Kyklwmata Synexous Menu Kef3

∫∂º∞§∞πO

3

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ∂ÈÛ·ÁˆÁ‹ ™ÙÔ ÎÂÊ¿Ï·ÈÔ ·˘Ùfi ÂÚÈÁÚ¿ÊÔÓÙ·È ‚·ÛÈΤ˜ ÙÔÔÏÔÁÈΤ˜ ¤ÓÓÔȘ ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÔÈ ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ Kirchhoff Ì ÌÂÚÈΤ˜ ‚·ÛÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ·˘ÙÒÓ. ™ÎÔfi˜ ÙÔ˘ ÎÂÊ·Ï·›Ô˘ ›ӷÈ, Ó· ·Ó·Ù‡ÍÔ˘Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ¢¯¤ÚÂÈ· ÛÙË ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ ÙÔ˘ Kirchhoff, Î·È ÂȉÈÎfiÙÂÚ· ÛÙȘ Ôχ ÛËÌ·ÓÙÈΤ˜ ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ·˘ÙÒÓ (Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›Â˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ, ËÁÒÓ, ‰È·ÈÚÂÙÒÓ Ù¿Û˘ Î·È Ú‡̷ÙÔ˜).

62 ♦ KEºA§AIO 3

3 – 1. TÔÔÏÔÁÈÎÔ› ÔÚÈÛÌÔ› °È· ÙË ÌÂϤÙË Î·È Î·Ù·Û΢‹ ËÏÂÎÙÚÔÏÔÁÈÎÒÓ Û˘ÛÙËÌ¿ÙˆÓ, ··Ú·›ÙËÙË ÚÔ¸fiıÂÛË Â›Ó·È Ë Î·Ù·ÓfiËÛË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ ÙˆÓ ÌÂÚÒÓ (ÛÙÔȯ›ˆÓ) ·fi Ù· ÔÔ›· ··ÚÙ›˙ÂÙ·È ÙÔ Û‡ÛÙËÌ·. E›Û˘, Ú¤ÂÈ Ó· ÌÔÚ› Ó· ÂÚÈÁÚ¿„ÂÈ Î¿ÔÈÔ˜ ·fi Ì·ıËÌ·ÙÈ΋˜ ÛÎÔÈ¿˜ Ù· ÛÙÔȯ›· ·˘Ù¿ Î·È Ó· ÁÓˆÚ›˙ÂÈ ÙȘ ·Ó·Ï˘ÙÈΤ˜ ÌÂıfi‰Ô˘˜, ÔÈ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÈηӤ˜ Î·È ·Ó·Áη›Â˜ ÁÈ· ÙËÓ Úfi‚ÏÂ„Ë Î·È ·ÍÈÔÏfiÁËÛË Ù˘ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜. ™Â fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿‰Ô˘˜ Ù˘ HÏÂÎÙÚÔÙ¯ӛ·˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Ï‹ıÔ˜ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Û˘Û΢ÒÓ, ÔÈ Ôԛ˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Ì ÙÔ˘˜ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˜ ÙÔ˘˜ Ì ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜. TÔ Û‡ÓÔÏÔ Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ ·fi ÙȘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Î‡Îψ̷ ‹ ‰›ÎÙ˘Ô. ™˘Ó‹ıˆ˜, Ô fiÚÔ˜ ·Îψ̷ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÁÈ· ·Ϥ˜ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ, ÂÓÒ, Ô fiÚÔ˜ ‰›ÎÙ˘Ô ÁÈ· ÔχÏÔΘ Û˘Ó‰¤ÛÂȘ.

❏ KÏ¿‰Ô˜: E›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÔÌ¿‰· Û˘Ó‰Â‰ÂÌ¤ÓˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ¤Ó· Û‡ÓÔÏÔ ‰‡Ô ·ÎÚÔ‰ÂÎÙÒÓ, «ÌÈ· ÁÚ·ÌÌ‹» ÛÙËÓ ÔÔ›·Ó ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ Û˘Ó·ÚÙ‹ÛÂȘ v(t) Î·È i(t). v(t)=vAB(t)

+ A

–

i(t) ™¯‹Ì· 3.1.

B K·ıÔÚÈÛÌfi˜ ÎÏ¿‰Ô˘

❏ KfiÌ‚Ô˜: E›Ó·È Ô ÎÔÈÓfi˜ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˘ (‹ ÛËÌ›Ô) ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚˆÓ ÎÏ¿‰ˆÓ. ¢È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ·ÏÔ‡˜ Î·È Û‡ÓıÂÙÔ˘˜ ÎfiÌ‚Ô˘˜. Û‡ÓıÂÙÔ˜ ÎfiÌ‚Ô˜

·Ïfi˜ ÎfiÌ‚Ô˜

™¯‹Ì· 3.2.

K·ıÔÚÈÛÌfi˜ ÎfiÌ‚Ô˘

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 63

❏ BÚfi¯Ô˜: E›Ó·È ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÎÏÂÈÛÙ‹ ‰È·‰ÚÔÌ‹ ÎÏ¿‰ˆÓ. ¢È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ·ÏÔ‡˜ Î·È ÌË ·ÏÔ‡˜ ‚Úfi¯Ô˘˜. 2

1

5

4 3 BÚfi¯Ô˜ 2, 4, 5: ·Ïfi˜ BÚfi¯Ô˜ 2, 3, 1: fi¯È ·Ïfi˜

™¯‹Ì· 3.3.

K·ıÔÚÈÛÌfi˜ ‚Úfi¯Ô˘

T· ËÏÂÎÙÚÈο ΢ÎÏÒÌ·Ù· ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ Ì¤ÁÂıÔ˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ Ô˘ ÂÚȤ¯Ô˘Ó Û ۯ¤ÛË Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·̷ÙÔ˜ Ù˘ Û˘¯ÓfiÙËÙ·˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ ÙÔ˘˜, ‰È·ÎÚ›ÓÔÓÙ·È Û ‰‡Ô ηÙËÁÔڛ˜.

❏ ™˘ÁÎÂÓÙڈ̤ӷ ΢ÎÏÒÌ·Ù·: T· ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ ¤¯Ô˘Ó ̤ÁÂıÔ˜ Ôχ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·̷ÙÔ˜ Ù˘ Û˘¯ÓfiÙËÙ·˜ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜. A˘Ùfi ¤¯ÂÈ Û·Ó Û˘Ó¤ÂÈ· ÁÈ· ÛÙÔȯ›· fiˆ˜ .¯. ÙÔ˘ Û¯. 3.1., Ë Ù¿ÛË v(t) Ó· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙ÂÙ·È Ì ÌÂÙÚ‹ÛÂȘ ÛÙÔ˘˜ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˜ A Î·È B Î·È ÙÔ Ú‡̷ i(t) Ô˘ Ì·›ÓÂÈ ÛÙÔ ÎfiÌ‚Ô A Ó· ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ú‡̷ Ô˘ ηٷϋÁÂÈ ÛÙÔ ÎfiÌ‚Ô B.

❏ K·Ù·ÓÂÌË̤ӷ ΢ÎÏÒÌ·Ù·: T· ÛÙÔȯ›· ·˘ÙÒÓ ÙˆÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ ¤¯Ô˘Ó ̤ÁÂıÔ˜ Û˘ÁÎÚ›ÛÈÌÔ Ì ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ·̷ÙÔ˜ Ù˘ Û˘¯ÓfiÙËÙ· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜. A˘Ùfi ¤¯ÂÈ Û·Ó Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ Ú‡̷ ÛÙËÓ ¤ÍÔ‰Ô Û οı ¯ÚÔÓÈ΋ ÛÙÈÁÌ‹ Ó· Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎfi ·fi ÙÔ Ú‡̷ ÂÈÛfi‰Ô˘. H ·Ó¿Ï˘ÛË Ù¤ÙÔÈˆÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ ··ÈÙ› ͯˆÚÈÛÙ‹ ıˆڛ· Ë ÔÔ›· Ï·Ì‚¿ÓÂÈ ˘fi„Ë Ù˘ ÙËÓ Î·Ù·ÓÔÌ‹ ÙÔ˘ H/M ‰›Ô˘ Ô˘ ·Ó·Ù‡ÛÛÂÙ·È Î·Ù¿ ÙË ‰È¿‰ÔÛË Ù˘ H/M ÈÛ¯‡Ô˜. T¤ÙÔÈ· ΢ÎÏÒÌ·Ù· ‰ÂÓ ÚfiÎÂÈÙ·È Ó· ÂÍÂÙ·ÛıÔ‡Ó Û’ ·˘Ùfi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô.

