Kelompok 10.docx

ANALISIS VEKTOR DALAM GERAK

OLEH : 1. FEBRONIA HERLINDA LALUS 2. GIASINTA IVONIA NARUT 3. SOFIA SETIA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA JURUSAN PENDIDIKA MATEMATIKA DAN IPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS NUSA CENDANA 2019

1. GERAK LURUS a. Vektor Satuan dan Vektor Posisi Ukuran benda dapat diwakili oleh sebuah titik materi atau partikel. Posisi titik materi dinyatakan dengan sebuah vektor. Vektor ini dinyatakan dengan vektorvektor satuan.  Vektor Satuan Vektor satuan adalah suatu vektor yang memiliki panjang atau besar sama dengan satu. Misalnya vektor a adalah suatu vektor satuan, maka a sama dengan satu, sedangkan 2a sama dengan dua.  Vektor Posisi Vektor posisi adalah vektor yang menyatakan posisi suatu titik materi pada suatu bidang datar (dimensi dua) atau dalam ruang (dimensi tiga). Posisi suatu titik materi pada bidang datar atau dalam ruang dinyatakan oleh vektor posisi r . b. Perpindahan Perpindahan adalah perubahan posisi suatu titik materi pada waktu tertentu. Misal pada saat t1 vektor posisi awal titik materi adalah r1 dan pada saat t2 vektor posisi akhir titik materi adalah r2. Perpindahan, yang dilambangkan dengan ∆r dituliskan dengan persamaan berikut. ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 = (x2 – x1)i + (y2 – y1)j + (z2 – z1)k Besar perubahan posisi (jarak) dirumuskan dengan:

c. Kecepatan Gerak Benda Kecepatan adalah kelajuan yang memperhatikan arah gerak benda. Kecepatan yang akan kita bahas adala h kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat.  Kecepatan Rata-Rata Kecepatan rata-rata adalah hasil bagi perpindahan dengan selang waktu. Persamaannya dituliskan sebagai berikut. V𝑟𝑡 =

∆𝑟 ∆𝑡

∆𝑟 ∆𝑣 ∆𝑧 𝑖+ 𝑗+ 𝑘 ∆𝑡 ∆𝑡 ∆𝑡 Besar kecepatan rata-rata dirumuskan : V𝑟𝑡 =

V𝑟𝑡 = √[(V𝑥 )𝑟𝑡 ]2 [(V𝑦 )𝑟𝑡 ] ²[(V𝑧 )𝑟𝑡 ]²  Kecepatan Sesaat

Kecepatan sesaat adalah kecepatan rata-rata untuk selang waktu mendekati nol. Kecepatan sesaat dihitung menggunakan limit kecepatan rata-rata dengan selang waktu sangat kecil atau mendekati nol. Persamaannya sebagai berikut.

Besar kecepatan sesaat dirumuskan sebagai berikut: V = √V𝑥 ² + V𝑦 ² + V𝑧 ²  Menentukan Posisi dari Fungsi Kecepatan Posisi titik materi pada koordinat X, Y, dan Z dapat ditentukan dengan mengintegralkan kecepatan vx, vy, dan vz. Komponen x0, y0, dan z0 adalah koordinat posisi awal titik materi pada sumbu X, Y, dan Z. Berdasarkan pengintegralan tersebut, vektor posisi dapat dituliskan sebagai berikut. 𝑡

𝑡

𝑡

𝑟 = [𝑥0 + ∫ 𝑉𝑥 𝑑𝑡] 𝑖 + [𝑥0 + ∫ 𝑉𝑦 𝑑𝑡] 𝑗 + [𝑥0 + ∫ 𝑉𝑧 𝑑𝑡] 𝑘 0

0

0

d. Percepatan Gerak Benda Ada dua jenis percepatan, yaitu percepatan rata-rata dan percepatan sesaat.  Percepatan Rata-Rata Percepatan rata-rata adalah perubahan kecepatan dalam suatu selang waktu tertentu. Besar percepatan rata-rata dituliskan sebagai berikut

 Percepatan Sesaat Seperti halnya pada kecepatan, percepatan dapat pula ditinjau dari suatu waktu dan titik tertentu. Percepatan ini disebut percepatan sesaat.Besar percepatan sesaat sebagai berikut.

