Kel Limit & Kontinuitas.docx

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Pada materi sebelumnya kita telah mempelajari tentang fungsi kompleks elementer, trigonometri dan hiperbolik. Transformasi elementer, exponensial dan logaritma. Pada makalah ini kita akan membahas tentang “Limit Dan Kontinuitas”. Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real. Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z0 jika untuk sebarang 𝜀 > 0 terdapat bilangan positif 𝛿 sehingga untuk 0 < |𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 berlaku |𝑓(𝑧) − 1| < 𝜀 dan ditulis sebagai lim 𝑓(𝑧) = 𝑙

𝑧→𝑧0

Perlu diperhatikan bahwa: 1.

Titik z0 adalah titik limit domain fungsi f.

2.

Titik z menuju z0 melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z0 dari segala arah.

3.

Apabila z menuju z0 melalui dua lengkungan yang berbeda mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z0.

Pengertian kontinuitas sendiri adalah sebuah fungsi f adalah kontinu pada titik z0 jika memenuhi 3 kondisi berikut: 1. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) ada 𝑧→𝑧0

2. f(z0) ada 3. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0) 𝑧→𝑧0

Jika diamati, pernyataan (3) memuat pernyatan (1) dan (2), karena keberadaan masingmasing ruas pada persamaan tersebut dibutuhkan. Pernyataan (3) menyatakan bahwa tentu untuk setiap bilangan positif 𝜀 , terdapat sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga 4. | 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)| < 𝜀

ketika | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿

1

Sebuah fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu di daerah R jika fungsi itu kontinu pada setiap titik di R. Untuk penjabaran lebih lanjut akan dibahas pada bab-bab berikutnya.

1.2 Rumusan Masalah 1. Apa pengertian dari Limit dan Kontinuitas? 2. Bagaimana menyelesaikan sebuah persamaan pada Limit dan Kontinuitas? 3. Apa saja sifat-sifat dari Limit?

1.3 Tujuan 1. Menjelaskan dan memahami tentang Limit dan Kontinuitas, 2. Mengetahui sifat-sifat Limit tersebut, 3. Mengetahui cara menyelesaikan sebuah permasalahan yang berkenaan dengan Limit dan Kontinuitas, 4. Menambah ilmu pengetahuan tentang Fungsi Kompleks.

2

Bab II PEMBAHASAN

2.1 Limit Fungsi Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.

Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z0 jika untuk sebarang 𝜀 > 0 terdapat bilangan positif 𝛿 sehingga untuk 0 < |𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 berlaku |𝑓(𝑧) − 1| < 𝜀 dan ditulis sebagai lim 𝑓(𝑧) = 𝑙

𝑧→𝑧0

Perlu diperhatikan bahwa: 4. Titik z0 adalah titik limit domain fungsi f. 5. Titik z menuju z0 melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z0 dari segala arah. 6. Apabila z menuju z0 melalui dua lengkungan yang berbeda mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z0. Contoh Buktikan bahwa: 2𝑧 2 − 3𝑧 − 2 =5 𝑧→2 𝑧−2 lim Bukti:

3

Misalkan diberikan bilangan 𝜀 > 0, kita akan mencari 𝛿 > 0 sedemikian, sehingga: 2𝑧 2 −3𝑧−2

0 < |𝑧 − 2| < 𝛿 → |

𝑧−2

− 5| < 𝜀, untuk z ≠ 2

Lihat bagian sebelah kanan (konsekuen) Dari persamaan kanan diperoleh: (2𝑧 + 1)(𝑧 − 2) (2𝑧 + 1 − 5)(𝑧 − 2) 2𝑧 2 − 3𝑧 − 2 | − 5| < 𝜀 ↔ | − 5| < 𝜀 ↔ | − 5| < 𝜀 (𝑧 − 2) (𝑧 − 2) 𝑧−2 ↔ |2(𝑧 − 2)| < 𝜀 ↔ |𝑧 − 2| <

