Ppt Fk Limit & Kontinuitas.pptx

LIMIT DAN KONTINUITAS

Anggota : 1. Nabila Ekaputri W. (170311611523) 2. Nanda Azzahra P. (170311611628) 3. Nizi Hajar (170311611595) S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

LIMIT FUNGSI Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.

Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z0 jika untuk sebarang 𝜀 > 0 terdapat bilangan positif 𝛿 sehingga untuk 0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 berlaku 𝑓 𝑧 − 1 < 𝜀 dan ditulis sebagai lim 𝑓 𝑧 = 𝑙

𝑧→𝑧0

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

LIMIT FUNGSI Perlu diperhatikan bahwa:  Titik z0 adalah titik limit domain fungsi f.  Titik z menuju z0 melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju z0 dari segala arah.  Apabila z menuju z0 melalui dua lengkungan yang berbeda mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tersebut tidak ada untuk z mendekati z0.

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA LIMIT Teorema 1 : Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z0, maka nilai limitnya tunggal.

Bukti: Misal limitnya w1 dan w2, maka 𝑓(𝑧) − 𝑤1 = 𝑤1 − 𝑓(𝑧) =

𝑓(𝑧) − 𝑤2 =

𝜀 2

𝜀 2 𝜀 2

𝜀 2

𝑤1 − 𝑓 𝑧 + 𝑓 𝑧 − 𝑤2 = 𝑤1 − 𝑓(𝑧) + 𝑓(𝑧) − 𝑤2 = + = 𝜀 Sehingga 𝑤1 − 𝑤2 ≤ 𝜀

Jadi, 𝑤1 = 𝑤2 S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

Teorema 2: Misalkan z = (x,y) = x + iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik z0 = (x0,y0) = x0 + iy0 di dalam D atau batas D.

Maka 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑥0 + 𝑖𝑦0 𝑧→𝑧0

jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑥0 dan 𝑧→𝑧0

𝑙𝑖𝑚 𝑣 𝑥, 𝑦 = 𝑦0 .

𝑧→𝑧0

Teorema 3: Misalkan fungsi f dan g limitnya ada lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka

lim (f(z) + g(z)) = a + b (untuk z → z0) lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → z0) lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → z0) S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

Contoh 1. Hitunglah : 𝑧 2 +1 𝑙𝑖𝑚 𝑧→𝑖 𝑧−𝑖

Penyelesaian.

Contoh 2. Jika 𝑓 𝑧 =

2𝑥𝑦 𝑥 2 +𝑦 2

+

𝑥2 i. 𝑦+1

Buktikan lim 𝑓(𝑧) tidak ada!

𝑧→0

𝑧2 + 1 𝑧+𝑖 𝑧−𝑖 lim = lim = lim 𝑧 + 𝑖 𝑧→𝑖 𝑧 − 𝑖 𝑧→𝑖 𝑧→𝑖 𝑧−𝑖 = 2𝑖

Penyelesaian. Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka lim 𝑓(𝑧) = lim 𝑓 𝑧 = lim 𝑥 2 𝑖 = 0 𝑧→0

(𝑥,0)→(0,0)

𝑥→0

Sedangkan di sepanjang garis y = x, lim 𝑓(𝑧) 𝑧→0

𝑥2 = lim 𝑓 𝑧 = lim (1 + 𝑖) = 1 (𝑥,𝑥)→(0,0) 𝑥→0 𝑥+1 Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti lim 𝑓(𝑧) tidak ada. 𝑧→0

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

LIMIT PADA TITIK TAK HINGGA Terkadang mudah untuk memasukkan titik tak hingga pada bidang komples, dinotasikan dengan ∞ , dan untuk menggunakan pelibatkan limit. Bidang kompleks yang memuat titik di tak hingga disebut bidang kompleks yang diperluas. Untuk memvisualisasikan titik pada tak hingga, seseorang dapat memikirkan bidang komples melewati sepanjang bidang tengah dari sebuah bola yang berpusat pada titik asal. Untuk setiap titik Z pada bidang ada tepat satu titik P yang sesuai pada permukaan dari bola itu. Titik P adalah titik dimana garis melalui Z dan kutub utara N memotong bola itu. Dengan cara yang sama, untuk setiap titik P pada permukaan bola, lainnya pada kutub utara N ada tepat satu titik z yang sesuai pada bidang tersebut. Dengan meletakkan titik N pada bola itu sesuai ke titik tak hingga ,dapat ditentukan sebuah korespondensi 1-1 antara titik-titik pada bola itu dan titik pada perluasan bidang kompleks. Bola itu dikenal sebagai Riemann Sphere (Bola Riemann), dan corespondensi itu disebut sebuah stereographic projection.

