Kelompok 2-fungsi Kompleks.docx

Fungsi Analitik dan Geometri Elementer pada Fungsi Kompleks MAKALAH

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Fungsi Kompleks yang dibina oleh bapak Drs. Slamet, M.Si.

Oleh : 1.

Urbach Aisa Kemal

(170311611662)

2.

Yolawati Arifin

(170311611660)

3.

Yuliana D. Randongkir

(170311611666)

4.

Yus Ria

(160311604694)

UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN MATEMATIKA PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA OFFERING C Februari 2019

Kata Pengantar Puji syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat, hidayah dan inayah-Nya sehingga makalah tentang Fungsi Analitik dan Geometri Elementer pada Fungsi Kompleks dapat diselesaikan. Makalah ini telah diselesaikan dengan baik untuk memenuhi salah satu tugas mata kuliah Fungsi Kompleks. Dalam makalah ini mengulas tentang fungsi analitik dan geometri elementer pada fungsi kompleks. Ucapan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu menyusun makalah ini. Besar harapan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca. Dengan kerendahan hati makalah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, diharapkan ada kritik dan saran demi perbaikan makalah yang akan dibuat di masa yang akan datang.

Malang, Februari 2019

Penyusun

i

DAFTAR ISI Kata Pengantar .......................................................................................................

i

Daftar Isi ..................................................................................................................

ii

BAB I

BAB II

BAB III

PENDAHULUAN A. Latar Belakang ............................................................................

1

B. Rumusan Masalah .......................................................................

1

C. Tujuan .........................................................................................

1

BAHASAN A. Fungsi Analitik ...........................................................................

2

1) Pengantar ...............................................................................

2

a) Fungsi Variabel Kompleks ..............................................

2

b) Persamaan Cauchy-Riemann ..........................................

3

2) Definisi ...................................................................................

4

B. Geometri Elementer ....................................................................

6

1) Pengantar ...............................................................................

6

2) Geometri Bilangan Kompleks ...............................................

7

PENUTUP A. Kesimpulan .................................................................................

11

B. Saran ...........................................................................................

11

DAFTAR RUJUKAN .............................................................................................

12

ii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Matematika merupakan salah satu ilmu yang sangat besar pengaruhnya dalam kehidupan manusia. Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak lepas dari masalah-masalah yang berhubungan dengan matematika. Salah satu materi dalam matematika yang banyak digunakan dalam terapan adalah analisis kompleks. Dalam analisis kompleks dibahas tentang fungsi kompleks. Dalam fungsi variabel kompleks domain definisinya adalah himpunan bilangan kompleks dan rangenya juga merupakan bilangan kompleks. Salah satu fungsi yang dibahas dalam fungsi kompleks adalah fungsi analitik. Konsep fungsi analitik merupakan hal penting dalam teori fungsi variabel kompleks. Dapat diakatakan bahwa hampir seluruh pembahasan analisis kompleks tertuju pada keanalitikan fungsi karena dari konsep ini bisa dikembangkan lebih jauh dalam teori maupun penerapannya. Untuk menguji suatu fungsi tersebut analitik atau tidak, dapat digunakan syarat Cauchy-Riemann. Syarat Cauchy-Riemann menyatakan bahwa turunan parsial pertama suatu fungsi 𝑓(𝑧) memenuhi persamaan Cauchy-Riemann. Oleh sebab itu, untuk memahami lebih mendalam, maka perlu dibahas persamaan Cauchy-Riemann untuk menguji keanalitikan pada fungsi peubah kompleks. Kita tinjau geometri fungsi kompleks, dimana 𝑓 dinamakan fungsi peubah kompleks, atau disingkat fungsi kompleks. Huruf-huruf lain yang lazim digunakan untuk menunjukkan fungsi ialah g,h,k,.... dan cara yang paling umum untuk mendefinisikan fungsi ialah dengan menyatakan sebagai persamaan yang berbentuk 𝑤 = 𝑓(𝑧).

B. Rumusan Masalah 1. Bagaimana konsep tentang fungsi analitik? 2. Bagaimana konsep tentang geometri elementer? C. Tujuan 1.

Dapat menjelaskan tentang konsep fungsi analitik.

2.

Dapat menjelaskan tentang konsep geometri elementer.

