Review Analisis Vektor2

Lanjutan Review Analisis Vektor

INTEGRAL KALKULUS

Fisika FMIPA UNSRI

1

1. Teorema Dasar Gradien v ∫ (∇T ) • dl = T (b) − T (a) b

a

o Integral garis sepanjang lengkungan kurva tertentu dari suatu turunan(gradien) diberikan oleh harga fungsi dibatas kurva (a dan b). Fisika FMIPA UNSRI

2

Teorema Dasar Gradien v 1. ∫ ∇T • d l : tdk bergantung lintasan b

a

v 2. ∫ (∇T • dl ) = 0

v ∫ ∇T • dl = T(a) − T(a) = 0 b

a

Fisika FMIPA UNSRI

3

CONTOH 1.1: 1. Tinjau T = xy2 dan titik-titik a=(0,0,0); b = (2, 1, 0). Periksalah kebenaran teorema gradien!

Fisika FMIPA UNSRI

4

SOLUSI: ∇T = ˆi y 2 + ˆj2xy v d l = ˆi dx + ˆjdy + kˆdz 1 x : 0 → 2; y = x 2 1 dy = dx 2

Fisika FMIPA UNSRI

5

SOLUSI: v ∇T • d l = (ˆi y 2 + ˆj2xy) • (ˆidx + ˆjdy + kˆdz) = y2dx + 2 xy dy = ¼ x2dx + ½x2dx v 23 2 1 32 ∫ ∇T • d l = ∫0 4 x dx = 4 x 0 = 2 ................. (*)

T(b) – T(a) = 2 – 0 = 2

….………. (**)

Jadi (*) = (**): menunjukkan kebenaran teotema gradien

Fisika FMIPA UNSRI

6

PR: o Problem 1.29

Fisika FMIPA UNSRI

7

2. TEOREMA DASAR DIVERGENSI ( = teorema Gauss = teoremaGreen)

v ( ) ∇ • V dτ = ∫

vol

v v ∫ V • da

surface

ATAU:

v v v ∇ • V dV = V • d s ∫∫∫ ∫∫

intergral turunan(divergensi) suatu fungsi pada suatu daerah tertentu sama dengan harga fungsi tersebut pada permukaan batas yang membatasi volume tersebut. Fisika FMIPA UNSRI

8

CONTOH 2.1: Periksalah kebenaran teorema divergensi menggunaka n fungsi : v V = y 2iˆ + ( 2 xy + z 2 ) ˆj + ( 2 yz ) kˆ, dengan panjang satu - satuan dari titik asal.

Solusi:

Fisika FMIPA UNSRI

9

v  ∂ ∂ ∂ ∇ • V =  iˆ + ˆj + kˆ  • y 2 iˆ + (2 xy + z 2 ) ˆj + (2 yz )kˆ = 0 + 2 x + 2 y = 2( x + y ) ∂y ∂z   ∂x 1 1 1 v ∫ (∇ • V )dτ = ∫ 2( x + y)dτ = 2∫ ∫ ∫ ( x + y)dxdydz vol

0

0

0

1

1 1 21 1 x y dx x y x ( + ) = + ( ) = +y ∫0 2 0 2 0 1

1 1 1 y dy ( + ) = + =1 ∫0 2 2 2 1

∫ 1dz = 1 0

v ∴ ∫ (∇ • V )dτ = 2 LL (*) vol

è Sekarang tinjau integral permukaan(sisi kanan teorema), lihat gambar berikut: Fisika FMIPA UNSRI

10

Fisika FMIPA UNSRI

11

v v v ˆ da = dy dz i ; x = 1;V • da = ( y 2 iˆ + (2 xy + z 2 ) ˆj + (2 yz )kˆ) • dy dz iˆ = y 2 dy dz v v 1 ∫ V • da = ∫ 0

1

1

1

1 1 1 31 2 = ) = = y dy dz ( y dz dz ∫0 ∫0 3 0 ∫0 3 3

v v v da = dy dz (−iˆ); x = 0;V • da = ( y 2 iˆ + (2 xy + z 2 ) ˆj + (2 yz )kˆ) • dy dz (− iˆ) = − y 2 dy dz v v 1 ∫ V • da = ∫ 0

1

1

1

1 31 1 1 2 ∫0 − y dy dz = ∫0 (− 3 y 0 )dz = ∫0 − 3 dz = − 3

v v v da = dx dz ˆj; y = 1;V • da = ( y 2 iˆ + (2 xy + z 2 ) ˆj + (2 yz )kˆ) • dx dz ˆj = (2 x + z 2 )dx dz v v 1 ∫ V • da = ∫ 0

