Fraktal

A. Sejarah 1. Kontribusi dari analisis klasik Benda-benda yang sekarang disebut fraktal sudah ditemukan dan dipelajari jauh sebelum kata fraktal muncul. Pada tahun 1872 Karl Theodor Wilhelm Weierstrass menemukan contoh fungsi dengan sifat yang tidak intuitif yaitu kontinyu di manapun namun tidak terdiferensiasi di manapun — grafik dari fungsi tersebut akan disebut fraktal di masa sekarang. Di tahun 1904 Helge von Koch, tidak puas dengan definisi Weierstraß yang sangat abstrak dan analitis, memberikan definisi yang lebih geometris untuk fungsi yang mirip, yang sekarang disebut bunga salju Koch. Ide mengenai kurva-kurva serupa diri dikembangkan lebih jauh oleh Paul Pierre Lévy, yang mengenalkan kurva fraktal baru bernama kurva Lévy C dalam tulisannya pada tahun 1938 berjudul Plane or Space Curves and Surfaces Consisting of Parts Similar to the Whole. Georg Cantor memberi contoh tentang berbagai himpunan bagian dari garis riil dengan sifat yang tidak wajar — himpunan Cantor tersebut juga sekarang dikenal sebagai fraktal. Fungsi teriterasi di bidang kompleks telah diselidiki pada akhir abad 19 dan awal abad 20 oleh Henri Poincaré, Felix Klein, Pierre Fatou, dan Gaston Julia. Namun tanpa bantuan grafika komputer modern, mereka tidak dapat melihat keindahan visual benda-benda yang mereka temukan. 2. Aspek dari deskripsi himpunan Dalam usahanya untuk memahami benda-benda seperti himpunan Cantor, matematikawan seperti Constantin Carathéodory dan Felix Hausdorff menggeneralisasi konsep intuitif dimensi agar memungkinkan nilai nonbulat. Ini termasuk bagian dari gerakan di pertengahan awal abad kedua puluh yang bertujuan menciptakan teori himpunan deskriptif, yaitu kelanjutan dari arah riset Cantor yang dapat mengklasifikasi himpunan titik-titik pada ruang Euclid. Definisi dimensi Hausdorff secara alami adalah geometris, walaupun didasarkan pada perkakas dari analisis matematis. Pendekatan ini digunakan oleh beberapa orang termasuk Besicovitch, yang berbeda dengan investigasi logis yang membangun sebagian besar teori himpunan deskriptif masa 1920-an dan 1930-an. Kedua bidang tersebut ditelusuri selama beberapa waktu setelahnya, terutama oleh para spesialis. 3. Kontribusi Mandelbrot Pada tahun 1960-an Benoît Mandelbrot mulai menyelidiki keserupa dirian dalam berbagai tulisannya seperti How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension. Penyelidikannya merupakan pengembangan dari penelitian

Lewis Fry Richardson. Dengan pendekatan yang sangat visual, Mandelbrot mendapatkan hubungan dari berbagai topik matematika yang sebelumnya tidak berkaitan. Di tahun 1975, Mandelbrot menggunakan kata fractal untuk mendeskripsikan benda-benda serupa diri yang tidak memiliki dimensi yang jelas. Dia menurunkan kata fractal dari kata Latin fractus yang artinya "patah", "rusak", atau "tidak teratur". Kata fractal bukan diturunkan dari kata fractional (pecahan), seperti yang dipercaya banyak orang. Kata fractional sendiri juga diturunkan dari fractus. ". Sebelum Mandelbrot memperkenalkan istilah tersebut, nama umum untuk struktur semacamnya (misalnya bunga salju Koch) adalah kurva monster.

Bunga salju Koch adalah gabungan dari daerah-daerah berbentuk segitiga yang jumlahnya tak hingga. Setiap kali segitiga baru ditambahkan saat membangun bunga salju Koch (suatu iterasi), kelilingnya bertambah. Keliling bunga salju Koch adalah tak hingga. B. Manfaat dan Kegunaan

Model Fraktal dapat diterapkan untuk mengukur karakteristik lansekap dan juga mengukur pola yang terlihat sebagai spesifikasi species (Johnson et all, 1991 dalam Ferina