1

BAB II BAHASAN A. Fungsi Analitik 1)

Pengantar a) Fungsi Variabel Kompleks Misalkan S adalah himpunan bilangan kompleks. Fungsi f didefinisikan pada S yang merupakan aturan yang menempatkan tiap z pada S suatu bilangan kompleks w. Bilangan w disebut sebagai nilai dari f pada z dan dilambangkan dengan 𝑓(𝑧); dengan kata lain 𝑤 = 𝑓(𝑧). Himpunan S disebut sebagai definisi daerah asal dari f. Itu harus ditekankan bahwa definisi daerah asal dan aturan keduanya diperlukan untuk menyusun fungsi yang terdefinisi dengan baik. Ketika definisi daerah asal tidak disebutkan, kita setuju untuk mengambil kemungkinan himpunan terbesar. Selain itu kemungkinan himpunan terbesar tidak selalu sesuai untuk menggunakan notasi untuk membedakan antara fungsi yang diberikan dan nilai fungsi tersebut. Contoh 1 : 1

Jika 𝑓 didefinisikan pada himpunan 𝑧 ≠ 0 artinya dari persamaan 𝑤 = 𝑧, 1

hal itu menunjukkan hanya pada fungsi 𝑤 = 𝑧, atau dengan sederhana fungsi 1 𝑧

. Misalkan 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 adalah nilai dari fungsi 𝑓 pada 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦,

didapat 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) masing-masing bilangan real u dan v bergantung pada variabel real x dan y, dan karena itu 𝑓(𝑧) dapat dinyatakan dalam pasangan berurutan dari fungsi bernilai real pada variabel x dan y (𝑥, 𝑦 ∈ ℝ). 𝑓(𝑧) = 𝑢(𝑥, 𝑦) + 𝑖𝑣(𝑥, 𝑦) * jika pada koordinat 𝑟 dan 𝜃, sebagai ganti 𝑥 dan 𝑦, maka kita dapat menggunakan 𝑢 + 𝑖𝑣 = 𝑓(𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) Dimana 𝑤 = 𝑢 + 𝑖𝑣 dan 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 . Dalam kasus ini kita dapat menyatakan 𝑓(𝑧) = 𝑢 (𝑟, 𝜃) + 𝑖𝑣(𝑟, 𝜃) **

2

Contoh 2 : Jika 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 , maka 𝑓(𝑥 + 𝑖𝑦) = (𝑥 + 𝑖𝑦)2 = 𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑖2𝑥𝑦 karena itu 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2 dan 𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦 ketika menggunakan koordinat polar 2

𝑓(𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) = (𝑟𝑒 𝑖𝜃 ) = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑖𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃 Akibatnya, 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟 2 𝑐𝑜𝑠2𝜃 dan 𝑣(𝑟, 𝜃) = 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2𝜃

Jika pada persamaan yang lain (*) dan (**), fungsi v selalu memiliki bernilai 0. Maka nilai dari f selalu real. Artinya f adalah fungsi bernilai real pada variabel kompleks. b) Persamaan Cauchy-Riemann Sebelum membahas tentang fungsi analitik kita perlu memahami materi prasyarat fungsi analitik yaitu persamaan Cauchy-Riemann. Persamaan yang ditemukan oleh seorang matematikawan asal Perancis A. L. Cauchy (1781857) lalu dikembangkan untuk teori dari variabel fungsi kompleks oleh matematikawan asal Jerman G. F. B. Riemann (1826-1866). Teorema 1 : 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) Persamaan tersebut memiliki turunan 𝑓′(𝑧) yang terdefinisi di titik 𝑧0 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 . Maka turunan parsial dari 𝑢 dan 𝑣 harus terdefinisi di (𝑥0 , 𝑦0 ) dan harus memenuhi persamaan persamaan Cauchy-Riemann 𝒖𝒙 = 𝒗𝒚

,

𝒖𝒚 = −𝒗𝒙

𝑓′(𝑧0 ) juga dapat ditulis 𝒇′ (𝒛𝟎 ) = 𝒖𝒙 + 𝒊𝒗𝒙 Persamaan Cauchy-Riemann ini perlu untuk dipahami karena penting pada analisis komplek. Persamaan ini menjadi penting karena persamaan ini digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks 3

𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙, 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙, 𝒚) Contoh 3 : Gunakan persamaan Cauchy-Riemann untuk membuktikan bahwa turunan 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 ada untuk semua z dan bahwa 𝑓 ′ (𝑧) = 2𝑧. Penyelesaian : Misal 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 𝑓(𝑧) = 𝑧 2 = 𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑖2𝑥𝑦 Jadi, 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 − 𝑦 2