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

Mengamati bahwa eksterior dari sebuah lingkaran yang berpusat pada titik asal di dalam bidang kompleks sesuai ke belahan bola atas dengan bidang tengah dan titik N dihapus. Bahkan, untuk setiap bilangan positif kecil 𝜀, titik itu pada eksterior bidang kompleks ke lingkaran 𝑧 = 1/𝜀 sesuai ke titik pada bola itu dekat ke N. Himpunan 𝑧 > 1/𝜀 sebuah himpunan 𝜀, atau lingkungan, dari ∞. Telah disepakati bahwa titik Z pada bidang terhingga. Selanjutnya, ketika titik pada tak hingga harus dipertimbangkan, itu akan disebutkan secara khusus. Selanjutnya diberikan sebuah penyataan : 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑤0

𝑧→𝑧0

Ketika antara z0 atau w0 atau setiap kemungkinan dari bilangan itu, diganti dengan titik tak hingga. Pada definisi limit, dengan sederhana mengganti lingkungan yang sesuai dari z0 dan w0 dengan lingkungan dari ∞.

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA Jika z0 dan w0 adalah titik-titik pada bidang z dan w, secara sempurna, maka 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = ∞ jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧→𝑧0 𝑧→0 dan

1 𝑧

=0 , 1

𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑤0 jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑧 ) = 𝑤0 , 𝑧→∞ 𝑧→0 selanjutnya 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = ∞ jika dan hanya jika 𝑙𝑖𝑚 𝑓

𝑧→𝑧0

𝑧→0

1 1/𝑧

=0 .

Memulai membuktikan dengan mencatat bahwa yang pertama dari batas (1) berarti untuk masing-masing angka positif 𝜀 dan angka positif 𝛿 sedemikian rupa 1 𝜀

𝑓(𝑧) > ketika 0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 Dimana titik w = f(z) terletak di lingkungan 𝜀, 𝑤 = 1/𝜀 dari ∞, ketika z terletak di deleted neighbourhood 0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 dari z0 karena penyataan 4 dapat ditulis 1 − 𝑓(𝑧)

0 < 𝜀 ketika 0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA Limit kedua (1) mengikuti. Limit pertama (2) berarti bahwa untuk setiap bilangan positif 𝜀, ada sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga

𝑓 𝑧 − 𝑤0 < 𝜀 ketika 𝑧 >

1 𝛿

1 𝑧

Penggantian z dengan pada penyataan 5 dan kemudian penulisan menjadi 1 𝑧

𝑓

− 𝑤0 < 𝜀 ketika 0 < 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿,

sampai pada limit yang kedua (2).

Akhirnya, limit pertama (3) diinterpretasikan dengan untuk setiap bilangan bilangan positif 𝜀, ada sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga 𝑓 𝑧

1 𝜀

Ketika z diganti 1 1 𝑧

𝑓( )

1 𝛿 1 dengan 𝑧

< ketika 𝑧 >

, pernyataan diatas menjadi

− 0 < 𝜀 ketika 0 < 𝑧 − 0 < 𝛿;

Dan pernyataan diatas menunjukkan limit kedua (3). S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

CONTOH : Amati bahwa 𝑖𝑧+3 𝑧 →−1 𝑧+1

lim

2𝑧+𝑖 lim 𝑧 → ∞ 𝑧+1

= ∞ tetapi

𝑧+1 𝑧 →−1 𝑖𝑧+3

= 2 tetapi

2/𝑧+𝑖 lim 𝑧 → 0 1/𝑧+1

2𝑧 3 −1 lim 𝑧 →∞ 𝑧 2 +1

lim

= ∞ tetapi lim

𝑧→0

= 0 , dan

=

1/𝑧 2 +1 2 −1 𝑧3

2+𝑖𝑧 lim 𝑧 → 0 1+𝑧

=

= 2 ,selanjutnya

𝑧+ 𝑧 3 lim 𝑧 → 0 2−𝑧 3

= 0

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

KONTINUITAS Sebuah fungsi f adalah kontinu pada titik z0 jika memenuhi 3 kondisi berikut: 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 ada

𝑧→𝑧0

f(z0) ada 𝑙𝑖𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑓 𝑧0

𝑧→𝑧0

Jika diamati, pernyataan (3) memuat pernyatan (1) dan (2), karena keberadaan masing-masing ruas pada persamaan tersebut dibutuhkan. Pernyataan (3) menyatakan bahwa tentu untuk setiap bilangan positif 𝜀 , terdapat sebuah bilangan positif 𝛿 sehingga 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑧0 ) < 𝜀 ketika

𝑧 − 𝑧0 < 𝛿

Sebuah fungsi dari variabel kompleks dikatakan kontinu di daerah R jika fungsi itu kontinu pada setiap titik di R. Jika dua fungsi kontinu pada sebuah titik, penjumlahan dan perkaliannya juga kontinu pada titik itu; fungsi rasional akan kontinu pada sebarang titik jika penyebut taknol. Hal tersebut adalah konsekuensi langsung dari teorema 2 pada subbab limit. Sebagai catatan juga bahwa fungsi polinomial adalah kontinu di seluruh bidang karena memenuhi pernyataan 3).