𝜀 2

𝜀

Hal ini menunjukkan bahwa 𝛿 = 2 yang telah diperoleh. Bukti Formal: 𝜀

Jadi diberikan 𝜀 > 0, maka terdapat 𝛿 = 2 , sehingga untuk z ≠ 2, diperoleh 2𝑧 2 −3𝑧−2

< |𝑧 − 2| < 𝛿 → | 2𝑧 2 −3𝑧−2

Jadi, |

𝑧−2

𝑧−2

(2𝑧+1)(𝑧−2)

− 5| = |

(𝑧−2)

− 5| = |2(𝑧 − 2)| < 2𝛿 = 𝜀 𝜀

− 5| < 𝜀, apabila 0 < |𝑧 − 2| < 𝛿 = 2

Terbukti 2𝑧 2 − 3𝑧 − 2 lim =5 𝑧→2 𝑧−2 Teorema Limit Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z0, maka nilai limitnya tunggal. Bukti: Misal limitnya w1 dan w2, maka |𝑓(𝑧) − 𝑤1 | = |𝑤1 − 𝑓(𝑧)| = |𝑓(𝑧) − 𝑤2 | =

𝜀 2

𝜀 2

4

|𝑤1 − 𝑓(𝑧) + 𝑓(𝑧) − 𝑤2 | = |𝑤1 − 𝑓(𝑧)| + |𝑓(𝑧) − 𝑤2 | =

𝜀 𝜀 + =𝜀 2 2

Sehingga |𝑤1 − 𝑤2 | ≤ 𝜀 Jadi, 𝑤1 = 𝑤2 Teorema 2: Misalkan z = (x,y) = x + iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z 0 = (x0,y0) = x0 + iy0 di dalam D atau batas D. Maka lim 𝑓(𝑧) = 𝑥0 + 𝑖𝑦0

𝑧→𝑧0

jika dan hanya jika lim 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥0 dan

𝑧→𝑧0

lim 𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑦0 .

𝑧→𝑧0

Teorema 3: Misalkan fungsi f dan g limitnya ada lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka 1. lim (f(z) + g(z)) = a + b (untuk z → z0) 2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → z0) 3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → z0)

Tugas: Buktikan ketiga teorema limit tersebut! Contoh 8. Hitunglah : 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑖

𝑧2 + 1 𝑧−𝑖

Penyelesaian. (𝑧 + 𝑖)(𝑧 − 𝑖) 𝑧2 + 1 = lim = lim(𝑧 + 𝑖) = 2𝑖 𝑧→𝑖 𝑧 − 𝑖 𝑧→𝑖 𝑧→𝑖 𝑧−𝑖

lim

5

Contoh 9. Jika 2𝑥𝑦

𝑥2

𝑓(𝑧) = 𝑥 2 +𝑦 2 + 𝑦+1i. Buktikan lim 𝑓(𝑧) tidak ada! 𝑧→0

Penyelesaian. Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim 𝑓(𝑧) = 𝑧→0

lim

(𝑥,0)→(0,0)

𝑓(𝑧) = lim 𝑥 2 𝑖 = 0 𝑥→0

Sedangkan di sepanjang garis y = x, 𝑥2 lim 𝑓(𝑧) = lim 𝑓(𝑧) = lim(1 + 𝑖) = 1 𝑧→0 (𝑥,𝑥)→(0,0) 𝑥→0 𝑥+1 Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti lim 𝑓(𝑧) tidak ada. 𝑧→0

2.2 Limit Pada Titik Tak Hingga Terkadang mudah untuk memasukkan titik tak hingga pada bidang komples, dinotasikan dengan ∞ , dan untuk menggunakan pelibatkan limit. Bidang kompleks Bersama dengan titik itu disebut perluasan bidang kompleks. Untuk memvisualisasikan titik pada tak hingga, seseorang dapat memikirkan bidang komples melewati sepanjang bidang tengah dari sebuah bola yang berpusat pada titik asal. (Lihat gambar 26) Untuk setiap titik Z pada bidang ada tepat satu titik P yang sesuai pada permukaan dari bola itu. Titik P adalah titik dimana garis melalui Z dan kutub utara N memotong bola itu. Dengan cara yang sama, untuk setiap titik P pada permukaan bola, lainnya pada kutub utara N ada tepat satu titik z yang sesuai pada bidang tersebut. Dengan meletakkan titik N pada bola itu sesuai ke titik tak hingga ,dapat ditentukan sebuah korespondensi 1-1 antara titik-titik pada bola itu dan titik pada perluasan bidang kompleks. Bola itu dikenal sebagai Riemann Sphere (Bola Riemann), dan corespondensi itu disebut sebuah stereographic projection.

