Review Analisis Vektor1

REVIEW ANALISIS VEKTOR

Medan Dalam Fisika n

Medan dalam fisika didefinisikan sebagai besaran fisis yang merupakan fungsi kontinu terhadap posisi dalam ruang. Contoh: n n n n n

Medan suhu, T(r) Medan tekanan udara, P(r) Medan kecepatan air, v(r) Medan gaya, F(r) Medan listrik, E(r)

Fisika FMIPA UNSRI

2

Medan Dalam Fisika n

n

Diperlukan matematika(kalkulus) untuk merepresentasikan kuantitas-kuantitas di atas. Biasanya dalam bentuk persamaan diferensial atau integral.

Fisika FMIPA UNSRI

3

Medan Dalam Fisika MEDAN SKALAR: f (x,y,z)

ψ(x,y,z,t) MEDAN VEKTOR:

v A( x, y, z )

nPunya

besar nTensor rank-0 nPunya

besar & arah

nTensor

rank-1

v B ( x, y , z , t ) Fisika FMIPA UNSRI

4

Medan Dalam Fisika MEDAN TENSOR:

t Z ( x, y, z) t T ( x, y , z , t )

Fisika FMIPA UNSRI

Punya besar, arah dan bergantung pada arah/bidang yang ditinjau

5

Diferensial Vektor Operator ∇ (dibaca del atau nabla) ) ∂ ) ∂ ) ∂ ∇ = i + j +k ∂x ∂y ∂z

Fisika FMIPA UNSRI

6

GRADIEN n

Dari definisi turunan parsial:  ∂f   ∂f   ∂f  df =  dx +  dy +  dz  ∂x   ∂z   ∂y 

n

Pers. diatas dpt ditulis dgn pendekatan perkalian titik:

(

  ∂f  )  ∂f ˆ  ∂f  ˆ  ˆ df =    i +   j +  k  • i dx + ˆjdy + kˆdz   ∂x   ∂y   ∂z   v = ∇f • d r

Fisika FMIPA UNSRI

)

7

θ

Fisika FMIPA UNSRI

8

Contoh Ilustrasi: n

Diketahui:

f (x,y) = x2 + y2 Tentukanlah gradiennya!

Fisika FMIPA UNSRI

9

Solusi: ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂  2 ∇ϕ =  i + j + k  x + y 2 ∂z  ∂y  ∂x ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 2 2 ˆ ˆ ˆ = i (x + y ) + j (x + y ) + k (x + y2 ) ∂x ∂y ∂z = iˆ2 x + ˆj 2 y + 0

(

)

= 2(iˆx + ˆjy )

Fisika FMIPA UNSRI

10

DIVERGENSI (∇•) n n n n

Merupakan ukuran penyebaran suatu vektor dititik yang ditinjau. Divergensi positif: medan vektor yg mempunyai arah-arah vektor yg menyebar keluar. Divergensi negatif: medan vektor yg mempunyai arah-arah vektor yg menyebar masuk. Divergensi nol: medan vektor yg tidak menyebar.

Fisika FMIPA UNSRI

11

Misal: v v ( x, y, z ) = iˆv x + ˆjv y + kˆv z Maka divergensinya adalah:

(

v ˆ ∂ ˆ ∂ ˆ ∂  ˆ ∇ • v =  i + j + k  • i v x + ˆjv y + kˆv z ∂y ∂z   ∂x ∂v x ∂v y ∂v z = + + ∂x ∂y ∂z

Fisika FMIPA UNSRI

12

)

Contoh: n

Tentukanlah divergensi dari kedua vektor berikut?

v A = ˆi x + ˆjy + kˆz dan

Fisika FMIPA UNSRI

v B = kˆ

13

Solusi: (

1.

v  ∂ ∂ ∂  ∇ • A =  iˆ + ˆj + kˆ  • iˆx + ˆjy + kˆz ∂y ∂z   ∂x ∂x ∂y ∂z = + + ∂x ∂y ∂z = 1+1+1 =3

2.

v  ∂ ∂ ∂  ∇ • B =  iˆ + ˆj + kˆ  • ikˆ ∂y ∂z   ∂x ∂ (0) ∂ (0) ∂ (1) = + + ∂x ∂y ∂z =0

)

( )

Fisika FMIPA UNSRI

14

CURL (∇x) n

Merupakan ukuran kelengkungan suatu vektor disekitar titik yang ditinjau.

(

)

v Misalkan V(x, y, z) = iˆVx + ˆjV y + kˆVz , maka :

(

)

v  ∂ ∂ ˆ ∂ ˆ ˆ ˆ ∇ × V =  i + j + k  × i Vx + ˆjV y + kˆVz ∂y ∂z   ∂x ˆj iˆ kˆ  ∂Vz ∂V y  ˆ ∂Vz ∂Vx  ˆ ∂V y ∂Vx  ∂ ∂ ∂ ˆ  − j   = = i  − − −  + k  ∂x ∂y ∂z ∂z   ∂x ∂z   ∂x ∂y   ∂y Vx V y Vz Fisika FMIPA UNSRI

15

Contoh: v Misalkan V = − ˆi y + ˆj x, tentukan curlnya!