3 – 2. ™˘Ì‚¿ÛÂȘ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ AÓ·ÊÂÚfiÌÂÓÔÈ ÛÙÔ Û¯. 3.1 ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ, ÙÔ Ú‡̷ Î·È Ë Ù¿ÛË ‰›ÓÔÓÙ·È ·fi οÔÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÔÈ ÔÔ›ÔÈ Ê˘ÛÈο ‰ÂÓ Ì·˜ ‰›ÓÔ˘Ó ÏËÚÔÊÔڛ˜ ÁÈ· ÙË

64 ♦ KEºA§AIO 3

ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ ÛÙÔÓ ÎÏ¿‰Ô, Ô‡Ù ÁÈ· ÙÔ ÔÈÔ˜ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û „ËÏfiÙÂÚÔ ‹ ¯·ÌËÏfiÙÂÚÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi. °È· Ó· ¤¯Ô˘Ì ÙȘ ÏËÚÔÊÔڛ˜ ·˘Ù¤˜ ÔÚ›˙Ô˘Ì Û οı ÎÏ¿‰Ô ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ú‡̷ÙÔ˜ Î·È ÔÏÈÎfiÙËÙ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ù¿Û˘. ŒÙÛÈ, ϤÁÔÓÙ·˜ fiÙÈ v(t) > 0 ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÛÙÔÓ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙË A Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ‰˘Ó·ÌÈÎfi ÛÙÔÓ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙË B. §¤ÁÔÓÙ·˜ Â›Û˘, fiÙÈ i(t) > 0 ÂÓÓÔԇ̠fiÙÈ ıÂÙÈο ÊÔÚÙ›· Ì·›ÓÔ˘Ó ÛÙÔÓ ÎÏ¿‰Ô ·fi ÙÔÓ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙË A Î·È ‚Á·›ÓÔ˘Ó ·fi ÙÔÓ ·ÎÚÔ‰¤ÎÙË B ÙË ¯ÚÔÓÈÎË ÛÙÈÁÌ‹ t. E›Ó·È Ê·ÓÂÚfi ‚¤‚·È· fiÙÈ, Ë ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ú‡̷ÙÔ˜ Î·È Ë ÔÏÈÎfiÙËÙ· ·Ó·ÊÔÚ¿˜ Ù¿Û˘ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· ÂÎÏÂÁÔ‡Ó ·˘ı·›ÚÂÙ·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ÙÔ˘ Û¯. 3.1 ÈÛ¯‡ÂÈ v(t) Ø i(t) > 0 Î·È ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ÈÛ¯‡ Ô˘ ηٷӷÏÒÓÂÙ·È (·ÔÚÚÔÊ¿Ù·È) ·fi ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÎÏ¿‰Ô˘. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË, ‰Â›¯ÓÂÈ ÙËÓ ÈÛ¯‡ Ô˘ ·Ô‰›‰ÂÈ ÙÔ ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÙÔ˘ ÎÏ¿‰Ô˘ ÛÙÔ ˘fiÏÔÈÔ Î‡Îψ̷. ™ÙËÓ ÚÒÙË ÂÚ›ÙˆÛË Ï¤Ì fiÙÈ, ¤¯Ô˘Ì ÊÔÚ¿ Î·È ÔÏÈÎfiÙËÙ· Û˘Û¯ÂÙÈṲ̂Ó˜ Î·È Û˘Ó‹ıˆ˜ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ÛÙËÓ ·Ó¿Ï˘ÛË ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘Îψ̿وÓ.

❏ ¶ÔÏÈÎfiÙËÙ· ‹ ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ‚Úfi¯Ô˘: E›Ó·È Ë ÊÔÚ¿ ΛÓËÛ˘ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡ ‹ Ë ·ÓÙ›ıÂÙË.

+

V1

–

+

·Ó·ÊÔÚ¿˜ ‚Úfi¯ Ú¿ Ô˘ ÊÔ

V4

–

V2

–

+ –

V3

+ ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÎÏ¿‰Ô˘

™¯‹Ì· 3.4.

¶ÔÏÈÎfiÙËÙ· ‹ ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ‚Úfi¯Ô˘

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 65

3 – 3. NfiÌÔÈ ÙÔ˘ K›ÚÎˆÊ (Kirchhoff) H Û‡Ó‰ÂÛË ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ (·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ, ˘ÎÓˆÙÒÓ, ËÓ›ˆÓ, ËÁÒÓ) ÛÙ· ΢ÎÏÒÌ·Ù· ı¤ÙÂÈ ÔÚÈṲ̂Ó˜ Û˘Óı‹Î˜ ÛÙȘ Û¯¤ÛÂȘ Ù¿ÛÂˆÓ Î·È ÚÂ˘Ì¿ÙˆÓ. OÈ Û˘Óı‹Î˜ ·˘Ù¤˜ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙÔ› ˆ˜ ÓfiÌÔÈ ÙÔ˘ Kirchhoff ·fi ÙÔ fiÓÔÌ· ÙÔ˘ Gustav Kirchhoff Ô ÔÔ›Ô˜ ÚÒÙÔ˜ ÙÔ˘˜ ‰È·Ù‡ˆÛ Û ÌÈ· ÂÚÁ·Û›· ÙÔ˘ Ë ÔÔ›· ‰ËÌÔÛȇÙËΠÙÔ 1848. TÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ ·˘ÙÔ‡˜ ‰Â¯fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ‚·ÛÈο ·ÍÈÒÌ·Ù· ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘Îψ̿وÓ.

❏ NfiÌÔ˜ ÙˆÓ ÚÂ˘Ì¿ÙˆÓ ÙÔ˘ Kirchhoff (N.P.K.): TÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÚÂ˘Ì¿ÙˆÓ Û οı ÎfiÌ‚Ô ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ìˉ¤Ó, ‰ËÏ·‰‹, n

™I k= 0

(3.1)

k =1

(TÔ Û‡Ì‚ÔÏÔ ™ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ÙÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ·) – TÔ Ú‡̷ IK Ô˘ ÂÈÛÚ¤ÂÈ (ÂÈÛ¤Ú¯ÂÙ·È Û ¤Ó·Ó ÎfiÌ‚Ô) ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ıÂÙÈÎfi Î·È Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ÚfiÛËÌÔ (+). – TÔ Ú‡̷ Ô˘ ÂÎÚ¤ÂÈ (·Ô¯ˆÚ›) ·fi ¤Ó·Ó ÎfiÌ‚Ô ıˆÚÂ›Ù·È ˆ˜ ·ÚÓËÙÈÎfi Î·È Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ÚfiÛËÌÔ (–). ™˘ÓÂÒ˜ Ë ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ N.P.K. ÁÈ· ÙÔÓ ÎfiÌ‚Ô A ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 3.5 ‰›ÓÂÈ:

I1 A

I3 I2

I4

™¯‹Ì· 3.5.

EÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ N.P.K.

4

™I k= 0 Þ I 1 – I 2 + I 3 – I 4 = 0 k =1

❏ NfiÌÔ˜ Ù¿ÛÂˆÓ ÙÔ˘ Kirchhoff (N.T.K.): TÔ ·ÏÁ‚ÚÈÎfi ¿ıÚÔÈÛÌ· fiÏˆÓ ÙˆÓ Ù¿ÛÂˆÓ Û οı ‚Úfi¯Ô ÂÓfi˜ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ÈÛÔ‡Ù·È Ì Ìˉ¤Ó, ‰ËÏ·‰‹,

66 ♦ KEºA§AIO 3

n

(3.2)

™Vk= 0 k =1

– H Ù¿ÛË VK Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ÚfiÛËÌÔ (+), Â¿Ó Ë ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÛÙÔÓ ÎÏ¿‰Ô (+ ® –) Û˘Ì›ÙÂÈ Ì ÙË ÊÔÚ¿ ·Ó·ÊÔÚ¿˜ ÙÔ˘ ‚Úfi¯Ô˘ (ÊÔÚ¿ ΛÓËÛ˘ ÙˆÓ ‰ÂÈÎÙÒÓ ÙÔ˘ ÚÔÏÔÁÈÔ‡), ‰È·ÊÔÚÂÙÈο Ï·Ì‚¿ÓÂÙ·È Ì ÚfiÛËÌÔ (–). ŒÙÛÈ, Ô N.T.K. ÁÈ· ÙÔ ‚Úfi¯Ô ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 3.6 ·›ÚÓÂÈ ÙË ÌÔÚÊ‹ 4

™VK = 0 Þ V1 – V2 + V3 + V4 = 0 k =1

V1

+

–

–

–

·Ó·ÊÔÚ¿˜ ‚Úfi¯ Ú¿ Ô˘ ÊÔ

V4

+ –

™¯‹Ì· 3.6.

V2

+ V3

+

EÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ N.T.K.

