Fraktal Klasik-kurva Koch

Makalah Seminar Dua Bulanan Jurusan Fisika FMIPA UNSRI

FRAKTAL KLASIK: Kurva Koch Oleh: Fiber Monado Ringkasan Makalah ini bertujuan untuk memperkenalkan Fraktal dikalangan Dosen dan Mahasiswa di lingkungan Jurusan Fisika FMIPA UNSRI. Pada kesempatan kali ini diuraikan salah satu contoh fraktal klasik yaitu kurva Koch. Ditunjukkan bahwa kurva Koch mempunyai dimensi fraktal ~1,2619.

PENDAHULUAN Sebagaimana nama yang diberikan kurva Koch adalah sebuah kurva tetapi tidak jelas dari bangunannya. Kurva ini bukan terdiri dari garis atau segmensegmen yang halus, dalam arti kita dapat melihatnya sebagai suatu garis bungkuk Kurva ini mempunyai banyak kekomplekan seperti yang dapat kita lihat dalam garis pantai alamiah. Kontruksi geometri sederhana dari kurva Koch dapat dilakukan sebagai berikut: 1. Mulai dengan suatu garis lurus (namakan garis ini initiator). 2. Bagi garis ini menjadi tiga bagian yang sama. 3. Kemudian gantikan bagian garis ditengah dengan sebuah segitiga sama sisi, ambil ini sebagai basis (namakan ini generator)., dan begitu seterusnya. Bagaimana kurva Koch dihubungkan dengan panjangnya ? Hal ini dapat dijelaskan sebagai berikut. Dalam setiap tingkat(langkah/step) diperoleh suatu kurva. Setelah langkah pertama diperoleh empat segmen garis dengan panjang yang sama. Setelah langkah kedua diperoleh 4 x 4 segmen garis. Kemudian 4 x 4 x 4 segmen garis setelah langkah ketiga dan begitu seterusnya. Jika garis asal mempunyai panjang L, maka setelah langkah pertama sebuah segmen garis mempunyai panjang L x 1/3, setelah langkah kedua mempunyai panjang L x 1/32 , kemudian L x 1/33 dan begitu seterusnya.

Karena dari setiap langkah 1

menghasilkan sebuah kurva dari segmen-segmen garis maka tidak ada persoalan dalam mengukur panjang kurva. Setelah langkah pertama panjang kurva adalah 4 x L x 1/3, kemudian 42 x L x 1/32 dan seterusnya.

Jadi setelah langkah ke-k

panjang kurva adalah : Panjang Kurva = L x 4k / 3k

(1)

Dapat diamati bahwa dari langkah ke langkah panjang kurva bertambah dengan faktor 4/3.

ALGORITMA PROGRAM Algoritma kurva Koch segitiga dapat dituangkan dalam Bahasa Visual Basic, seperti berikut: Sub Koch(ByVal X_1, ByVal Y_1,ByVal If (n > 0) Then dx = (X_2 - X_1) / 3 dy = (Y_2 - Y_1) / 3 x1n = X_1 + dx y1n = Y_1 + dy x2n = X_1 + 2 * dx y2n = Y_1 + 2 * dy xmid = 0.5 * dx - 0.866 * dy + ymid = 0.5 * dy + 0.866 * dx + Koch X_1, Y_1, x1n, y1n, n - 1 Koch x1n, y1n, xmid, ymid, n Koch xmid, ymid, x2n, y2n, n Koch x2n, y2n, X_2, Y_2, n - 1 Else Drawarea.Line (X_1, Y_1)-(X_2, End If End Sub

X_2, ByVal Y_2, ByVal n)

x1n y1n 1 1

Y_2), QBColor(12)

HASIL DAN PEMBAHASAN Algoritma di atas dilengkapi menjadi sebuah program dan kemudian dijalankan. Pertama kali program dijalankan dengan mengambil tingkat (langkah) nStep = 2, diperoleh hasil sebagaimana Gambar 1. Kemudian program dijalankan dengan mengambil nStep = 5 dan 8, diperoleh hasil masing-masing seperti Gambar 2 dan Gambar 3.

2

Gambar 1. Kurva Koch tingkat 2

Gambar 2. Kurva Koch tingkat 5 3

Gambar 3. Kurva Koch tingkat 8

Kita coba menghitung panjang kurva Koch dari masing-masing Gambar yang diperoleh.

Misalkan panjang awal (initiator) L= 1000 m, maka untuk

Gambar 1., diperoleh panjang kurva adalah: 1.777 m; dengan menggunakan perumusan pada persamaan (1). Demikian juga untuk Gambar 2 dan Gambar 3, masing-masing diperoleh panjang kurva adalah 4.214 m dan 9.969 m. Dari hasilhasil ini dapat terlihat bahwa panjang kurva Koch selalu bertambah pada setiap tingkatannya. Bentuk lain dari kurva Koch adalah seperti Gambar 4, yang dikenal dengan sebutan pulau Koch. Gambar ini di dapat dengan sedikit modifikasi program yang digunakan untuk memperoleh Gambar 1 sampai dengan 3.

4

Gambar 4. Bentuk lain dari kurva Koch, yang disebut juga pulau Koch. Disusun dari 3 bagian yang kongruen dari Gambar 2.

Bagaimana menentukan dimensi fraktal dari kurva Koch? Tinjau kurva satu dimensi (1-D) dengan panjang satuan, bagi menjadi N bagian segmen yang sama l , jadi N = 1/l . Jika hal ini diperluas untuk 2-D, secara umum kita dapat menulis bahwa N = 1/l D.

Dimana D adalah dimensi fractal dari objek. Kita

dapat mengambil logaritma dari per samaan ini, maka diperoleh: D=

log N log(1 / l)

(2)

5

Dengan menggunakan pers (2) kita dapat menghitung dimensi fraktal kurva Koch.

Kita mendapatkan bahwa pada setiap kali panjang l

dari satuan

pengukuran direduksi oleh faktor 3 dan jumlah segmen bertambah dengan faktor 4. Jadi kita mempunyai N = 4 dan l =1/3, sehingga diperoleh dimensi fraktal kurva Koch adalah : D = log 4 / log 3 ≈ 1,2619. Dari hasil ini terlihat bahwa kurva Koch mempunyai dimensi antara garis dan bidang. Juga dapat dilihat bahwa dimensi kurva Koch ini lebih dekat ke garis daripada bidang. Kita ketahui bahwa garis (1-D) tidak mempunyai luas, karena secara matematis tidak mempunyai lebar. Nanpaknya inilah jawaban kenapa luas pulau Koch ‘tidak’ berubah walaupun panjangnya berubah.

Daftar Pustaka: 1. H.O.Peitgen, H.Jurgens, D. Saupe, Chaos and Fractal New Frontiers of Sciens; Bab 2, ( Springer-Verlag.Inc, New York, 1992). 2. Dick Oliver, Memandang Realita dengan FractalVision, (terjemahan; penerbit ANDI, Yogyakarta, 1997) 3. H.Gould & J.Tobochnik, An Introduction to Computer Simulation Method Application to Physical System; Bab 14, (Addisson-Wesley.Inc, New York, 1996) 4. H.Gould & J.Tobochnik, “More On Frcatal and Chaos: Multifractal”, Computer in Physic, Maret/April 1990, Hal 202. 5. A. Kadir, Pemograman Qbasic; hal 527 – 538, (penerbit ANDI offset, Yogyakarta, 1995)

6