 Menentukan Kecepatan dari Fungsi Percepatan Kecepatan dapat ditentukan dengan mengintegralkan fungsi percepatan. Persamaannya dituliskan sebagai berikut Dv=adt

2. Gerak Parabola (Peluru) Perpaduan gerak lurus beraturan (GLB) pada sumbu x dan gerak lurus berubah beraturan (GLBB) pada sumbu y pada sistem koordinat kartesius merupakan gerak yang lintasannya berbentuk parabola.

a. Pembuktian Gerak Parabola Pembuktian bahwa gerak peluru itu berbentuk suatu parabola adalah sebagai berikut:  Hambatan udara diabaikan  Nilai g tetap  X0=Y0= tetap (i) Berdasarkan rumus GLB pada sumbu x didapatkan persamaan 𝑥 𝑡=𝑉 0𝑥

(ii) Berdasarkan rumus GLBB

pada sumbu

y didapatkan

1

persamaan 𝑦 = 𝑉0𝑦 𝑡 − 2 𝑔𝑡 2 Dengan melakukan substitusi t dalam persamaan y maka didapatkan: 1 𝑦 = 𝑉0𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 𝑥 1 𝑥 2 𝑦 = 𝑉0𝑦 − 𝑔( ) 𝑉0𝑥 2 𝑉0𝑥 𝑦=

𝑉0𝑦 𝑔 𝑥−( ) 𝑥2 𝑉0𝑥 2𝑉0𝑥 𝑉0𝑦

𝑔

Dengan menganggap A=𝑉 dan B=2𝑉 maka persamaan di atas 0𝑥

0𝑥

dapat dituliskan menjadi: 𝑦 = 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 2 yang tidak lain adalah persamaan kuadrat yang bila digambarkan dalam koordinat kartesius berbentuk parabola. b. Menghitung Kecepatan Awal Gerak Parabola

Kecepatan awal pada sumbu x dan sumbu y dapat dicari dengan pendekatan matematis yaitu menggunakan trigonometri: V0 V0 𝛼

V0 Berdasarkan perhitungan trigonometri pada segitiga siku-siku diketahui bahwa: cos 𝛼 =

𝑉0𝑥 𝑉0

dan sin 𝛼 =

𝑉0𝑦 𝑉0

Sehingga diperoleh Kecepatan awal pada sumbu x adalah 𝑉0𝑥 = 𝑉0 cos 𝛼 Kecepatan awal pada sumbu y adalah 𝑉0𝑦 = 𝑉0 sin 𝛼

c. Menghitung Waktu Maksimum t dan tinggi maksimum (ymaks) Saat benda berada di puncak, maka berdasarkan gerak vertikal ke atas diperoleh waktu untuk mencapai titik tertinggi yaitu: Vt = V0y - gt <=>Voy - Vt = gt <=> t = <=> t =

𝑉0𝑦 −𝑉𝑡 𝑔 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼−𝑉𝑡 𝑔

Karena kecepatan pada saat berada di puncak adalah 0 maka Vt=0, sehingga diperoleh <=> t =

𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑔

Untuk mencari ketinggian puncak (ymaks) dapat digunakan rumus mencari kedudukan pada gerak lurus berubah beraturan dengan memanfaatkan waktu t untuk mencapai titik tertinggi tersebut.

<=> 𝑦𝑚𝑎𝑥 <=> 𝑦𝑚𝑎𝑥

1 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑉0𝑦 𝑡 − 𝑔𝑡 2 2 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 1 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 2 = 𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 ( )− 𝑔( ) 𝑔 2 𝑔 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 1 𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 =( )− 𝑔( ) 𝑔 2 𝑔2

𝑉0 2 𝑠𝑖𝑛2 𝛼 ≤> 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 2𝑔 d. Menghitung Jarak Terjauh (xmax) dan Waktu untuk mencapai jarak terjauh (tx) Waktu yang dibutuhkan untuk mencapai jarak terjauh adalah dua kali dari waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian maksimum. Ilustrasi berikut ini akan menjelaskan waktu untuk mencapai jarak terjauh. t (waktu pada ketinggian maksimum

t (waktu pada jarak maksimum

Sehingga tx=2

𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑔

𝑥𝑚𝑎𝑥 𝑡𝑥 = 𝑉0𝑥. 𝑡𝑥

𝑉0𝑥 = 𝑥𝑚𝑎𝑥

𝑉0 𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑔 2 𝑉0 2𝑠𝑖𝑛𝛼. 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑔 2 𝑉0 𝑠𝑖𝑛2𝛼 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑔 e. Contoh Gerak Parabola Dalam Kehidupan Sehari-hari Ada beberapa contoh gerak parabola dalam kehidupan sehari-hari, antara lain:  Gerak bola yang ditendang. Gerakan lintasan bola yang dimaksud disini adalah gerak pada lintasan yang membentuk parabola.  Gerak peluru yang ditembakkan. Tentunya lintasan peluru yang dimaksud disini adalah lintasan yang berbentuk parabola. 𝑥𝑚𝑎𝑥 = 𝑉0. 𝑐𝑜𝑠𝛼. 2