3 – 4. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ÙÔ˘ Ohm Î·È ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ ÙÔ˘ Kirchhoff 3 – 4.1. ™˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ OÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ˆ˜ ‚·ÛÈο ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó Ì ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÙÚfiÔ˘˜, ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ÙÈ ÂȉÈÒÎÂÙ·È Î¿ı ÊÔÚ¿ ·fi ·˘ÙfiÓ Ô˘ Û˘Óı¤ÙÂÈ ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷. °È· ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË fï˜ Î·È Â˘ÎÔÏfiÙÂÚË ·ÓÙÈÌÂÙÒÈÛË Û‡ÓıÂÙˆÓ Î˘Îψ̿وÓ, ·ÚÔ˘ÛÈ¿˙ÂÙ·È ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ Ë ·Ó¿ÁÎË ·ÓÙÈηٿÛÙ·Û˘ ÂÓfi˜ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Ì ÌÈ· ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË, ÛÙ· ¿ÎÚ· Ù˘ ÔÔ›·˜ ı· ÂÈÎÚ·Ù› Ë ›‰È· Ù¿ÛË Ì ÙËÓ Ù¿ÛË ÙˆÓ ·ÎÚÔ‰ÂÎÙÒÓ ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿-

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 67

ÛÂˆÓ Î·È ı· ‰È·ÚÚ¤ÂÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ Ú‡̷ Ô˘ ‰È·ÚÚ¤ÂÈ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ ·˘ÙÒÓ. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÚfiÔÈ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›·˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙËÓ Ú¿ÍË. ·) ™˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Û ÛÂÈÚ¿

❏ ¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ Û ÛÂÈÚ¿, fiÙ·Ó ÙÔ Ù¤ÏÔ˜ Ù˘ ÌÈ·˜ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙËÓ ·Ú¯‹ Ù˘ ¿ÏÏ˘ Î.Ô.Î. Î·È ‰ÂÓ ˘¿Ú¯ÂÈ Ô˘ıÂÓ¿ ÛËÌÂ›Ô Ï‹„˘ (‰È·ÎÏ¿‰ˆÛË) ·Ó¿ÌÂÛ¿ ÙÔ˘˜, ÒÛÙ fiϘ Ó· ‰È·ÚÚ¤ÔÓÙ·È ·fi ÙÔ ›‰ÈÔ Ú‡̷. R1

R2

Rn ...

+

V1

–

I

+

V2

+

–

Vn

–

V + –

™¯‹Ì· 3.7.

™‡Ó‰ÂÛË ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Û ÛÂÈÚ¿

°È· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù˘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ RO§ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ N.T.K. n

N Ø Ohm ™Vk= 0 Þ V1 + V2 + V3 + ...+ Vn – V = 0 ¾¾® k =1

I × R 1 + I × R 2 + I × R 3 + ...+ I × R n = V ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷

¾¾¾¾¾¾® I × R 1 + I × R 2 + I × R 3 + ... + I × R n = I × R O§ Þ R O§= R 1 + R 2 + R 3 + ... + R n

☞

(3.3)

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ñ H ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RO§ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·È ·fi ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ñ E¿Ó fiϘ ÔÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ›Û˜ (Ì ÙÈÌ‹ R) ÙfiÙ RO§ = n Ø R. ‚) ¶·Ú¿ÏÏËÏË Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ

❏ ¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ ·Ú¿ÏÏËÏ·, fiÙ·Ó ¤¯Ô˘Ó ÎÔÈÓ¿ ¿ÎÚ· Ì ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È fiϘ ÛÙËÓ ›‰È· Ù¿ÛË.

68 ♦ KEºA§AIO 3 R1 I1 I2

...

R2

In Rn I

™¯‹Ì· 3.8.

+ –

V

¶·Ú¿ÏÏËÏË Û‡Ó‰ÂÛË ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ

°È· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ RO§ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ N.P.K. n

™I

k

k =1

N. Ohm = 0 Þ I – I1 – I2 – I3 – … – In = 0 ¾¾¾¾® I= V + V + V +… + V R1 R2 R3 Rn

ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷ ¾¾¾¾¾¾® V = V + V + V +… + V Þ Rn R O§ R 1 R 1 R 3

1 = 1 + 1 + 1 +… + 1 Rn R O§ R 1 R 2 R 3

☞

(3.4)

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ñ ∏ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RO§ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚË Î·È ·fi ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ñ ∞Ó fiϘ ÔÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ Â›Ó·È ›Û˜ (Ì ÙÈÌ‹ R), ÙfiÙ RO§ = R/n R ØR ñ AÓ R1 // R2 ÙfiÙ R O§ = 1 2 . R1 + R2 Á) ªÈÎÙ‹ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ

❏ ∂›Ó·È Ë Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ÛÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ó˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù˘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ RO§ ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·È ÔÈ Î·ÓfiÓ˜ Ô˘ ÚԤ΢„·Ó ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ ÂοÛÙÔÙ ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷. ŒÙÛÈ, ÁÈ· ÙÔ Û¯‹Ì· 3.9 Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È: R O§ = R 1 + R 2 // R 3 + R 4 = R 1 +

R2 Ø R3 (R + R 3) Ø (R 1 + R 4) + R 2 Ø R 3 + R 4 Þ R O§ = 2 R2 + R3 R2 + R3

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 69 R2 R1

R4 R3 V

I

+ –

™¯‹Ì· 3.9. MÈÎÙ‹ Û‡Ó‰ÂÛË ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ

3-4.2. ™˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘ ∫¿ı “Ú·ÁÌ·ÙÈ΋” ËÁ‹ Ù¿Û˘ ¯·Ú·ÎÙËÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÌÈ· ËÏÂÎÙÚÂÁÂÚÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË (∏.∂.¢) ∂ (Ù¿ÛË ÛÙ· ¿ÎÚ· Ù˘, fiÙ·Ó ‰Â ‰È·ÚÚ¤ÂÙ·È ·fi Ú‡̷) Î·È ·fi ÌÈ· ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË r. OÈ ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ ˆ˜ ‚·ÛÈο ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ ÌÔÚÔ‡Ó Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó Ì ‰È¿ÊÔÚÔ˘˜ ÙÚfiÔ˘˜ ·Ó¿ÏÔÁ· Ì ÙÔ ÙÈ ÂȉÈÒÎÂÙ·È Î¿ı ÊÔÚ¿ ·fi ·˘ÙfiÓ Ô˘ Û˘Óı¤ÙÂÈ ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷. ∞˘Ùfi ‰ÈfiÙÈ Î¿ı ËÁ‹ Ù¿Û˘ ÌÔÚ› Ó· ‰ÒÛÂÈ ¤Ó· Ú‡̷ Ô˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· ÍÂÂÚ¿ÛÂÈ Î¿ÔÈ· ÔÚȷ΋ ÙÈÌ‹, Ë ÔÔ›· ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙȘ ‰˘Ó·ÙfiÙËÙ˜ ·˘Ù‹˜. ∞Ó fï˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ·Ó¿ÁÎË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˘ Ù¿Û˘ ‹ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ ‹ Î·È Ù· ‰‡Ô Ì·˙›, ÙfiÙ Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ Ì·˙›. ™ÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÍÂÙ¿˙ÔÓÙ·È ·Ó·Ï˘ÙÈο ÔÈ ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÚfiÔÈ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›·˜ ËÁÒÓ Ù¿Û˘ Ô˘ Û˘Ó·ÓÙÒÓÙ·È ÛÙËÓ Ú¿ÍË. ·) ™˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘ Û ÛÂÈÚ¿

❏ ¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ Â›Ó·È Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ Û ÛÂÈÚ¿, fiÙ·Ó Ô ·ÚÓËÙÈÎfi˜ fiÏÔ˜ Ù˘ ÌÈ·˜ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Ì ÙÔ ıÂÙÈÎfi fiÏÔ Ù˘ ÂfiÌÂÓ˘ Î.Ô.Î. E1,r1

E2,r2

E3,r3

+ –

+ –

+ –

En,rn ...

+ –

(+)

(–) ™¯‹Ì· 3.10. ™‡Ó‰ÂÛË ËÁÒÓ Ù¿Û˘ Û ÛÂÈÚ¿

70 ♦ KEºA§AIO 3

∆Ô ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷ ·˘Ù‹˜ Ù˘ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›·˜ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÌÈ· ËÁ‹ Ù¿Û˘ Ì ٷ ÂÍ‹˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο : ∂O§ = ∂1 + ∂2 + E3 + … + ∂n

(3.5)

rO§ = r1 + r2 + r3 + … + rn ™ÙË Û‡Ó‰ÂÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â›Ó·È ··Ú·›ÙËÙÔ ÔÈ ËÁ¤˜ Ó· Â›Ó·È ·fiÏ˘Ù· fiÌÔȘ, ·ÏÏ¿ Ó· Â›Ó·È ÙÔ˘ ·˘ÙÔ‡ Ù‡Ô˘. ¢ÂÓ ÌÔÚԇ̠ӷ Û˘Ó‰¤ÛÔ˘Ì .¯. ¤Ó· ÍËÚfi ÛÙÔÈ¯Â›Ô ÌÂ Û˘ÛÛˆÚÂ˘Ù¤˜ ‹ Ì ËÏÂÎÙÚÈΤ˜ ËÁ¤˜ Ô˘ ‰›ÓÔ˘Ó Ú‡̷ Û ‚ÈÔÌ˯·ÓÈ΋ Îϛ̷η.