6

Mengamati bahwa eksterior dari sebuah lingkaran yang berpusat pada titik asal di dalam bidang kompleks sesuai ke belahan bola atas dengan bidang tengah dan titik N dihapus. Bahkan, untuk setiap bilangan positif kecil 𝜀, titik itu pada eksterior bidang kompleks ke lingkaran |𝑧| = 1/𝜀 sesuai ke titik pada bola itu dekat ke N. Himpunan |𝑧| > 1/𝜀 sebuah himpunan 𝜀, atau lingkungan, dari ∞. Telah disepakati bahwa titik Z pada bidang terhingga. Selanjutnya, ketika titik pada tak hingga harus dipertimbangkan, itu akan disebutkan secara khusus. Selanjutnya diberikan sebuah penyataan : 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 𝑤0

𝑧→𝑧0

Ketika antara z0 atau w0 atau setiap kemungkinan dari bilangan itu, diganti dengan titik tak hingga. Pada definisi limit, dengan sederhana mengganti lingkungan yang sesuai dari z0 dan w0 dengan lingkungan dari ∞. Teorema. Jika z0 dan w0 adalah titik-titik pada bidang z dan w, secara sempurna, maka 1

1. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = ∞ jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 0 , dan 𝑧→𝑧0

2.

𝑧→0

1

𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 𝑤0 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 𝑤0 , selanjutnya

𝑧→∞

𝑧→0

1

3. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = ∞ jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓(1/𝑧) = 0 . 𝑧→𝑧0

𝑧→0

Memulai membuktikan dengan mencatat bahwa yang pertama dari batas (1) berarti untuk masing-masing angka positif 𝜀 dan angka positif 𝛿 sedemikian rupa 1

4. |𝑓(𝑧)| > 𝜀 ketika 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 Dimana titik w = f(z) terletak di lingkungan 𝜀, |𝑤| = 1/𝜀 dari ∞, ketika z terletak di deleted neighbourhood 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 dari z0 karena penyataan 4 dapat ditulis

1

|𝑓(𝑧) − 0| < 𝜀 ketika 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿 Limit kedua (1) mengikuti.

7

Limit pertama (2) berarti bahwa untuk setiap bilangan positif 𝜀, ada sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga

1

5. |𝑓(𝑧) − 𝑤0| < 𝜀 ketika |𝑧| > 𝛿 1

Penggantian z dengan 𝑧 pada penyataan 5 dan kemudian penulisan menjadi 1

|𝑓 (𝑧) − 𝑤0| < 𝜀 ketika 0 < |𝑧 − 𝑧0| < 𝛿, sampai pada limit yang kedua (2). Akhirnya, limit pertama (3) diinterpretasikan dengan untuk setiap bilangan bilangan positif 𝜀, ada sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga 1

1

6. |𝑓(𝑧)| < 𝜀 ketika |𝑧| > 𝛿 1

Ketika z diganti dengan 𝑧 , pernyataan diatas menjadi |

1 1 𝑧

𝑓( )

− 0| < 𝜀 ketika 0 < |𝑧 − 0| < 𝛿;