3. Gerak Melingkar Gerak melingkar mempunyai lintasan berbentuk lingkaran, arah kecepatan selalu berubah yaitu dalam arah tegak lurus jari-jari lintasannya serta mempunyai percepatan sentripental yang selalu mengarah pada pusat lingkaran. a. Gerak Melingkar Beraturan Pada gerak melingkar beraturan, benda bergerak pada lintasan berbentuk lingkaran dengan laju tetap, sedangkan kecepatannya terus menerus berubah sesuai dengan posisinya pada lingkaran tersebut.

v

v

v

r

v

Gambar di atas adalah gambar sebuah partikel A bergerak dengan laju tetap pada lintasan lingkaran dengan jari-jari r, sedangkan arah kecepatannya selalu berubah. Contoh gerak melingkar beraturan adalah gerak jarum arloji, dan gerak satelit pada orbitnya. Gerak melingkar beraturan percepatannya : a = ∆v / ∆t berdasarkan definisi percepatan ini, arah kecepatan benda yang selalu berubah pada gerak melingkar beraturan akan menimbulkan percepatan. b. Besaran Fisis Pada Gerak Melingkar Beraturangerak Melingkar Beraturan 1) Besaran sudut (Ɵ) Perhatikan sebuah partikel yang bergerak mengelilingi sebuah lingkaran dengan jari-jari r, seperti gambar di bawah ini: v r Ɵ r

Untuk menjelaskan posisi partikel atau sejauh mana partikel ini mengelilingi lingkaran, digunakan sudut Ɵ (baca: theta). Posisi partikel berpindah sebesar Ɵ setelah benda tersebut bergerak sejauh s pada keliling lingkaran. Besar sudut Ɵ dinyatakan dalam radian. Suatu

radian (rad) didefinisikan sebagai sudut dimana panjang busur lingkaran (s) sama jari-jari lingkaran tersebut (r). Pada gambar di atas, bila s = r maka Ɵ akan bernilai 1 rad. Secara umum, besaran sudut Ɵ ditulis : 𝜃=

𝑠 𝑟

Dimana r = jari-jari lngkaran (m) s = panjang busur lingkaran (m) 𝜃 = sudut (rad), 1 rad = 57,30 2) Kecepatan dan laju anguler (ω) Pada gerak melingkar, besaran yang menyatakan seberapa jauh benda berpindah (Ɵ) dalam selang waktu tertentu 9t) disebut sebagai kecepatan anguler atau kecepatan sudut (ω). Kecepatan sudut rata-rata:

 

 t

kecepatan sedut sesaat dinyatakan :

  Lim

 t

3) Periode (T) Periode adalah waktu yang dibutuhkan oleh suatu benda untuk bergerak satu putaran (T). 𝑇=

𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑘𝑒𝑐𝑒𝑝𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑒𝑟 𝑇=

𝜔=

2𝜋 𝜔

2𝜋 … … … … … … … … … … (1) 𝑇

Dimana T = periode (sekon) ω = kecepatan sudut (rad/s) 2  = perpindahan anguler untuk satu putaran Bila jumlah putaran benda dalam satu sekon (frekuensi putaran) dinyatakan sebagai f, maka diperoleh hubungan:

1 ……………………..(2) f

T

Dengan memasukkan persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh:

  2f T = periode (sekon) F = frekuensi (1/s) ω = kecepatan sudut (rad/s) 4) Kecepatan dan laju linier Rumus persamaan untuk laju linier rata-rata adalah v

s t

Bila benda bergerak satu putaran, maka panjang lintasan menjadi 2  r dan selang waktu tempuhnya menjadi T. Persamaan kecepatan atau laju linier menjadi: v

2r atau v = 2  f r T

5) Hubungan kecepatan linier dan kecepatan anguler v = ωr Contoh: Roda sebuah mesin gerinda dengan diameter 25 cm berputar dengan kecepatan sudut 2400 rpm. Tentukanlah laju linier sebuah titik yang terletak pada permukaan roda gerinda tersebut. Penyelesian:  2  ω = 2400 rpm = 2400.   = 80  rad/s  60 

v = ωr  25  = 80  rad/s .    2 

= 1000  cm/s = 3140 cm/s = 3,14 m/s 6) Percepatan sudut (α)

Percepatan sudut didefinisikan sebagai perubahan kecepatan sudut dibagi dengan selang waktu yang dibutuhkan untuk perubahan tersebut. Percepatan sudut rata-rata

 

  0 t



 t

Dimana ω = kecepatan sudut akhir (rad/s) ω0 = kecepatan sudut awal (rad/s)  = percepatan sudut rata-rata (rad/ s2)