☞

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ñ ∂¿Ó fiϘ ÔÈ ËÁ¤˜ Â›Ó·È ·fiÏ˘Ù· fiÌÔȘ (∂,r), ÙfiÙ ∂O§ = n Ø ∂ Î·È rO§ = n Ø r. ñ ∂Âȉ‹ ÛÙË Û‡Ó‰ÂÛË ·˘Ù‹ ·›ÚÓÔ˘Ì ÌÂÁ¿ÏË Ù¿ÛË, ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ۇӉÂÛË Î·Ù¿ Ù¿ÛË. ñ ∞Ó ÛÙË Û‡Ó‰ÂÛË ·˘Ù‹ ·ÓÙÈÛÙÚ·ÊÔ‡Ó ÔÈ fiÏÔÈ ÌÈ·˜ ËÁ‹˜ (.¯. Ù˘ ∂2), ϤÌ fiÙÈ Ë ∂2 Â›Ó·È Û˘Ó‰Â‰Â̤ÓË Ì ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ηÙ'·ÓÙ›ıÂÛË. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ÈÛ¯‡ÂÈ: ∂O§ = ∂1 – ∂2 + ∂3 +... + ∂n Î·È rO§ = r1 + r2 + r3 +... +rn ‚) ¶·Ú¿ÏÏËÏË Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘

❏ ¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ Â›Ó·È Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ ·Ú¿ÏÏËÏ·, fiÙ·Ó fiÏÔÈ ÔÈ ıÂÙÈÎÔ› fiÏÔÈ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Û ÎÔÈÓfi ÎfiÌ‚Ô Î·È fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÓËÙÈÎÔ› Û ¿ÏÏÔ Â›Û˘ ÎÔÈÓfi ÎfiÌ‚Ô. E,r + – E,r + – E,r + – E,r + – (+) ™¯‹Ì· 3.11. ™‡Ó‰ÂÛË ËÁÒÓ Ù¿Û˘ ·Ú¿ÏÏËÏ·

(–)

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 71

∆Ô ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷ Ù˘ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›·˜ ·˘Ù‹˜ Â›Ó·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ÌÈ· ËÁ‹ Ù¿Û˘ Ì ٷ ÂÍ‹˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο : ∂O§ = E E rO§ = n

(3.6)

™ÙË Û‡Ó‰ÂÛË ·˘Ù‹, ÁÈ· ÙËÓ Î·Ï‹ ·fi‰ÔÛË Ù˘ Û˘ÛÙÔȯ›·˜ Ú¤ÂÈ ÔÈ ËÁ¤˜ Ó· Â›Ó·È ·fiÏ˘Ù· fiÌÔȘ. ™ÙËÓ ·ÓÙ›ıÂÙË ÂÚ›ÙˆÛË ÔÈ ËÁ¤˜ Ì ÙË ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ∏∂¢ ı· ÛÙ¤ÏÓÔ˘Ó Ú‡̷ٷ Û ÂΛӘ Ì ÙË ÌÈÎÚfiÙÂÚË ∏∂¢, ·ÎfiÌË Î·È ·Ó ÙÔ Â͈ÙÂÚÈÎfi ·Îψ̷ Â›Ó·È ·ÓÔÈÎÙfi. ∞˘Ù¿ Â›Ó·È Ù· ÏÂÁfiÌÂÓ· “Ú‡̷ٷ ΢ÎÏÔÊÔÚ›·˜” Î·È ¤¯Ô˘Ó ˆ˜ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ‚Ú·¯˘Î˘ÎÏÒÓÔÓÙ·È ÔÈ ËÁ¤˜ Î·È Ó· ÂÍ·ÓÙÏÔ‡ÓÙ·È ÚˆÙÔ‡ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈËıÔ‡Ó.

☞

¶·Ú·Ù‹ÚËÛË

ñ ∂Âȉ‹ ÛÙË Û‡Ó‰ÂÛË ·˘Ù‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ¿ÚÔ˘Ì Ú‡̷ٷ Ì Ôχ ÌÂÁ¿ÏË ¤ÓÙ·ÛË, ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì ۇӉÂÛË Î·Ù¿ ¤ÓÙ·ÛË. Á) ªÈÎÙ‹ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘

❏ ∂›Ó·È Ë Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ÛÙËÓ ÔÔ›· Û˘Ó˘¿Ú¯Ô˘Ó ÔÈ ‰‡Ô ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù˘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˘ ËÁ‹˜ Ù¿Û˘ ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ηÓfiÓ˜ Ô˘ ÚԤ΢„·Ó ÛÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜, Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÈ ÙÔ ÂοÛÙÔÙ ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷. ŒÙÛÈ, ÁÈ· ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ 3.12 Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ËÁ‹ Ù¿Û˘ ¤¯ÂÈ Ù· ÂÍ‹˜ ¯·Ú·ÎÙËÚÈÛÙÈο: EO§ = n Ø E Î·È rO§ = nmØ r

(3.7)

∏ ÌÈÎÙ‹ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Û ÂÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ηٿ ÙȘ Ôԛ˜ ··ÈÙÂ›Ù·È Î·È ÌÂÁ¿ÏË Ù¿ÛË Î·È ÌÂÁ¿ÏÔ Ú‡̷.

+ –

+ –

E,r

E,r

+ –

+ –

E,r ...

+ –

E,r ...

E,r

E,r

E,r

+ –

+ –

...

n: ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ Û οı ÎÏ¿‰Ô m: Ï‹ıÔ˜ ÎÏ¿‰ˆÓ

+ – ...

E,r

...

E,r

...

72 ♦ KEºA§AIO 3

+ – (–)

(+)

™¯‹Ì· 3.12. MÈÎÙ‹ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ËÁÒÓ Ù¿Û˘

3-4.3 ¢È·ÈÚ¤Ù˜ Ù¿Û˘ Î·È Ú‡̷ÙÔ˜ ·) ¢È·ÈÚ¤Ù˜ Ù¿Û˘ ¶ÔÏϤ˜ ÊÔÚ¤˜ –ȉ›ˆ˜ Û ËÏÂÎÙÚÔÓÈο ΢ÎÏÒÌ·Ù·– ÁÈ· ÙÔÓ Î·Ù·ÌÂÚÈÛÌfi Ù˘ Ù¿Û˘ Û ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ, ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Îψ̷ Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Ì ÙÔ fiÓÔÌ· «‰È·ÈÚ¤Ù˘ Ù¿Û˘». R1

I +

V1 – +

V

+ –

V2

R2

–

™¯‹Ì· 3.13. K‡Îψ̷ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ù¿Û˘

∞fi ÙÔ ¡.∆.∫. ¤¯Ô˘Ì V = V1 + V2 = I Ø R 1+ I Ø R 2 Þ I =

ÕÚ· ,

V R1 + R2

14243

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 73

V1 = I Ø R 1 V2 = I Ø R 2

Þ

R1 ØV R1 + R2 R2 ØV V2 = R1 + R2

V1 =

(3.8)

‰ËÏ·‰‹,

❏ Ë Ù¿ÛË ÛÙ· ¿ÎÚ· ÌÈ·˜ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙËÓ Ù¿ÛË Ô˘ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È ÛÙÔ Î‡Îψ̷ (ÔÏÈ΋ Ù¿ÛË) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·Ṳ̂ÓË Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Â›Ó·È Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ·˘Ù‹ Î·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÛÂÈÚÈ·ÎÒÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ.

☞

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ñ OÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÌÔÚ› Û ¤Ó· ÔχÏÔÎÔ Î‡Îψ̷ Ó· ·ÓÙÈÚÔÛˆÂ‡Ô˘Ó Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Ë Î·ıÂÌÈ¿, ·ÚΛ Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó‰Â‰Â̤ӷ Û ÛÂÈÚ¿. ñ O ‰È·ÈÚ¤Ù˘ Ù¿Û˘ ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ËÁ‹ Ù¿Û˘ V ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ› n ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2, ..., Rn Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ Û ÛÂÈÚ¿. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: Vi =

Ri Ø V , fiÔ˘ i = 1,2,3,...,n R 1 + R 2 + ... + R n

‚) ¢È·ÈÚ¤Ù˘ Ú‡̷ÙÔ˜ °È· ÙÔÓ Î·Ù·ÌÂÚÈÛÌfi ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Û ‰È·ÊÔÚÂÙÈÎÔ‡˜ ÎÏ¿‰Ô˘˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Îψ̷, Ô˘ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi Ì ÙÔ fiÓÔÌ· «‰È·ÈÚ¤Ù˘ Ú‡̷ÙÔ˜». I1

I2 +

I

R1

V

R2

–

™¯‹Ì· 3.14. K‡Îψ̷ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ú‡̷ÙÔ˜

∞fi ÙÔ ¡.ƒ.∫. ¤¯Ô˘Ì :

74 ♦ KEºA§AIO 3

R1 + R 2 R ØR I = I1 + I2 = V + V = V Ø 1 + 1 = V Ø Þ V = i 2 ØI R1 R2 R1 R2 R1 Ø R2 R1 + R2 I1 = V R1 I2 = V R2

14243

ÕÚ·, R2 ØI R1 + R2 R1 ØI I2 = R1 + R2

I1 =

Þ

(3.9)

‰ËÏ·‰‹,

❏ ÙÔ Ú‡̷ Û ÌÈ· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÈÛÔ‡Ù·È Ì ÙÔ Ú‡̷ Ô˘ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ·˘Ùfi ÔÏÏ·Ï·ÛÈ·Ṳ̂ÓÔ Ì ¤Ó· ÎÏ¿ÛÌ· ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ Ô ·ÚÈıÌËÙ‹˜ Â›Ó·È Ë ¿ÏÏË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Î·È Ô ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹˜ Â›Ó·È ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛˆÓ.