𝑣(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦

𝑢𝑥 = 2𝑥

𝑣𝑥 = 2𝑦

𝑢𝑦 = −2𝑦

𝑣𝑦 = 2𝑥

𝑢𝑥 = 2𝑥 = 𝑣𝑦

𝑢𝑦 = −2𝑦 = 𝑣𝑥

didapat

untuk semua (x,y). Contoh 1 terpenuhi, artinya 𝑓′(𝑧) ada untuk semua z. Maka dapat disimpulkan 𝑓 ′ (𝑧) = 2𝑥 + 𝑖2𝑦 = 2(𝑥 + 𝑖𝑦) = 2𝑧 Fungsi analitik bisa dikatakan sebagai konsep terpenting dalam teori peubah kompleks. Fungsi-fungsi yang memiliki sifat analitik mewarisi suatu struktur dimiliki oleh fungsi-fungsi yang analitik. Pada bagian awal bab ini akan dibahas tentang definisi keanalitikan suatu fungsi kompleks serta syaratsyarat yang harus dipenuhi oleh suatu fungsi sehingga dikatakan analitik. 2)

Definisi Setelah memahami persamaan Cauchy-Riemann menandakan kita telah siap untuk membahas fungsi analitik. Suatu fungsi 𝑓(𝑧) dikatakan analitik (disebut juga dengan holomorfik atau reguler atau monogenik) pada titik 𝑧0 , jika memiliki turunan disemua titik pada suatu lingkungan 𝑧0 . Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa f analitik pada titik 𝑧0 , maka f harus analitik di tiap titik di lingkungan 𝑧0 . Suatu fungsi f

analitik pada suatu himpunan

terbuka jika fungsi tersebut memiliki turunan disetiap anggota himpunan tersebut. Terdapat hubungan antara diferensiabilitas dan analitisitas suatu fungsi pada suatu titik. Tetapi tetap ada perbedaan konsep diantara keduanya, analitisitas di 𝑧0 berimplikasi diferensibilitas di 𝑧0 tetapi tidak sebaliknya. 4

Diferensibilitas tidak berimplikasi pada pada analitisitas karena secara umum 𝑓′ boleh ada pada sebarang tipe himpunan bahkan pada titik terasing atau suatu penggal garis. Sedangkan analitisitas berhubungan sangat erat dengan himpunan terbuka, hal ini sesuai dengan definisi analitisitas di 𝑧0 yang menghendaki bahwa 𝑓′ harus ada pada lingkungan tertentu dari titik tersebut. Contoh 4 : Teliti apakah fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑥 2 − 𝑖𝑦 2 analitik? Penyelesaian: 𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2

𝑣(𝑥, 𝑦) = −𝑦 2

𝑢𝑥 = 2𝑥

𝑣𝑥 = 0

𝑢𝑦 = 0

𝑣𝑦 = −2𝑦

𝑢𝑥 = 𝑣𝑦 = 2𝑥 = −2𝑦

−𝑢𝑦 = 𝑣𝑥 = 0

didapat

persamaan Cauchy-Riemann akan terpenuhi jika 2𝑥 = −2𝑦 maka akan terpenuhi jika 𝑦 = −𝑥. Menurut teorema 1 𝑓′ ada hanya pada titik-titik pada garis 𝑦 = −𝑥. Setiap lingkungan bagi setiap titik pada garis itu memuat titiktitik yang berada di luar garis 𝑦 = −𝑥 yang mengakibatkan 𝑓′ tidak ada. Hal ini mengakibatkan 𝑓′ tidak analitik dimana-mana karena analitisitas pada suatu titik menuntut adanya 𝑓′ di seluruh lingkungan pada titik tersebut. Contoh 5 : 1

Apakah fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑧 adalah fungsi analitik ? Penyelesaian : 1

Fungsi 𝑓(𝑧) = 𝑧 merupakan fungsi analitik pada seluruh titik nonzero pada bidang terbatas. Contoh 6 : Buktikan bahwa fungi 𝑓(𝑧) = |𝑧|2 bukan fungsi analitik! Penyelesaian : ̅̅̅) − 𝑧𝑧̅ ̅̅̅ ∆𝑤 |𝑧 + ∆𝑧|2 − |𝑧|2 (𝑧 + ∆𝑧)(𝑧̅ + ∆𝑧 ∆𝑧 = = = 𝑧̅ + ̅̅̅ ∆𝑧 + 𝑧 ∆𝑧 ∆𝑧 ∆𝑧 ∆𝑧 didapat ̅̅̅ ∆𝑧 = ∆𝑧