1998). Contoh pendekatan yang bermanfaat untuk memahami kompleksitas dari lingkungan dan untuk memprediksikan respon spesifikasi species untuk sumber konfikguarasi spatial. Analisa fraktal efisien untuk mendeskripsikan variasi pada skala yang luas. Umumnya pola-pola dihasilkan oleh variasi proses yang berjalan pada banyak skala tingkatan organisme. Fraktal akan membantu untuk memahami jalannya proses ekologi, walaupun informasinya tidak dapat dihubungkan dengan suatu proses tertentu. Russel dan kawankawan (Russel et all 1992 dalam Ferina, 1998) mempelajari penyebaran burung laut dan makanan, dengan menggunakan analisa fraktal. Dalam studi ini menentukan hubungan antara pemangsa dan predator. Peneliti menggunakan metode berdasarkan teori geostatik dan variabel regional (RV). Variabel regional ini terlalu sulit untuk digambarkan dengan model matematika sederhana, karena adanya karakter berbeda dari contoh yang ada disekitarnya. Fraktal acak memiliki kegunaan praktis yang terbesar sebab dapat digunakan untuk mendeskripsikan banyak benda di alam. Contohnya adalah awan, gunung, turbulensi, garis pantai, dan pohon. Teknik-teknik fraktal juga telah digunakan pada kompresi gambar fraktal dan berbagai disiplin sains. Setelah visualisasi komputer diaplikasikan pada geometri fraktal, dapat disajikan argumen-argumen visual yang ampuh untuk menunjukkan bahwa geometri fraktal menghubungkan banyak bidang matematika dan sains, jauh lebih besar dan luas dari yang sebelumnya diperkirakan. Bidang-bidang yang terhubungkan oleh geometri fraktal terutama adalah dinamika nonlinier, teori chaos, dan kompleksitas. Salah satu contoh adalah menggambar metode Newton sebagai fraktal yang ternyata menunjukkan bahwa batas antara penyelesaian yang berbeda adalah fraktal dan penyelesaiannya sendiri adalah atraktor aneh. C. Cara Kerja Salah satu cara kerja fractal adalah sebagai berikut : Semi variant g(¡ )= ½ N (¡ ) å (Xj - (Xj + ¡ ) 2) ¡ adalah sampling interval. 2g (¡ ) =¡ (4-2D), dimana g (¡ ) adalah semi variant pada interval ¡ Dimensi fraktal D = (4-m)/2 (¡ ® 0), dimana m adalah slope (4-2D) dari ln g (¡ ) - ln ¡ . Analisa fraktal efisien dengan mendiskripsikan variasi pada skala yang luas. Umumnya pola-pola dihasilkan oleh variasi proses yang berjalan pada banyak skala dan tingkatan organisme.

Contoh cara kerja fraktal yang lain adalah, pada tahun 1918-ketika Gaston Julia, seorang matematikawan Perancis, menemukan pola fraktal dari manipulasi persamaan zn+1 = zn 2 + c. Z adalah bilangan kompleks, sedang c adalah suatu konstanta kompleks. Komponen bilangan kompleks z = x + i*y, x riil dan y imajiner, dipetakan langsung ke sumbu Euclidian x dan y. Dengan melakukan pengulangan terus-menerus terhadap persamaan ini sampai batas pengulangan tertentu,untuk tiap titik Zn awal diperoleh dua jenis karakteristik posisi yaitu titik-titik yang selalu tetap pada batas tertentu dan titik-titik yang cenderung menjauh dan tak terbatas. Titik-titik yang berada dalam batas tertentu ini disebut titik tertahan, sedangkan titik yang menjauh disebut titik terlempar. Pada bidang gambar x-y, jika dari titik awal z diperoleh titik terlempar, maka banyaknya pengulangan digunakan sebagai warna titik asal tersebut. Sebaliknya jika dari titik awal x-y diperoleh titik tertahan, pada titik tersebut diwarnai dengan warna hitam. Dari proses tersebut ternyata diperoleh bangun fraktal.

Fractal Julia

Fractal Mandelbrot

Fractal yang terdapat pada calah satu bagian MandelBrot

Contoh fraktal garis sederhana dengan orde 0 sampai 5

TUGAS PAPER PRAKTIKUM GRAFIKA KOMPUTER FRAKTAL KOMPLEK

Oleh: Novi Yulia Haryanti (0400910077)

PROGRAM DIII MANAJEMEN INFORMATIKA DAN TEKNIK KOMPUTER FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS BRAWIJAYA 2006