☞

¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ

ñ OÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÌÔÚ› Û ¤Ó· ÔχÏÔÎÔ Î‡Îψ̷ Ó· ·ÓÙÈÚÔÛˆÂ‡Ô˘Ó Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ Ë Î·ıÂÌÈ¿, ·ÚΛ Ù· Û˘ÛÙ‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· Â›Ó·È Û˘Ó‰Â‰Â̤ӷ ·Ú¿ÏÏËÏ·. ñ O ‰È·ÈÚ¤Ù˘ Ú‡̷ÙÔ˜ ÌÔÚ› Ó· ÂÊ·ÚÌÔÛÙ› Î·È ÛÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË Î·Ù¿ ÙËÓ ÔÔ›· ÌÈ· ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ I ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ› n ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2, R3, ..., Rn Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁË̤Ó˜ ·Ú¿ÏÏËÏ·. ™ÙËÓ ÂÚ›ÙˆÛË ·˘Ù‹ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ:

Ij =

1 Rj 1 + 1 +… + 1 Rn R1 R2

Ø I, fiÔ˘ j = 1, 2, 3, .., n

3 – 4.4. MÂÙ·‚ÏËÙ¤˜ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ

❏ E›Ó·È ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ ÔÔ›ˆÓ Ë ÙÈÌ‹ ÌÔÚ› Ó· ·ÏÏ¿ÍÂÈ Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ı¤ÏËÛ‹ Ì·˜ Î·È ¿ÓÙÔÙ ̤۷ ÛÙ· fiÚÈ· ÌÈ· ÂÚÈÔ¯‹˜ ÙÈÌÒÓ Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ Î·Ù·Û΢·ÛÙ‹. OÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È ˆ˜ ÚÔÔÛٿ٘ Î·È ÔÙÂÓÛÈfiÌÂÙÚ·.

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 75

·) PÔÔÛÙ¿ÛÙ˜ ŸÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Ú˘ıÌ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Û ¤Ó· ·Îψ̷, Û˘Ó‰¤Ô˘Ì Û ÛÂÈÚ¿ ÌÈ· Ú˘ıÌÈ˙fiÌÂÓË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÚÔÔÛÙ¿Ù˘. ŒÓ·˜ ÚÔÔÛÙ¿Ù˘ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˜ A Î·È B Î·È ÌÈ· ÂӉȿÌÂÛË Ï‹„Ë ° (Û¯‹Ì· 3.15). °

R A

B

I V

+ –

™¯‹Ì· 3.15.

™‡Ó‰ÂÛË ÚÔÔÛÙ¿ÙË

AÓ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰ÚÔ̤· (ÛËÌÂ›Ô °) ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· Ë ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ô˘ ‰È·ÚÚ¤ÂÈ ÙÔ Î‡Îψ̷. ™ÙË ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ I=

V R + R A°

(3.10)

H ÂÚÈÔ¯‹ ÙÈÌÒÓ ÁÈ· ÙÔ Ú‡̷ I ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ·ÎÚ·›Â˜ ı¤ÛÂȘ A, B. V ŒÙÛÈ, Â¿Ó ° º B ÙfiÙ I min = ÂÓÒ, Â¿Ó ° º A ÙfiÙ I max = V . R + R AB R EÔ̤ӈ˜, Ë ÂÚÈÔ¯‹ ÙÈÌÒÓ ÁÈ· ÙÔ Ú‡̷ I ›ӷÈ: V £I£ V R R + R AB

Î·È ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È Ê˘ÛÈο ·fi ÙËÓ ÙÈÌ‹ RAB. ·) ¶ÔÙÂÓÛÈfiÌÂÙÚ· ŸÙ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ Ú˘ıÌ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ Ù¿ÛË Û ÌÈ· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÂÓfi˜ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜, Û˘Ó‰¤Ô˘Ì ·Ú¿ÏÏËÏ· ÌÈ· Ú˘ıÌÈ˙fiÌÂÓË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Ô˘ ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÔÙÂÓÛÈfiÌÂÙÚÔ. ŒÓ· ÔÙÂÓÛÈfiÌÂÙÚÔ ¤¯ÂÈ ‰˘Ô ·ÎÚÔ‰¤ÎÙ˜ A Î·È B Î·È ÌÈ· ÂӉȿÌÂÛË Ï‹„Ë ° (Û¯‹Ì· 3.16).

76 ♦ KEºA§AIO 3

AÓ ÌÂÙ·ÎÈÓ‹ÛÔ˘Ì ÙÔ ‰ÚÔ̤· (ÛËÌÂ›Ô °) ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË, ÛÙ· ¿ÎÚ· Ù˘ ÔÔ›·˜ ÌÂÙÚÂ›Ù·È Ë Ù¿ÛË Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ· ÌÂÙ·‚¿ÏÏÂÙ·È Ë Ù¿ÛË ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R. ™ÙËÓ ÁÂÓÈ΋ ÂÚ›ÙˆÛË ÈÛ¯‡ÂÈ: VR =

R // R A° ×V R // R A° + R °B

o

(3.11)

o

V R ° A

B

I V

™¯‹Ì· 3.16.

+ –

™‡Ó‰ÂÛË ÔÙÂÓÛÈfiÌÂÙÚÔ˘

H ÂÚÈÔ¯‹ ÙÈÌÒÓ ÁÈ· ÙËÓ Ù¿ÛË VR ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙȘ ·ÎÚ·›Â˜ ı¤ÛÂȘ A, B. ŒÙÛÈ, Â¿Ó ° º A ÙfiÙ VR min = 0, ÂÓÒ Â¿Ó ° º B ÙfiÙ VR max = V. EÔ̤ӈ˜, Ë ÂÚÈÔ¯‹ ÙÈÌÒÓ ÁÈ· ÙËÓ Ù¿ÛË VR ›ӷÈ: 0 ≤ VR ≤ V Î·È Ë Ù˘¯·›· ÙÈÌ‹ ·˘Ù‹˜ ÛÙËÓ ÂÚÈÔ¯‹ [0,V] ÂÍ·ÚÙ¿Ù·È ÚÔÊ·ÓÒ˜ ·fi ÙË ı¤ÛË ÙÔ˘ ‰ÚÔ̤· °.

3 – 4.5. EȉÈΤ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌˆÓ ΢ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ T· ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· ΢ÎÏÒÌ·Ù· Ô˘ ·Ó·Ê¤ÚÔÓÙ·È ·Ú·Î¿Ùˆ (¯ˆÚ›˜ ·fi‰ÂÈÍË) Â›Ó·È Ôχ ¯Ú‹ÛÈÌ· ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ Î˘ÎÏˆÌ¿ÙˆÓ Î·È ÁÈ· ÙÔ ÏfiÁÔ ·˘Ùfi ÎÚ›ıËΠÛÎfiÈÌÔ Ó· ·ÚÔ˘ÛÈ·ÛıÔ‡Ó. ·) MÂÙ·ÙÚÔ‹ ËÁ‹˜ Ù¿Û˘ Û ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ MÈ· ËÁ‹ Ù¿Û˘ V Û ÛÂÈÚ¿ Ì ̛· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Û ̛· ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ I = V / R ·Ú¿ÏÏËÏË Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R (Û¯. 3.17). H ·ÓÙ›-

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 77

ÛÙ·ÛË R Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Ù˘ ËÁ‹˜, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Î·È fi¯È ȉ·ÓÈ΋. A

A

R + –

V I=— R

V

R

B

B

™¯‹Ì· 3.17.

MÂÙ·ÙÚÔ‹ ¶.T. ÛÂ ¶.P.

‚) MÂÙ·ÙÚÔ‹ ËÁ‹˜ Ú‡̷ÙÔ˜ Û ËÁ‹ Ù¿Û˘ M›· ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ I ·Ú¿ÏÏËÏË Û ̛· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R ÌÂÙ·ÙÚ¤ÂÙ·È ÈÛÔ‰‡Ó·Ì· Û ̛· ËÁ‹ Ù¿Û˘ V = I Ø R Û ÛÂÈÚ¿ Ì ÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R (Û¯. 3.18.). H ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÈ ÛÙËÓ Ú·ÁÌ·ÙÈÎfiÙËÙ· ÙËÓ ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Ù˘ ËÁ‹˜, Ë ÔÔ›· Â›Ó·È Ú·ÁÌ·ÙÈ΋ Î·È fi¯È ȉ·ÓÈ΋. A

A R

I

+ –

R

V=IØR

B ™¯‹Ì· 3.18.

B MÂÙ·ÙÚÔ‹ ¶.P. ÛÂ ¶.T.

Á) AÓÙ›ÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏ· Û ËÁ‹ Ù¿Û˘ R1

+ –

V1

+ –

R B

™¯‹Ì· 3.19.

R1

A

A

V1 B

AÓÙ›ÛÙ·ÛË ·Ú¿ÏÏËÏ· Û ËÁ‹ Ù¿Û˘ Î·È ÙÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷

78 ♦ KEºA§AIO 3

¶·Ú·ÙËÚ›ÛÙ fiÙÈ, Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R Â›Ó·È Î˘Îψ̷ÙÈο ·Ó‡·ÚÎÙË. ‰) AÓÙ›ÛÙ·ÛË Û ÛÂÈÚ¿ Ì ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ R A I1

A I1

R1

R1

B ™¯‹Ì· 3.20.