Percepatan sudut sesaat dinyatakan dalam persamaan

  lim

 t

7) Percepatan Sentripental as

 r 2  r

  2r

Atau 4 2 r  2  as   r   T2  T  2

8) Hubungan percepatan sentripental dengan percepatan sudut Misalkan sebuah benda yang bergerak melingkar dalam selang waktu ∆t berubah kecepatan angulernya sebesar ∆ω, sehingga kecepatan linier benda tersebut berubah juga sebesar ∆v. v = ∆r ∆ω ……………………………………………..(3) Bila ruas kiri dan kanan persamaan (3) dibagi dengan ∆t maka diperoleh persamaan: v  r t t

Untuk ∆t mendekati nol maka Lim

v   r lim t t

Sementara itu, Lim

v  as t

sedangkan Lim

  t

Sehingga diperoleh hubungan antara percepatan sedut dengan percepatan sentripental: 𝑎𝑠 = 𝑟𝛼 c. Gerak Melingkar Beraturan Dalam Kehidupan Sehari-Hari Contoh gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak melingkar pada sebuah mesin penggerak dalam mesin penggilingan padi. Dalam mesin penggerak ini dijumpai dua buah roda sepusat dengan diameter yang berbeda. Roda dengan diameter yang besar (r2) disebut sebagi roda gila (flywheel), sedangkan roda dengan diameter yang lebih kecil (r1) disebut roda penggerak sabuk karena pada roda inilah sabuk ditempatkan. Roda gila dan penggerak sabuk mempunyai sumbu yang sama (satu poros), pada saat diputar maka kedua roda ini mempunyai kecepatan anguler (ω) yang sama dengan arah putar yang sama pula. 𝜔1 = 𝜔2 Sehingga diperoleh hubungan:

v1 v 2  r1 r2 Contoh soal: Sebuah mesin penggiling padi mempunyai roda-roda dengan diameter 12 cm dan 40 cm. Kedua roda dihubungkan dengan sabuk. Bila roda yang kecil diputar dengan laju anguler tetap sebesar 80 rad/s. Tentukanlah laju linier kedua roda dan laju anguler (dalam rpm) roda dengan diameter yang lebih besar! Penyelesaian: a) Laju linier kedua roda

1  80rad / s r1  0,06m v1  1 r1  80  0,06  4,8m / s Jadi, kedua roda dihubungkan dengan sabuk sehingga laju liniernya sama, yaitu 4,8 m/s b) Laju anguler roda 2

v 2   2 r2 4,8   2 .0,2m

  24rad / s 1 putaran / s  2rad / s

 2  24rad / s  2  3,82 putaran / s  229 putaran / menit  2  229rpm Contoh lain gerak melingkar beraturan dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak roda-roda pada sepeda yang dihubungkan dengan rantai

d. Gerak Melingkar Berubah Beraturan Menurut hokum Newton II, suatu benda yang mengalami gerak dipercepat harus mempunyai gaya netto yang bekerja pada benda tersebut dan besarnya dirumuskan dalam bentuk: 𝐹 = 𝑚𝑎 Dimana: F = gaya m = massa benda a = percepatan benda Agar benda yang bergerak melingkar memiliki laju yang tetap dan tetap dalam lintasan berbentuk lingkaran, maka gaya harus tetap diberikan pada benda tersebut. Bila gaya ini dihilangkan, benda akan bergerak pada lintasan lurus. Besarnya gaya yang dibutuhkan agar benda tetap bergerak melingkar dapat ditentukan dengan memasukkan nilai percepatan sentripetal ke dalam persamaan di atas sehingga diperoleh persamaan: 𝐹𝑠 = 𝑚𝑎𝑠 Gaya ini juga mengarah pada pusat lingkaran sehingga disebut gaya

v2 sentripetal (Fs). Sementara itu, a s  atau a s   2 r , sehingga diperoleh r persamaan

Fs  m

v2 r

atau Fs  m 2 r

Adapun  

2 , sehingga diperoleh persamaan: T

Fs 

m4 2 r T2

Contoh soal: Bila jarak antara pusat bumi dan bulan adalah 3,85 x 108 m, sedangkan massa bulan adalah 7,35 x 1022 kg, tentukanlah besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan bila periode bulan mengelilingi bumi adalah 27,3 hari. (Asumsikan orbit bulan mengelilingi bumi berbentuk lingkaran) Penyelesaian: Besarnya gaya yang diberikan bumi terhadap bulan dapat dihitung menggunakan persamaan gaya sentripetal.

m4 2 r T2 7,35  10 22  4 2  3,85  10 8 Fs  2358720 2 1,113  10 30 Fs  5,564  1012

Fs 

Fs  2,0  10 20 N