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA 1. Sebuah komposisi dari fungsi kontinu adalah kontinu fungsi tersebut Sebuah pernyataan tepat dari teorema ini termuat pada pembuktian sebagai berikut. Memisalkan w = f(z) adalah sebuah fungsi yang didefinisikan untuk setiap z pada lingkungan 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 dari titik z0 , dan memisalkan W = g(w) adalah sebuah fungsi domain yang didefinisikan dari pemetaan dari lingkungan dibawah fungsi f. Komposisi W = g [f(z)] , maka didefinisikan untuk setiap z pada lingkungan 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 . Menganggap bahwa f adalah kontinu pada z0 dan bahwa g kontinu pada titik f(z0) , maka untuk setiap bilangan positif 𝜀 , terdapat sebuah bilangan positif 𝛾 sehingga 𝑔[𝑓 𝑧 ] − 𝑔 𝑓 𝑧0

<𝜀

ketika

𝑓(𝑧) − 𝑓(𝑧0 ) < 𝛾

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

Lihatlah gambar di bawah ini :

Tetapi kontinuitas dari f pada z0 memastikan bahwa lingkungan 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 dapat dibuat cukup kecil bahwa peridaksamaan yang kedua juga seperti itu. Maka kontinuitas dari komposisi g [f(z)] , ada.

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA 2. Jika sebuah fungsi f(z) kontinu dan taknol pada sebuah titik z0 , maka f(z) ≠ 0 sepanjang beberapa lingkungan pada titik itu. Menganggap bahwa f(z) kontinu dan taknol pada z0, dapat membuktikan teorema 2dengan penandaan nilai positif 𝑓(𝑧0 ) / 2 ke bilangan 𝜀 pada pernyataan 4). Hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat bilangan positif 𝛿 sehingga 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑧0 ) <

𝑓(𝑧0 ) 2

ketika

𝑧 − 𝑧0 < 𝛿

Sehingga, jika ada sebuah titik z didalam lingkungan 𝑧 − 𝑧0 < 𝛿 pada f(z) = 0 , maka terdapat kontradiksi 𝑓(𝑧0 ) <

𝑓(𝑧0 ) 2

;

dan teorema telah terbukti. Kontinuitas pada sebuah fungsi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) lebih dekat dihubungkan pada kontinuitas dari fungsi komponennya u(x,y) dan v(x,y) . catatan bahwa hal itu mengikuti dari Teorema 1 bahwa fungsi 5) adalah kontinu pada sebuah titik z0 = ( x0 , y0 ) jika dan hanya jika fungsi komponennya kontinu disana

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TEOREMA 3. Jika sebuah fungsi f adalah kontinu sepanjang sebuah daerah R yang tertutup dan terbatas, maka terdapat sebuah bilangan real nonnegatif M sehingga 𝑓(𝑧) ≤ 𝑀

untuk setiap titik z pada R,

Dimana persamaan memenuhi untuk paling sedikit satu titik, seperti z. Untuk membuktikannya, pertama mengasumsikan bahwa fungsi f pada pesamaan 5) dan catat bagaimana persamaan itu menunjukkan bahwa fungsi itu 𝑢 𝑥, 𝑦

2

+ [𝑣 𝑥, 𝑦 ]^2

adalah kontinu sepanjan R dan mencapai sebuah nilai maksimum M di R. Pertidaksamaan 6) memenuhi dan akhirnya dikatakan bahwa f adalah terbatas pada R.

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

CONTOH : 1. Dimanakah fungsi g(z) =

𝑧 2 +1 𝑧 2 −3𝑧+2

kontinu?

Penyelesaian: Perhatikan bahwa g(z) diskontinu di z =1 dan z = 2 Jadi, g(z) kontinu

di daerah 𝑧 𝑧 ≠ 1 𝑑𝑎𝑛 𝑧 ≠ 2

𝑧 2 +9 𝑧−3𝑖

, 𝑧 ≠ 3𝑖 2. Apakah fungsi hzx)=ቐ ; kontinu di z= 3i ? 3 + 5𝑧 , 𝑧 = 3𝑖 Penyelesaian: Untuk z = 3i f(z) = 3 + 5z f(3i) = 3 + 5(3i) f(3i) = 3 + 15i Untuk z mendekati 3i 𝑧 2 +9 lim 𝑓(𝑧) = lim 𝑧−3𝑖 𝑧 →3𝑖 𝑧 →3𝑖 𝑧+3𝑖 ( 𝑧−3𝑖 ) = lim 𝑧−3𝑖 𝑧 →3𝑖

= lim 2 + 3𝑖 𝑧 →3𝑖

= 3i + 3i = 6i Sehingga lim 𝑓(𝑧) ≠ f (3i) 𝑧 →3𝑖

S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS

TERIMAKASIH 

Ada pertanyaan ??? S1 PENDIDIKAN MATEMATIKA 2017 (OFF. C) -- FUNGSI KOMPLEKS