B

AÓÙ›ÛÙ·ÛË Û ÛÂÈÚ¿ Ì ËÁ‹ Ú‡̷ÙÔ˜ Î·È ÙÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷

¶·Ú·ÙËÚ›ÛÙÂ Î·È ¿ÏÈ fiÙÈ, Ë ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R Â›Ó·È Î˘Îψ̷ÙÈο ·Ó‡·ÚÎÙË.

3 – 5. EÊ·ÚÌÔÁ¤˜ ∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 1Ë TÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1 = 30 ø, R2 = 20 ø, R3 = 6 ø Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ·. BÚ›Ù ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË.

§‡ÛË °È· ÙËÓ Â‡ÚÂÛË Ù˘ ÈÛÔ‰‡Ó·Ì˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ (‹ ÔÏÈ΋˜ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘), ˘ÔÏÔÁ›˙Ô˘Ì ÚÒÙ· ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R1,2 ÂÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔÓ Ù‡Ô Ù˘ ·Ú¿ÏÏËÏ˘ Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›·˜ Î·È ÛÙË Û˘Ó¤¯ÂÈ· ÂÊ·ÚÌfi˙Ô˘ÌÂ Î·È ¿ÏÈ ·Ú¿ÏÏËÏË Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ R1,2 Î·È R3 fiˆ˜ Ê·›ÓÂÙ·È ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·. R1

R1,2

R2

RO§

Þ R3

Þ R3

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 79

fiÔ˘ R 1,2 = R 1 // R 2 =

R1 × R2 = 30 × 20 = 600 50 R 1 + R 2 30 + 20

R O§ = R 1,2 // R 3 =

R 1,2 × R 3 = 12 × 6 R 1,2 + R 3 12 + 6

Þ R1,2 = 12 (ø) Þ RO§ = 4 (ø)

EÔ̤ӈ˜ Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È 4 (Q).

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 2Ë BÚ›Ù ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Îψ̷. 10ø 3ø

20ø 10ø

A

B

§‡ÛË AÏÔÔÈÒÓÙ·˜ ‰È·‰Ô¯Èο ÙÔ Î‡Îψ̷ (Ì ÙË ÛÂÈÚ¿ Ô˘ ÂÈ‚¿ÏÏÂÙ·È) ÚÔ·ÙÂÈ: 10ø 3ø

20ø 10ø

A

B

ß 3ø

10//10

20ø

10 // 10 = 10 × 10 = 5 (ø) 10 + 10 A

ß

B

80 ♦ KEºA§AIO 3

ß

RAB RAB = 3 + 5 + 20 Þ RAB = 28 (ø)

A

B

EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB Â›Ó·È 28 (ø).

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 3Ë N· ‚ÚÂı› Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB ÁÈ· ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜. 18ø A 5ø

9ø 30ø

3ø

20ø

5ø

10ø

B

§‡ÛË AÏÔÔÈÒÓÙ·˜ ‰È·‰Ô¯Èο ÙÔ Î‡Îψ̷, ÚÔ·ÙÂÈ: A

A 5ø

30 ø 3ø B

5ø

18//9=6ø 20//5=4ø

Þ

30ø

10 ø

18Ø9 162 18//9=——————=——= 6ø 18+9 27 20Ø5 100 20//5=——————=——= 4ø 20+5 25

3ø B 6+4+10=20(ø)

20ø

Þ

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 81

A

A 5ø

Þ

30//20=12ø

Þ

RO§=20ø

3ø B

B 30Ø20 600 30//20=———————=— —= 12ø 30+20 50

RO§=5+12+3=20ø

EÔ̤ӈ˜, Ë ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB Â›Ó·È 20 (ø).

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 4Ë ™˘Û΢‹ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È ·fi ËÏÂÎÙÚÈο ÛÙÔȯ›· Î·È ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ì ٿÛË 54 V Î·È Ú‡̷ 2 A. AÓ Ë ËÏÂÎÙÚÂÁÂÚÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË Î¿ı ÛÙÔÈ¯Â›Ô˘ Â›Ó·È 1,8 V Î·È Ë ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ·˘ÙÔ‡ 0,6 ø, Â›Ó·È ‰Â Û˘Ó‰Â‰Â̤ӷ ¤ÙÛÈ, ÒÛÙ ηı¤Ó· Ó· ‰È·ÚÚ¤ÂÙ·È ·fi Ú‡̷ ¤ÓÙ·Û˘ 0,5 A, Ó· ‚ÚÂı› Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ.

§‡ÛË EÊfiÛÔÓ Ë Û˘Û΢‹ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ì ٿÛË 54 V Î·È Ú‡̷ 2 A Î·È Ù· ‰È·ı¤ÛÈÌ· ËÏÂÎÙÚÈο ÛÙÔȯ›· ¤¯Ô˘Ó ÙÔ Î·ı¤Ó· ËÏÂÎÙÚÂÁÂÚÙÈ΋ ‰‡Ó·ÌË 1,8 V Î·È ‰È·ÚÚ¤ÔÓÙ·È ·fi Ú‡̷ 0,5 A, Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë Û˘Ó‰ÂÛÌÔÏÔÁ›· ·˘ÙÒÓ Â›Ó·È ÌÈÎÙ‹, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó Ù· ËÏÂÎÙÚÈο ÌÂÁ¤ıË Ô˘ ··ÈÙ› ÁÈ· ÙË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›· Ù˘ Ë Û˘Û΢‹. ŒÛÙˆ, ÏÔÈfiÓ, n ËÁ¤˜ Ù¿Û˘ Û οı ÎÏ¿‰Ô Î·È m ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ ÎÏ¿‰ˆÓ (‚Ϥ ·Ú. 3 – 4.2, Á) EÂȉ‹ ÙÔ Ú‡̷ οı ÎÏ¿‰Ô˘ Â›Ó·È 0,5 A Î·È ÙÔ ÔÏÈÎfi Ú‡̷ Â›Ó·È 2 A, ı· ¤¯Ô˘ÌÂ: 0,5 × m = 2 Þ m = 2 Þ m = 4 0,5

82 ♦ KEºA§AIO 3

E›Û˘, ÁÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ fiÏÔ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· ÈÛÔ‰˘Ó·Ì› Ì ÌÈ· ËÁ‹ Ù¿Û˘ ËÏÂÎn× r ÙÚÔÁÂÚÙÈ΋˜ ‰‡Ó·Ì˘ EÔÏ = n Ø E Î·È ÂÛˆÙÂÚÈ΋˜ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ rÔÏ = m . EÔ̤ӈ˜ ı· ÈÛ¯‡ÂÈ: EO§ – IO§ Ø rO§ = 54 Þ n Ø 1,8 – 2 Ø

n × 0,6 = 54 Þ 1,8 Ø n – 0,3 Ø n = 54 Þ 4

Þ 1,5 n = 54 Þ n = 36 ÕÚ·, Ô ·ÚÈıÌfi˜ ÙˆÓ ··ÈÙÔ‡ÌÂÓˆÓ ËÏÂÎÙÚÈÎÒÓ ÛÙÔȯ›ˆÓ ›ӷÈ: m Ø n = 4 Ø 36 = 144

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 5Ë ¢‡Ô Ï·ÌÙ‹Ú˜ ÙˆÓ 60 (V) Î·È 200 (W) Ë Ì›· Î·È 60 (V) Î·È 300 (W) Ë ¿ÏÏË Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Û ÛÂÈÚ¿ Î·È ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Ù¿ÛË 150 (V). N· ÂÍÂÙ·Ûı› Â¿Ó ÔÈ Ï·ÌÙ‹Ú˜ ÂÚÁ¿˙ÔÓÙ·È Î·ÓÔÓÈο.

§‡ÛË Afi Ù· ηٷÛ΢·ÛÙÈο ÛÙÔȯ›· ÙˆÓ Ï·ÌÙ‹ÚˆÓ ˘ÔÏÔÁ›˙ÔÓÙ·È Ì¤Ûˆ Ù˘ 2 Û¯¤Û˘ P = V ÔÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÙˆÓ. R Vã1 +

§1

Vã2 –

+

§2

–

I +

– V V=150(V)

ŒÙÛÈ, P1 =

V12 V12 60 2 ÞR1= = Þ R 1 = 18 (ø) 200 R1 P1

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 83

P2 =

V22 V22 60 2 ÞR2= = Þ R 2 = 12 (ø) 300 R2 P2

EÊfiÛÔÓ ÔÈ Ï·ÌÙ‹Ú˜ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È Û ÛÂÈÚ¿, RO§ = R1 + R2 = 18 + 12 = 30 (ø) Î·È Î·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, ÙÔ Ú‡̷ ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ›ӷÈ: I = V = 150 Þ I = 5 (A) 30 R O§

ÕÚ· ÔÈ Ù¿ÛÂȘ V ¢1 Î·È V ¢2 Ô˘ ÂÈÎÚ·ÙÔ‡Ó ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙˆÓ Ï·ÌÙ‹ÚˆÓ Â›Ó·È: V ¢1 = I Ø R1 = 5 Ø 18 Þ V ¢1 = 90 (V)

Î·È V ¢2 = I Ø R2 = 5 Ø 12 Þ V ¢2 = 60 (V) EÂȉ‹ ‰Â, Ë Ù¿ÛË Ô˘ ÂÈÎÚ·Ù› ÛÙ· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Ï·ÌÙ‹Ú· Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ ηٷÛ΢·ÛÙ‹ (90 > 60), ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ ‰ÂÓ ÂÚÁ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈο Î·È ÎÈÓ‰˘Ó‡ÂÈ Ó· η›, ÂÓÒ Ô ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ Ï·ÌÙ‹Ú·˜ ÂÚÁ¿˙ÂÙ·È Î·ÓÔÓÈο ‰ÈfiÙÈ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ٿÛË ›ÛË Ì ·˘Ù‹Ó ÙÔ˘ ηٷÛ΢·ÛÙ‹.