̅̅̅ ∆𝑧 = −∆𝑧

maka 5

∆𝑤 ̅̅̅ + 𝑧 = 𝑧̅ + ∆𝑧 ∆𝑧

pada

∆𝑧 = (∆𝑥, 0)

∆𝑤 = 𝑧̅ − ̅̅̅ ∆𝑧 − 𝑧 ∆𝑧

pada

∆𝑧 = (0, ∆𝑦)

dan

jadi 𝑧̅ + 𝑧 = 𝑧̅ − 𝑧 atau dapat disimpulkan bahwa 𝑧 = 0. Dari pembuktian persamaan di atas dapat kita ketahui bahwa fungsi tersebut tidak analitik karena turunan persamaan tersebut hanya terdapat pada titik 𝑧 = 0 dan tidak terdapat pada lingkungan 𝑧0 . B.

Geometri Elementer 1) Pengantar Pada bab Bilangan kompleks telah di singgung sedikit mengenai Aspek geometri bilangan kompleks. Yaitu memisalkan z = x + iy

z dapat dinyatakan koordinat kartesius dengan sumbu horizontal menyatakan Re(z) dan sumbu vertical menyatakan Im(z). Bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 dipadankan dengan titik (𝑥, 𝑦) di bidang datar dan sebaliknya. Bidang 𝑥𝑦 yang telah dikenal selanjutnya disebut bidang kompleks atau bidang 𝑧. Dengan sumbu 𝑥 dan sumbu y masing-masing dinamakan sumbu nyata dan sumbu khayal. Dari keterangan diatas, bilangan kompleks dapat disajikan dalam pasangan berurut (𝑥, 𝑦), sehingga secara geometri dapat disajikan sebagai titik (𝑥, 𝑦), pada bidang kompleks (bidang xy ), dengan sumbu x (sumbu riil) dan sumbu y (sumbu imajiner). Selain itu, bilangan kompleks 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 = (𝑥, 𝑦) juga dapat disajikan sebagai vektor dalam bidang kompleks dengan titik pangkal pada titik asal dan ujung vektor merupakan titik (𝑥, 𝑦). Bilangan kompleks dapat disajikan dalam suatu diagram yang sering disebut sebagai diagram Argand. Apabila suatu bilangan kompleks 𝑧 disajikan dalam diagram Argand, bilangan kompleks tersebut dapat dipandang sebagai suatu vektor, maka panjang vektor tersebut dinamakan modulus dari 𝑧 dan dinotasikan dengan |𝑧|.

6

Jadi misal jika 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏, maka |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏 2 Artinya modulus dari bilangan real sama dengan nilai mutlak bilangan tersebut. Selain modulus, diagram Argand juga memperlihatkan sebuah sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑧 dengan sumbu nyata positif. Sudut ini kemudian dikenal dengan Argumen 𝑧 dan dinotasikan dengan arg 𝑧. Dengan kata lain, arg (𝑎 + 𝑖𝑏), adalah suatu sudut 𝜃 sedemikian sehingga sin 𝜃=b/|𝑧| dan cos 𝜃=𝑎/|𝑧| Argumen nol tidak dapat didefinisikan secara berarti. Secara aljabar, hal ini jelas, karena diperoleh bentuk 0/0. Sedangkan secara geometris, vektor nol yang menjadi padanan bilangan kompleks 𝑧=0, tidak mempunyai panjang, sehingga tidak dapat membentuk suatu sudut dengan sumbu nyata positif. 2) Geometri Bilangan Kompleks (Pemetaan) Unsur dari fungsi bernilai riil dari variabel real sering diperlihatkan oleh grafik fungsi. Tetapi ketika w = f (z), di mana z dan w adalah kompleks, tidak mudah merepresentasikan fungsi f karena kedua fungsi mempunyai dua dimensi dan gabungan mereka membentuk besaran berdimensi empat yang agak sulit untuk digambarkan pada suatu garis. Karena kesulitan ini, grafik yang mewakili suatu fungsi kompleks akan dipermudah dengan mengerjakan pada dua bidang kompleks, dinamakan : 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑧 dan 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑤 Ketika fungsi f dipikirkan dengan cara ini, ia sering disebut sebagai pemetaan, atau transformasi. Gambar titik z dalam domain didefinisikan S adalah titik w = f (z), dan himpunan gambar dari semua titik dalam himpunan T yang terkandung dalam S adalah gambar T. Gambar seluruh domain didefinisikan S sebagai range f. Invers gambar dari titik w adalah himpunan semua titik z dalam domain definisi f yang memiliki w sebagai gambar mereka. Invers gambar dari suatu titik bisa saja hanya mengandung satu titik, banyak titik, atau tidak sama sekali. Kasus terakhir terjadi, tentu saja,ketika w tidak dalam kisaran f. 7