Solusi:

(

)

v  ∂ ∂ ˆ∂ ˆ ˆ ∇ ×V =  i + j + k  × − iˆy + ˆjx ∂y ∂z   ∂x ˆj kˆ iˆ ∂ ∂ ∂ ˆ ∂(0) ∂( x)  ˆ ∂(0) ∂(− y)  ˆ ∂( x) ∂(− y)   − j  = = i  − − −  + k  ∂x ∂y ∂z ∂z   ∂x ∂z   ∂x ∂y   ∂y −y x 0 = iˆ(0 − 0) − ˆj(0 − 0) + kˆ(1 − (−1)) = kˆ2 Fisika FMIPA UNSRI

16

Soal-soal latihan: n

Coba Anda kerjakan soal-soal bab1 no: P.1.3; P.1.5; P.1.6

Fisika FMIPA UNSRI

17

ATURAN PERKALIAN =

3.

∇(f + g) v v ∇ • ( A + B) v v ∇x ( A + B )

=

∇f + ∇g v v ∇• A+∇•B v v ∇× A+∇× B

4.

∇(kf)

=

k∇f

1. 2.

5. 6. 7. 8.

v ∇ • (kA) v ∇ × (kA) ∇(fg) v v ∇( A • B )

=

= = = =

v k∇ • A v k∇ × A g∇f + f∇g w v v v v v A × (∇ × B ) + B × (∇ × A) + ( A • ∇) B + ( B • ∇) A

Fisika FMIPA UNSRI

18

ATURAN PERKALIAN 9. 10. 11. 12. 13.

14.

15

v ∇ • ( fA) v v ∇ • ( A × B) v ∇ × ( fA) v v ∇ × ( A × B) f  ∇  g v A ∇ •   g v A ∇ ×   g

= = = = =

=

=

v v f ∇ • A + A • ∇f w v v B • (∇ × A) − A • (∇ × B ) w f (∇ × A) − A × (∇f ) w v v v v v v ( B • ∇) A − ( A • ∇) B + A(∇ • B ) − B (∇ • A) g∇f − f ∇g g2 v v g (∇ • A) − A • ( ∇g ) g2 v v g (∇ × A) − A × ( ∇g ) g2

Fisika FMIPA UNSRI

19

CONTOH: Buktikan aturan no.10 dengan cara menghitung masing - masing suku secara terpisah, v untuk vektor - vektor : A = ˆix + ˆj2y + kˆ3z dan v B = ˆi 3y − ˆj2x

Fisika FMIPA UNSRI

20

SOLUSI: iˆ

v v A× B = x

ˆj 2y

3y − 2x

kˆ

(

3 z = iˆ(0 + 6 xz ) − ˆj (0 − 9 yz ) + kˆ − 2 x 2 − 6 y 2

)

0

(

= iˆ6 xz + ˆj 9 yz + kˆ − 2 x 2 − 6 y 2

)

v v ∂ ∂ ∂ ∇• (A× B) = (6xz) + (9yz) + − 2x2 − 6y2 = 6z + 9z =15z ∂x ∂y ∂z

(

)

………………………..… (1)

Fisika FMIPA UNSRI

21

Solusi: iˆ w ∂ ∇× A = ∂x x

ˆj ∂ ∂y 2y

kˆ ∂ = iˆ(0 − 0) − ˆj (0 − 0) + kˆ(0 − 0) = 0 ∂z 3z

v v B • (∇ × A) = 0 iˆ v ∂ ∇× B = ∂x 3y

ˆj ∂ ∂y − 2x

kˆ v ∂ ˆ = iˆ(0 − 0 ) − ˆj (0 − 0 ) + k (− 2 − 3) = −5k ∂z 0 Fisika FMIPA UNSRI

22

Solusi: v v A • (∇ × B) = (ˆi x + ˆj2y + kˆ3z) • (−kˆ5) = -15z Jadi:

v v w v v ∇ • ( A × B ) = B • (∇ × A) − A • (∇ × B ) = 0 − (−15 z ) = 15 z ………………………. (2)

TERLIHAT BAHWA (1) = (2) è TERBUKTI

Fisika FMIPA UNSRI

23

TURUNAN KEDUA MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

Fisika FMIPA UNSRI

24

TURUNAN KEDUA MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

Fisika FMIPA UNSRI

25

TURUNAN KEDUA MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

Fisika FMIPA UNSRI

26

TURUNAN KEDUA MEDAN SKALAR DAN MEDAN VEKTOR

Fisika FMIPA UNSRI

27

CONTOH: 1.

2.

Hitunglah Laplacian dari fungsi: T = x2 + 2xy + 3z + 4 Hitunglah Laplacian dari fungsi: T = sin x sin y sin z

Fisika FMIPA UNSRI

28

SOLUSI: 2 2 ∂ ∂ ( + 2 + 3 + 4 ) ∂ ∂ ( + 2 xy + 3 z + 4) x xy z x 2 ∇T= + + ∂x ∂x ∂y ∂y

∂ ∂ ( x 2 + 2 xy + 3 z + 4) ∂z ∂z ∂ ∂ ∂ = (2 x + 2 y ) + (2 x) + (3) = 2 ∂x ∂y ∂z

Fisika FMIPA UNSRI

29

Contoh latihan: n

Kerjakan problem 1.26 b, c, dan, d

n

Kerjakan problem 1.11; P.1.15; P.1.25

Fisika FMIPA UNSRI

30