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 6Ë ™˘Û΢‹ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ì Ú‡̷ 15 (A) Î·È Ù¿ÛË 40 (V). ¶ÚfiÎÂÈÙ·È fï˜ Ó· Û˘Ó‰Âı› Û ٿÛË 220 (V). ¶ÔÈ· Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Ó‰Âı›, ÒÛÙÂ Ë Û˘Û΢‹ Ó· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ Î·ÓÔÓÈο;

§‡ÛË E¿Ó ‰ÂÓ Û˘Ó‰Âı› οÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË, ÚÔÊ·ÓÒ˜ Ë Û˘Û΢‹ ‰ÂÓ ı· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ‹ÛÂÈ Î·ÓÔÓÈο ·ÏÏ¿ ı· ηٷÛÙÚ·Ê›, ÁÈ·Ù› Ë Ù¿ÛË ÙˆÓ 220 (V) Â›Ó·È Ôχ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ Ù¿ÛË ÙˆÓ 40 (V) ÙÔ˘ ηٷÛ΢·ÛÙ‹. ¶Ú¤ÂÈ ÏÔÈfiÓ, Ó· Û˘Ó‰Âı› Û ÛÂÈÚ¿ Ì›· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Rx Ë ÔÔ›· ı· ÚÔηϤÛÂÈ ÙÒÛË Ù¿Û˘ ›ÛË Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ 220 – 40 = 180 (V).

84 ♦ KEºA§AIO 3

Rx

™˘Û΢‹ 15A 40V I +

– V V=220(V)

ÕÚ· Ë ÙÈÌ‹ Ù˘ ·ÓÙ›ÛÙ·Û˘ Rx ›ӷÈ: R x = 180 Ü R x = 12 (ø) 15

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 7Ë TÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1 = 10 (ø), R2 = 20 (ø), R3 = 60 (ø) Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· Î·È Û ÛÂÈÚ¿ Ì’ ·˘Ù¤˜ Û˘Ó‰¤ÂÙ·È ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R4 = 18 (ø). ™Ù· ¿ÎÚ· ÙÔ˘ Û˘ÛÙ‹Ì·ÙÔ˜ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Ù¿ÛË 240 (V). N· ‚ÚÂıÔ‡Ó ·) TÔ ÔÏÈÎfi Ú‡̷ ‚) H ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi οı ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Î·È Á) Ë Ù¿ÛË Û οı ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. R1 I1

R2

R4

I2 I3

R3

I

+

– V

V=240V

§‡ÛË OÈ ÙÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ‰›ÓÔ˘Ó ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË 1 = 1 + 1 + 1 =1 Þ R1,2,3 = 6 (ø). R 1,2,3 10 20 60 6

ÕÚ·

RO§ = R1,2,3 + R4 = 6 + 18 Þ RO§ = 24 (ø)

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 85

EÔ̤ӈ˜ V = 240 ·) TÔ ÔÏÈÎfi Ú‡̷ Â›Ó·È ›ÛÔ ÌÂ: I = 24 R O§

Þ I = 10 (A).

‚) ™Ù· ¿ÎÚ· ÙˆÓ ÙÚÈÒÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ ÂÊ·ÚÌfi˙ÂÙ·È Ù¿ÛË: V1,2,3 = I Ø R1,2,3 = 10 Ø 6 = 60 (V) EÔ̤ӈ˜ I1 =

V1,2,3 60 = = 6 (A) R1 10

I2 =

V1,2,3 60 = = 3 (A) 20 R2

I3 =

V1,2,3 60 = = 1 (A) 60 R3

Î·È I4 = 10 (A) Á) ™ÙȘ ÙÚÂȘ ·Ú¿ÏÏËϘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÂÈÎÚ·Ù› Ù¿ÛË V1,2,3 = 60 (V) Î·È ÛÙËÓ R4, Ù¿ÛË V4 = I4 Ø R4 = 10 Ø 18 = 180 (V).

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 8Ë ™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ‚Ú›Ù ÙȘ Ù¿ÛÂȘ Î·È Ù· Ú‡̷ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿‰ˆÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÒÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ ÓfiÌÔ˘˜ ÙÔ˘ Kirchhoff.

+

A 2A

7V

10 V

–

–

+

B

5V

–

°

+ 3A

6A ¢

§‡ÛË EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ˘˜ N.P.K. Î·È N.T.K. ¤¯Ô˘ÌÂ:

86 ♦ KEºA§AIO 3 A

+

+

V1 2A

7V

B

10V

5V

–

– +

6A

°

V3

+

V2

+

I1

–

–

I2 +

–

–

I3

3A

¢

KfiÌ‚Ô˜ °: Afi ÙÔ N.P.K. Þ 2 + 3 – I1 = 0 Þ I1 = 5 (A) KfiÌ‚Ô˜ B: Afi ÙÔ N.P.K. Þ 6 + I1 – I2 = 0 Þ 6 + 5 – I2 = 0 Þ I2 = 11 (A) KfiÌ‚Ô˜ ¢: Afi ÙÔ N.P.K. Þ I3 – 6 – 3 = 0 Þ I3 = 9 (A) BÚfi¯Ô˜ A°BA: Afi ÙÔ N.T.K. Þ V1 – 5 – 7 = 0 Þ V1 = 12 (V) BÚfi¯Ô˜ AB¢A: Afi ÙÔ N.T.K. Þ 7 – V2 + 10 = 0 Þ V2 = 17 (V) BÚfi¯Ô˜ B°¢B: Afi ÙÔ N.T.K. Þ 5 – V3 + V2 = 0 Þ 5 – V3 + 17 = 0 Þ V3 = 22 (V)

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 9Ë HÏÂÎÙÚÈ΋ ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· ‰˘Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ R1 Î·È R2 ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È Ì ٿÛË 220 V. ŸÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ë R1 Ë ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Íԉ‡ÂÈ ÈÛ¯‡ 800 W, ÂÓÒ fiÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ (·Ú¿ÏÏËÏ·) Ë ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Íԉ‡ÂÈ ÈÛ¯‡ 2000 W. N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙÔ‡Ó ÔÈ R1 Î·È R2.

§‡ÛË ŸÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘Á› ÌfiÓÔ Ë R1 ÙÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷ ›ӷÈ: R1

I1 +

–

220V

EÔ̤ӈ˜

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 87

V 2 220 2 V2 P1 = V × I 1 = V × V = ÞR1= = Þ R1 = 60,5 (ø). 800 R1 R1 P1

ŸÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó Î·È ÔÈ ‰‡Ô ·Ú¿ÏÏËÏ· ÙÔ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌÔ Î‡Îψ̷ ›ӷÈ: R1

R2 I2 +

–

220V

EÔ̤ӈ˜ R1×R2 V 2 220 2 V2 P2 = V × I 2 = V × V = Þ R 1,2 = = = 24,2 Þ = 24,2 Þ 2000 R 1,2 R 1,2 P2 R 1+ R 2 60,5 × R 2 = 24,2 Þ R 2 = 40,25 (ø) 60,5 + R 2

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 10Ë ™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›Ù ÙËÓ Ù¿ÛË Vx Î·È ÙÔ Ú‡̷ Ix Ì ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ù¿Û˘ Î·È ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ÙÔ˘ Ohm. 120V

1ø

+ –

+ Ix

3ø 2ø

Vx –

§‡ÛË EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ù¿Û˘ (·Ú¿ÁÚ. 3 – 4.3, ·)) ÁÈ· ÙÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÚÔ·ÙÂÈ:

88 ♦ KEºA§AIO 3

Vx = –120 ×

3 = –120 × 3 Þ Vx = – 60 (V) 6 3+2+1

TÔ Ú‡̷ Ix ÚÔ·ÙÂÈ Ì ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ÙÔ˘ Ohm Ix = –

VO§ 120 = – 120 Þ I = – 20 (A) =– x 6 R O§ 3+2+1

™¯fiÏÈÔ: TÔ ÚfiÛËÌÔ (–) Ù˘ Ù¿Û˘ Vx Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ, Ë ÔÏÈÎfiÙËÙ¿ Ù˘ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙË Ì’ ·˘Ù‹Ó Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÊÒÓËÛË. TÔ ÚfiÛËÌÔ (–) ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ix Ê·ÓÂÚÒÓÂÈ fiÙÈ, Ë ÊÔÚ¿ ÙÔ˘ Â›Ó·È ·ÓÙ›ıÂÙË ·’ ·˘Ù‹Ó Ô˘ ‰›ÓÂÙ·È ÛÙËÓ ÂÎÊÒÓËÛË.

