÔÁ¤˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 1Ë °È· ÙÔ Û‹Ì· Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó: ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ‚) ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹. F 1 T (0,0)

–2

T 4

T 2

3 4T

t

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 167

§‡ÛË ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜: ÂÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô ∆ ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ̤ÚÔ˜ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ›ӷÈ: f·Ó =

S1 = 1 Ø T 4 ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ·ÚÓËÙÈÎÔ‡ ̤ÚÔ˘˜ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ›ӷÈ: S2 = 2 Ø 3T 4 ∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) (2) Î·È (3) ÚÔ·ÙÂÈ:

(1)

(2)

(3)

1 ∆ – 2 Ø 3∆ 4 = – 5 = – 1,25 f·Ó = 4 4 ∆ T ‚) ∆Ô Û‹Ì· ÌÔÚ› Ó· ıˆÚËı› ˆ˜ ¤ÓÙ·ÛË. °È· ÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ· 0 ≤ t ≤ Ë ÙÈÌ‹ 4 ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ¤¯ÂÈ ÛÙ·ıÂÚ‹ ÙÈÌ‹, ÂÔ̤ӈ˜ ÙÔ ÔÛfiÓ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ Ô˘ ηٷÏÒ-

ÓÂÙ·È ·fi ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R Û’ ·˘Ùfi ÙÔ ¯ÚÔÓÈÎfi ‰È¿ÛÙËÌ· ı· ›ӷÈ: Q1 = 12R T = 1R T 4 4

ŸÌÔÈ· ÙÔ ÔÛfiÓ ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ ÛÙÔ ‰È¿ÛÙËÌ·

(4)

T
3T = 3R∆ 4

Q2 = 22R

(5)

∂Ô̤ӈ˜ ÙÔ ÔÏÈÎfi ÔÛfi ıÂÚÌfiÙËÙ·˜ ı· ›ӷÈ: (4) (5)

 > Q = RT + 3RT ⇒ Q = 13RT Q = Q1 + Q2  4 4 ∞fi ÙÔÓ ÔÚÈÛÌfi Ù˘ ÂÓÂÚÁÔ‡ ÙÈÌ‹˜ ÚÔ·ÙÂÈ: 2 rms

Q=f

RT

(7)

∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (6) Î·È (7) ¤ÂÙ·È: frms RT = 13 RT ⇒ frms = 4

(6)

13 2

168 ♦ KEºA§AIO 5

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 2Ë ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜.

F 5 t T 2

(0,0)

T

§‡ÛË ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚ›˙ÂÙ·È ˆ˜ f·Ó =

ÂÌ‚·‰fiÓ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· ÌÈ· ÂÚ›Ô‰Ô ∆

(1)

∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ· 0 ≤ t ≤ T ›ӷÈ: ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ Ì ‚¿ÛË 2 T Î·È ‡„Ô˜ 5 ¿Ú·: 2 S1 = 1 T Ø 5 ⇒ S1 = 5T 2 2 4 (2) ∆Ô ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÁÈ·

∆
S2 = O ∞fi ÙȘ Û¯¤ÛÂȘ (1) (2) Î·È (3) ¤ÂÙ·È: 5 ∆ +O S1 + S2 f·Ó = ⇒ f·Ó = 4 ⇒ T T f·Ó =

5 ⇒ f·Ó = 1,25 4

(3)

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 169

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 3Ë N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó: ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹. ‚) ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·.

F 10

t (0,0)

T 2

T

§‡ÛË ·) H ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ‡ ·ÏÌÔ‡ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: fav = A ⇒ fav = 5 2

‚) H ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ıÂÙÈÎÔ‡ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈÎÔ‡ ·ÏÌÔ‡ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: 10 frms = A ⇒ frms = = 7,07 2 2

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 4Ë °È· ÙÔÓ ÙÚÈÁˆÓÈÎfi ·ÏÌfi ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜, Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó. ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ‚) ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹

170 ♦ KEºA§AIO 5

§‡ÛË F 2

A

t (0,0)

T 2

3 2T

T

2T

·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÏÌÔ‡ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Ù‡Ô: fav = 1 ∞ ⇒ fav = 2 Ø 1 = 1 2 2

‚) ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÏÌÔ‡ ›ӷÈ: frms = A ⇒ frms = 2 3 3

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 5Ë ¡· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ Î·È Ë ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹, ÙÔ˘ ËÌÈ·ÓÔÚıˆÌ¤ÓÔ˘ ËÌÈÙÔÓÈÎÔ‡ Û‹Ì·ÙÔ˜ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜.

F

3 t (0,0)

T 2

T

™HMATA KAI XAPAKTHPI™TIKA TOY™ ♦ 171

§‡ÛË ·) ∏ ̤ÛË ÙÈÌ‹ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË ∞ ⇒f = 3 f·Ó =  ·Ó 

‚) ∏ ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙË Û¯¤ÛË: frms = ∞ ⇒ frms = 3 ⇒ frms = 1,5 2 2

5-6. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÚÔ˜ χÛË

1o

°È· ÙÔ Û‹Ì· Û¿ÚˆÛ˘ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. N· ˘ÔÏÔÁÈÛıÔ‡Ó: ·) H ̤ÛË ÙÈÌ‹ ‚) H ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ F(t) 3

1,5, 3 t

(0,0)

2o

N· ˘ÔÏÔÁÈÛıÔ‡Ó: ·) H ̤ÛË ÙÈÌ‹ ‚) H ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ Á) TÔ Ï¿ÙÔ˜ °È· ÙÔ Û‹Ì· Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·. F

4 ,

2 t (0,0)

2, 2

172 ♦ KEºA§AIO 5

3o

¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ Î·È ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÂÓÂÚÁfi˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·; F 4

0,5

2

t (0,0)

4o

T 8

T

N· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ Û‹Ì·ÙÔ˜ Ô˘ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ Û¯‹Ì·: F

(0,25)

2 t (0,0)

5o

T 4

T 2

3T 4

T

°È· ÙÔ Û¯‹Ì· Û‹Ì· ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ˘ÔÏÔÁÈÛı› Ë Ì¤ÛË ÙÈÌ‹: F 2

(–0, 5) t

(0,0) –2

T 2

T