Istilah seperti translasi, rotasi, dan refleksi dominan digunakan untuk menyampaikan karakteristik geometris pada pemetaan tertentu. Dalam kasus seperti itu, terkadang mudah untuk mempertimbangkan garis z dan w menjadi sama. Misalnya saja pemetaan w = z + 1 = (x + 1) + iy di mana z = x + iy, dapat dianggap sebagai terjemahan dari setiap titik z satu unit 𝑖𝜋

ke kanan. Karena 𝑖 = 𝑒 2 , pemetaanya 𝜋 𝑤 = 𝑖𝑧 = 𝑟 𝑒𝑥𝑝[𝑖 ( 𝜃 + )] , 2 di mana 𝑧 = 𝑟𝑒 𝑖𝜃 , memutar vektor radius untuk setiap titik bukan nol z melalui sudut kanan dari asal dengan arah berlawanan; dan pemetaan 𝑤 = 𝑧 = 𝑥 – 𝑖𝑦 mengubah setiap titik z = x + iy menjadi pantulannya dalam sumbu nyata. Informasi lebih lanjut biasanya ditampilkan dengan membuat sketsa gambar kurva dan daerah dengan menunjukkan gambar dari titik-titik individual.

Contoh 1 1. Menurut Contoh 2 dalam Sec. 12, pemetaan 𝑤 = 𝑧 2 bisa dianggap sebagai transformasi (1)

𝑢 = 𝑥 2 − 𝑦 2 , 𝑣 = 2𝑥𝑦

dari bidang 𝑥𝑦 ke bidang 𝑢𝑣. Bentuk pemetaan ini sangat berguna dalam menemukan gambar-gambar hiperbola tertentu. Sangat mudah untuk menunjukkan, misalnya, bahwa setiap cabang hiperbola

(2)

𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝑐1

(𝑐1 > 0)

dipetakan dengan cara satu ke satu ke garis vertikal 𝑢 = 𝑐1 . Kita mulai dengan mencatat dari persamaan pertama (1) bahwa 𝑢 = 𝑐1 ketika (𝑥, 𝑦) adalah titik yang terletak pada salah satu dari kedua cabang. Ketika, khususnya, itu terletak di cabang kanan, yang kedua dari persamaan memberi tahu kita bahwa 𝑣 = 2𝑦 √𝑦 2 + 𝑐1 , Dengan demikian gambar cabang kanan bisa dinyatakan secara parametrik sebagai 𝑢 = 𝑐1 ,

𝑣 = 2𝑦 √𝑦 2 + 𝑐1

(−∞ < 𝑦 < ∞);

dan terbukti bahwa gambar suatu titik (x, y) pada cabang itu bergerak ke atas seluruh garis saat (x, y) menelusuri cabang ke arah atas (Gbr. 17). 8

Begitu juga sejak pasangan persamaan 𝑣 = −2𝑦 √𝑦 2 + 𝑐1

𝑢 = 𝑐1 ,

(−∞ < 𝑦 < ∞);

memberikan representasi parametrik untuk gambar cabang kiri hyperbola, gambar titik turun ke bawah sepanjang seluruh cabang kiri terlihat bergerak ke atas seluruh baris 𝑢 = 𝑐1 .