∂Ê·ÚÌÔÁ‹ 11Ë ™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›Ù ÙÔ Ú‡̷ Ix Î·È ÙËÓ Ù¿ÛË Vx Ì ¯Ú‹ÛË ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ú‡̷ÙÔ˜ Î·È ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ÙÔ˘ Ohm. 1ø Ix 20A

2ø

A + 2ø

Vx –

§‡ÛË EÊ·ÚÌfi˙ÔÓÙ·˜ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ú‡̷ÙÔ˜ (·Ú¿ÁÚ. 3 – 4.3, ‚)) ÛÙÔÓ ÎfiÌ‚Ô A ÚÔ·ÙÂÈ: I x = 20 ×

2 = 20 × 2 Þ I = 10 (A) x 2 +2 4

ÕÚ·, Î·È ÙÔ Ú‡̷ ÛÙËÓ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙˆÓ 2 (ø) ÛÙËÓ ÔÔ›· ˙ËÙÂ›Ù·È Ë Vx Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 10 (A) fiˆ˜ ÚÔ·ÙÂÈ Â‡ÎÔÏ· Ì ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ Î·È ¿ÏÈ ÙÔ˘ ‰È·ÈÚ¤ÙË Ú‡̷ÙÔ˜.

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 89

K·Ù¿ Û˘Ó¤ÂÈ·, Ë Ù¿ÛË Vx Ì ÂÊ·ÚÌÔÁ‹ ÙÔ˘ ÓfiÌÔ˘ ÙÔ˘ Ohm ›ӷÈ: Vx = 10 Ø 2 = 20 (V)

3 – 6. ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÚÔ˜ χÛË

1o

TÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1 = 10 (ø), R2 = 10 (ø), R3 = 5 (ø) Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· Î·È ÙÔ Û‡ÛÙËÌ¿ ÙÔ˘˜ Û ÛÂÈÚ¿ Ì ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË R4 = 15 (ø). BÚ›Ù ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. (17,5 (ø)).

2o

BÚ›Ù ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Îψ̷. (RAB = 41 (ø)). A 15ø

15ø

15ø

15ø 15ø

15ø 15ø

15ø 15ø

B

o

3

BÚ›Ù ÙËÓ ÈÛÔ‰‡Ó·ÌË ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RAB ÛÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ ·Îψ̷ 20ø

A

1,2ø

108ø

B

2ø

5ø

9ø

72ø

12ø

24ø

3ø

6ø

(12 ø).

90 ♦ KEºA§AIO 3

4o

12 Ï¿Ì˜ Ì ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË 6 ø Ë Î·ıÂÌÈ¿ Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ó ÙÚÂȘ fiÌÔȘ ÛÂÈÚ¤˜ Û˘Ó‰Â‰Â̤Ó˜ ·Ú¿ÏÏËÏ·. ·) N· ˘ÔÏÔÁÈÛÙ› Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ‚) ¶fiÛ· ÛÙÔȯ›· HE¢ = 1,8 V Î·È r = 0,2 ø Û˘Ó‰ÂfiÌÂÓ· Û ÛÂÈÚ¿ Ú¤ÂÈ Ó· ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ‹ÛÔ˘Ó ÙÔ Î‡Îψ̷, ÒÛÙ ÙÔ Ú‡̷ οı ϿÌ·˜ Ó· ÌËÓ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÙˆÓ 1,2 A;

5o

( ·) RO§ = 8 ø, ‚) n ≥ 27).

¶fiÛ˜ ·Ú¿ÏÏËÏ· Û˘Ó‰Â‰Â̤Ó˜ Ï¿Ì˜ Ù¿Û˘ 110 V Î·È ¤ÓÙ·Û˘ 0,5 A ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÚÔÊÔ‰ÔÙ‹ÛÔ˘Ì ηÓÔÓÈο Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Û˘ÛÙÔȯ›·˜, Ë ÔÔ›· ·ÔÙÂÏÂ›Ù·È ·fi 60 Û ÛÂÈÚ¿ Û˘Ó‰Â‰Â̤ӷ ÛÙÔȯ›·, Â¿Ó ÙÔ Î·ı¤Ó· ¤¯ÂÈ HE¢ = 1,86 V Î·È ÂÛˆÙÂÚÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË r = 0,005 ø;

6o

(11)

HÏÂÎÙÚÈ΋ Ï¿Ì· Ì ÈÛ¯‡ 45 W Î·È Ù¿ÛË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ 6 V Û˘Ó‰¤ÂÙ·È Û ÛÂÈÚ¿ Ì ËÏÂÎÙÚÈ΋ ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Ì ÈÛ¯‡ 870 W Î·È Ù¿ÛË ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ›·˜ 110 V. N· ÂÍÂÙ·ÛÙ› ·Ó Ë Ï¿Ì· ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ηÓÔÓÈο ‹ fi¯È. (·¿ÓÙ. ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› ηÓÔÓÈο).

7o

™˘Û΢‹ ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ì ٿÛË 120 (V) Î·È Î·Ù·Ó·Ï›ÛÎÂÈ ÈÛ¯‡ 600 (W). ¶ÔÈ· ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Ú¤ÂÈ Ó· Û˘Ó‰Âı› Ì ÙË Û˘Û΢‹ Î·È Ì ÔÈÔ ÙÚfiÔ ÒÛÙ ÙÔ Û‡ÛÙËÌ· Ó· ηٷӷÏÒÓÂÈ 900 (W);

8o

(48 ø ·Ú¿ÏÏËÏ·).

™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ‚Ú›ÙÂ: ·) TÔ ÔÏÈÎfi Ú‡̷ ‚) H ¤ÓÙ·ÛË ÙÔ˘ Ú‡̷ÙÔ˜ Ô˘ ÂÚÓ¿ÂÈ ·fi οı ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Î·È Á) Ë Ù¿ÛË Û οı ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ( ·) IÔÏ = 18 A, ‚, Á) AÓÙ›ÛÙ·ÛË 1 ø: 18 A, 18 V, AÓÙ›ÛÙ·ÛË 2 ø: 14 A, 28 V AÓÙ›ÛÙ·ÛË 4 ø: 4 A, 16 V, AÓÙ›ÛÙ·ÛË 3 ø: 4 A, 12 V 1ø

46V

+ –

3ø

2ø

4ø

A¶§A °PAMMIKA øMIKA KYK§øMATA ♦ 91

9o

™ÙÔ Î‡Îψ̷ ÙÔ˘ ·Ú·Î¿Ùˆ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ Ó· ‚Ú›Ù Ì ¯Ú‹ÛË ÙˆÓ ÓfiÌˆÓ ÙÔ˘ Kirchhoff ÙȘ Ù¿ÛÂȘ Î·È Ù· Ú‡̷ٷ fiÏˆÓ ÙˆÓ ÎÏ¿‰ˆÓ. A

+

3A

5V +

–

4A B

5A

¢

10V

+ –

7V

2A

– °

10o HÏÂÎÙÚÈ΋ ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· ÙÚÈÒÓ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂˆÓ R , R , R 1

2

3

ÙÚÔÊÔ‰ÔÙÂ›Ù·È ÌÂ

Ù¿ÛË 220 V. ŸÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁ› Ë R1 Ë ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Íԉ‡ÂÈ 880 (W). ŸÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó ÔÈ R1, R2 (·Ú¿ÏÏËÏ·) Ë ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Íԉ‡ÂÈ 1280 (W). T¤ÏÔ˜, fiÙ·Ó ÏÂÈÙÔ˘ÚÁÔ‡Ó Î·È ÔÈ ÙÚÂȘ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ (·Ú¿ÏÏËÏ·) Ë ıÂÚÌ¿ÛÙÚ· Íԉ‡ÂÈ 2280 (W). N· ˘ÔÏÔÁÈÛıÔ‡Ó ÔÈ ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2, R3. (55 ø, 121 ø, 48,8 ø).

11o °È· ηı¤Ó· ·fi Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ΢ÎÏÒÌ·Ù· Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ Ù¿ÛË V

x

Î·È ÙÔ

Ú‡̷ Ix Ì ¯Ú‹ÛË ‰È·ÈÚÂÙÒÓ Ù¿Û˘ Î·È Ú‡̷ÙÔ˜. ( ·) Vx =9V, Ix = 6A, ‚) Vx =16V, Ix = 14A) 1ø + 21V

+ –

Vx

1ø – 4ø

3ø

Ix 2ø

+ 46V

+ –

2ø

4ø Ix

(·)

(‚)

Vx –

92 ♦ KEºA§AIO 3