Dan pernyataan diatas menunjukkan limit kedua (3). Contoh. Amati bahwa lim

𝑖𝑧+3

𝑧 →𝑧0 𝑧+1

lim

2𝑧+𝑖

𝑧 → ∞ 𝑧+1

lim

= ∞ tetapi

= 2 tetapi lim

2𝑧 3 −1

𝑧 →∞ 𝑧 2 +1

2/𝑧+𝑖

𝑧 → 0 1/𝑧+1

=∞

𝑧+3

lim

= 0 , dan

𝑧 →𝑧0 𝑖𝑧+1

= lim

2+𝑖𝑧

𝑧 → 0 1+𝑧

tetapi lim

𝑧→0

1/𝑧 2 +𝑖 2 −1 𝑧3

= 2 ,selanjutnya

= lim

2+ 𝑧 3

𝑧 → 0 2−𝑧 3

= 0

2.3 Kontinuitas Sebuah fungsi f adalah kontinu pada titik z0 jika memenuhi 3 kondisi berikut:

8

5. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) ada 𝑧→𝑧0

6. f(z0) ada 7. 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧) = 𝑓(𝑧0) 𝑧→𝑧0

Jika diamati, pernyataan (3) memuat pernyatan (1) dan (2), karena keberadaan masingmasing ruas pada persamaan tersebut dibutuhkan. Pernyataan (3) menyatakan bahwa tentu untuk setiap bilangan positif 𝜀 , terdapat sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga 8. | 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)| < 𝜀

ketika | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿

Sebuah fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu di daerah R jika fungsi itu kontinu pada setiap titik di R. Jika dua fungsi kontinu pada sebuah titik, penjumlahan dan perkaliannya juga kontinu pada titik itu; fungsi rasional akan kontinu pada sebarang titik jika penyebut taknol. Hal tersebut adalah konsekuensi langsung dari teorema 2 pada subbab limit. Sebagai catatan juga bahwa fungsi polinomial adalah kontinu di seluruh bidang karena memenuhi pernyataan 3). Teorema 1. Sebuah komposisi dari fungsi kontinu adalah kontinu fungsi tersebut Sebuah pernyataan tepat dari teorema ini termuat pada pembuktian sebagai berikut. Memisalkan w = f(z) adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap z pada lingkungan | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 dari titik z0 , dan memisalkan W = g(w) adalah sebuah fungsi domain yang didefinisikan dari pemetaan dari lingkungan dibawah fungsi f. Komposisi W = g [f(z)] , maka didefinisikan untuk setiap z pada lingkungan | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 . Menganggap bahwa f adalah kontinu pada z0 dan bahwa g kontinu pada titik f(z0) , maka untuk setiap bilangan positif 𝜀 , terdapat sebuah bilangan positif 𝛾 sehingga | 𝑔[𝑓(𝑧)] − 𝑔[𝑓(𝑧0)]| < 𝜀

ketika | 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0) | < 𝛾

Lihat gambar di bawah ini:

9

Tetapi kontinuitas dari f pada z0 memastikan bahwa lingkungan | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 dapat dibuat cukup kecil bahwa peridaksamaan yang kedua juga seperti itu. Maka kontinuitas dari komposisi g [f(z)] , ada. Teorema 2. Jika sebuah fungsi f(z) kontinu dan taknol pada sebuah titik z0 , maka f(z) ≠ 0 sepanjang beberapa lingkungan pada titik itu. Menganggap bahwa f(z) kontinu dan taknol pada z0, dapat membuktikan teorema 2dengan penandaan nilai positif | 𝑓(𝑧0) | / 2 ke bilangan 𝜀 pada pernyataan 4). Hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat bilangan positif 𝛿 sehingga | 𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0)| <

|𝑓(𝑧0)| 2

ketika | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿

Sehingga, jika ada sebuah titik z didalam lingkungan | 𝑧 − 𝑧0 | < 𝛿 pada f(z) = 0 , maka terdapat kontradiksi | 𝑓(𝑧0)| <

|𝑓(𝑧0)| 2

;

dan teorema telah terbukti. Kontinuitas pada sebuah fungsi 9. f(z) = u(x,y) + iv(x,y) lebih dekat dihubungkan pada kontinuitas dari fungsi komponennya u(x,y) dan v(x,y) . catatan bahwa hal itu mengikuti dari Teorema 1 bahwa fungsi 5) adalah kontinu pada sebuah titik z0 = ( x0 , y0 ) jika dan hanya jika fungsi komponennya kontinu disana. Pembuktian dari teorema selanjutnya mengilustrasikan penggunaan dari pernyataan tersebut. Teorema selanjutnya penting dan akan sering digunakan pada bab selanjutnya. Sebelum membahas teorema selanjutnya, pada subbab daerah pada bidang kompleks (sec 11 pada buku Complex 10