Di sisi lain, masing-masing cabang hiperbola (3)

2𝑥𝑦 = 𝑐2 (𝑐2 > 0)

ditransformasikan menjadi garis 𝑣 = 𝑐2 , seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 17. Untuk memverifikasi ini, kita perhatikan dari persamaan kedua (1) bahwa 𝑣 = 𝑐2 ketika (𝑥, 𝑦) adalah titik pada salah satu dari keduanya cabang. Misalkan (𝑥, 𝑦) ada di cabang yang terletak di kuadran pertama. Lalu 𝑐

sejak itu 𝑦 = 2𝑥2 , yang pertama dari persamaan (1) mengungkapkan bahwa gambar cabang memiliki representasi parametrik 𝑐22 𝑢 = 𝑥 − 2 4𝑥 2

, 𝑣 = 𝑐2

(0 < 𝑥 < ∞).

Perhatikan bahwa lim 𝑢 = −∞

𝑥→0 𝑥>0

dan

lim 𝑢 = ∞

𝑥→∞

Karena 𝑢 bergantung terus menerus pada 𝑥, maka, jelas bahwa ketika (𝑥, 𝑦) bergerak turun seluruh cabang atas hiperbola (3), gambarnya bergerak ke kanan di sepanjang keseluruhan garis horizontal 𝑣 = 𝑐 2 . Sejauh gambar cabang bawah memiliki representasi parametrik 𝑢 =

𝑐22 − 𝑦2 4𝑦 2

, 𝑣 = 𝑐2

oleh karen itu

9

(−∞ < 𝑦 < ∞).

lim 𝑢 = −∞

dan

𝑦→−∞

lim 𝑢 = ∞

𝑦→−∞ 𝑦<0

maka gambar titik bergerak ke atas sepanjang seluruh cabang bawah juga bergerak ke kanan sepanjang garis 𝑣 = 𝑐2 (lihat Gambar 17). Contoh 2 : Perhatikan fungsi 𝑤 = 𝑧̅. Untuk setiap nilai peubah bebas 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 kita dapatkan nilai 𝑤 = 𝑥 − 𝑖𝑦. Misalkan 𝑧1 = 2 + 3𝑖 menghasilkan 𝑤1 = 2 − 3𝑖 , 𝑧2 = 1 − 2𝑖 menghasilkan 𝑤2 = 1 + 2𝑖 dan seterusnya; lihat gambar berikut.

10

BAB III PENUTUP A. Kesimpulan Suatu fungsi 𝑓(𝑧) dikatakan analitik (disebut juga dengan holomorfik atau reguler atau monogenik) pada titik 𝑧0 , jika memiliki turunan disemua titik pada suatu lingkungan 𝑧0 . Dari definisi tersebut dapat dikatakan bahwa f analitik pada titik 𝑧0 , maka f harus analitik di tiap titik di lingkungan 𝑧0 . Suatu fungsi f analitik pada suatu himpunan terbuka jika fungsi tersebut memiliki turunan disetiap anggota himpunan tersebut. Unsur dari fungsi bernilai riil dari variabel real diperlihatkan oleh grafik fungsi. Tetapi ketika w = f (z), di mana z dan w adalah kompleks, tidak mudah merepresentasikan fungsi f karena kedua fungsi mempunyai dua dimensi dan gabungan mereka membentuk besaran berdimensi empat yang agak sulit untuk digambarkan pada suatu garis. Karena kesulitan ini, grafik yang mewakili suatu fungsi kompleks akan dipermudah dengan mengerjakan pada dua bidang kompleks, dinamakan : 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑧 dan 𝑏𝑖𝑑𝑎𝑛𝑔 𝑤 Ketika fungsi f dipikirkan dengan cara ini, ia sering disebut sebagai pemetaan, atau transformasi. Gambar titik z dalam domain didefinisikan S adalah titik w = f (z), dan himpunan gambar dari semua titik dalam himpunan T yang terkandung dalam S adalah gambar T. Gambar seluruh domain didefinisikan S sebagai range f. Invers gambar dari titik w adalah himpunan semua titik z dalam domain definisi f yang memiliki w sebagai gambar mereka. Istilah seperti translasi, rotasi, dan refleksi dominan digunakan untuk menyampaikan karakteristik geometris pada pemetaan tertentu. B. Saran Berdasarkan beberapa penjelasan yang telah disampaikan diatas, diharapkan pembaca untuk dapat mengetahui apa itu fungsi analitik dan dapat memahami geometri elementer pada Bilangan Kompleks.

11

DAFTAR RUJUKAN Brown, J.W., dan Ruel V. Churchill. 2009. Complex Variables and Applications. New York: McGraw-Hill Companies.

12