1

4 ∫0 (2 x + z )dx dz = 3

Fisika FMIPA UNSRI

2

12

v v v ˆ da = dx dz (− j ); y = 0;V • da = ( y 2 iˆ + (2 xy + z 2 ) ˆj + (2 yz )kˆ) • dx dz (− ˆj ) = − z 2 dx dz v v 1 ∫ V • da = ∫ 0

1

2 ( − z ∫ )dx dz = − 0

1 v v v ˆ da = dx dy k ; z = 1; ∫ V • da = ∫ 0

1 v v v da = dx dy (− kˆ); z = 0; ∫ V • da = ∫ 0

1 3

1

∫ (2 y)dx dy = 1 0

1

∫ (−2 y)dx dy = 0 0

v v 1 1 4 1 Jadi total fluks : ∫ V • da = − + − + 1 + 0 = 2 3 3 3 3 s Jadi terlihat bahwa (*) = (**)

è

…… (**)

kebenaran teorema divergensi

Fisika FMIPA UNSRI

13

Latihan 1.

(P.1.31)

Test the divergence theorem for the function : v V = xyiˆ + 2 yzˆj + 3 xzkˆ, Take as your volume the cube shown in fig 1, with sides of lenght 2.

Fisika FMIPA UNSRI

14

3. TEOREMA DASAR CURL (= teorema Stokes)

∫

surface

v v v v (∇ × V ) • da = ∫ V • dl bl

Fisika FMIPA UNSRI

15

Contoh 3.1: Jika diketahui : v v = (2 xz + 3 y 2 ) ˆj + (4 yz 2 )kˆ tunjukkan kebenaran teorema Stokes, untuk permukaan seperti gambar disamping

Fisika FMIPA UNSRI

16

Solusi: v v 2 ˆ ˆ ∇×v = (4 z − 2 x)i + (2 z )k ; da = dy dziˆ v v 2 (∇ × v ) ⋅ da = ((4 z − 2 x)iˆ + (2 z )kˆ) ⋅ dy dziˆ = (4 z 2 − 2 x)dy dz

Jadi:

∫

surface

1 1 v v (∇ ×V )• da = ∫ ∫ (4 z 2 − 2 x)dydz 0 0

1 1

4 = ∫ ∫ (4 z )dydz = 3 0 0 2

Fisika FMIPA UNSRI

……. (#)

17

Sekarang hitung untuk suku yg disebelah tanda sama dengan:

v v ∫ V • dl = ...

bl

v v 4 4 ∫bl V • dl = 1 + 3 − 1 + 0 = 3

……….. (##)

Fisika FMIPA UNSRI

18

PR: 1. P.1.33

Fisika FMIPA UNSRI

19

CURVILINEAR COORDINAT 1. SPHERICAL POLAR COORDINAT [koordinat bola] 2. CYLINDRICAL COORDINAT [koordinat silinder]

Fisika FMIPA UNSRI

20

KOORDINAT BOLA (r, θ, φ) Kita tinjau gambar berikut: Dengan: r : jarak dr ttk asal θ : sudut polar(0-p) φ : sudut azimut(0-2p) O

θ

P’

Fisika FMIPA UNSRI

O P' sin θ = r y sin φ = O P' x cos φ = O P'

21

Hubungan (r, θ, φ) dgn (x,y,z) x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ z = r cos θ

v Jika kita mempunyai vektor A, dpt ditulis : v A = A rˆ + A θˆ + A φˆ r

θ

φ

Dgn: Ar, Aθ, dan Aφ; masing2 komponen arah radial, polar dan azimut Fisika FMIPA UNSRI

22

Hubungan antar vektor satuan: rˆ = sin θ cos φ ˆi + sin θ sin φ ˆj + cosθ kˆ θˆ = cos θ cos φ ˆi + cos θ sin φ ˆj − sinθ kˆ φˆ = − sin φ ˆi + cos φ ˆj Vektor perpindahan:

v dl = dr rˆ + r dθ θˆ + r sinθ dφ φˆ Fisika FMIPA UNSRI

23

Elemen volume:

dτ = dlr dlθ dlφ = r sin θ dr dθ dφ 2

Fisika FMIPA UNSRI

24

Grad, div, curl, dan Laplasian:

Fisika FMIPA UNSRI

25

KOORDINAT SILINDER (r, φ, z) Perhatikan gambar berikut:

Dengan: x = r cos φ y = r sin φ z=z

r

Fisika FMIPA UNSRI

26

Vektor satuan, vektor perpindahan & elemen volume:

Vektor perpindahan : dlr = dr ; dlφ = rdφ ; dan dl z = dz jadi :

Elemen volume:

dt=r dr dφ dz

v dl = dr rˆ + r dφ φˆ + dz zˆ Fisika FMIPA UNSRI

27

Grad, div, curl, dan Laplasian:

Fisika FMIPA UNSRI

28

PR: 1. P.1.38 2. P.1.41

Fisika FMIPA UNSRI

29