Variables and Applications, 8th ed.) bahwa sebuah daerah R adalah tertutup jika daerah tersebut memuat semua titik batas dan dan daerah tersebut terbatas jika membentang didalam beberapa lingkaran yang berpusat pada titik asal. Teorema 3. Jika sebuah fungsi f adalah kontinu sepanjang sebuah daerah R yang tertutup dan terbatas, maka terdapat sebuah bilangan real nonnegatif M sehingga 10. | 𝑓(𝑧)| ≤ 𝑀

untuk setiap titik z pada R,

Dimana persamaan memenuhi untuk paling sedikit satu titik, seperti z. Untuk membuktikannya, pertama mengasumsikan bahwa fungsi f pada pesamaan 5) dan catat bagaimana persamaan itu menunjukkan bahwa fungsi itu √[𝑢(𝑥, 𝑦)]2 + [𝑣(𝑥, 𝑦)]^2 adalah kontinu sepanjan R dan mencapai sebuah nilai maksimum M di R. Pertidaksamaan 6) memenuhi dan akhirnya dikatakan bahwa f adalah terbatas pada R. Contoh. 𝑧 2 +1

1. Dimanakah fungsi g(z) = 𝑧 2 −3𝑧+2 kontinu? Penyelesaian: Perhatikan bahwa g(z) diskontinu di z =1 dan z = 2 Jadi, g(z) kontinu di daerah (𝑧| 𝑧 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 ≠ 2) 𝑧 2 +9

2. Apakah fungsi hzx)={

𝑧−3𝑖

, 𝑧 ≠ 3𝑖

; kontinu di z= 3i ?

3 + 5𝑧 , 𝑧 = 3𝑖 Penyelesaian. 

Untuk z = 3i f(z) = 3 + 5z f(3i) = 3 + 5(3i) f(3i) = 3 + 15i



Untuk z mendekati 3i lim 𝑓(𝑧) = lim

𝑧 →3𝑖

𝑧 2 +9

𝑧 →3𝑖 𝑧−3𝑖

11

= lim

( 𝑧+3𝑖 )( 𝑧−3𝑖 )

𝑧 →3𝑖

𝑧−3𝑖

= lim 2 + 3𝑖 𝑧 →3𝑖

= 3i + 3i = 6i 

Sehingga lim 𝑓(𝑧) ≠ f (3i) 𝑧 →3𝑖

BAB III PENUTUP

3.1

Kesimpulan

Dalam pelajaran mengenai kalkulus fungsi kompleks, akan memerlukan beberapa pengetahuan tentang konsep-konsep limit dan kontinuitas. Hal tersebut memperkenalkan pembahasan limit da kontinuitas dan mempelajari sifat-sifat elementernya. Pada bab pembahasan telah disajikan mengenai limit, limit pada tak hingga, dan kontinuitas beserta teorema-teorema yang bersesuaian.

3.2

Saran

Pemahaman limit dan kontinuitas pada fungsi dengan peubah kompleks ini harus didasari dengan konsep terdahulu pada fungsi dengan peubah real yang telah dibahas pada pelajaran kalkulus.

12

DAFTAR PUSTAKA

Brown, James Ward dan Ruel V. Churchill. 2009. Complex Variables and Applications. New York : The McGraw-Hill Higher Companies Pallouras, John D. 1975. Complex Variables Scientists and Engineers.Rochester Institute of Technology. Diterjemahkan: Gunawan, DRS. Wibisono. 1987. Peubah Kompleks untuk Ilmuan dan Insinyur. Jakarta : Erlanggga

13