Examen Final De Semestre.pdf

Universidad Técnica del Norte. © SEMESTRE: MARZO 2017-AGOSTO 2017.

Docente: Msc. Yasmany Fernández Fernández. Cel: 0978876009 e-mail: [email protected] Asignatura: Cálculo Diferencial EXAMEN FINAL DE SEMESTRE 19 de Julio de 2017. Estudiante:_____________________________ Cédula: ____________ Calificación: ___________ Firma: ___________

1. Durante el curso de Cálculo Diferencial fueron estudiados los conceptos básicos referente al cálculo de límites y su interpretación: 1.1.

Pruebe aplicando la definición formal de límites que:

lim𝑥→1 (4𝑥 3 + 3𝑥 2 − 24𝑥 + 22) = 5. 1.2.

Sea la función analítica dada de forma explícita:

𝑓(𝑥) =

1.3.

𝑥+3 𝑥2 + 1



Esboce la gráfica en un ECR.



Demuestre que la función f es continua en x=2.

Utilice infinitésimos equivalentes para calcular:

lim𝑥→0 (𝑐𝑜𝑡𝑥) ∙ log(1 + 𝑥). 1.4.

Una función está dada por las fórmulas:

𝑥2 − 4 𝑓(𝑥) = { 𝑥 − 2 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 ≠ 2 𝐴 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 = 2 1.4.1.

¿Cómo debe elegirse el valor de la función A=f(2), para que la función f(x), completada de esta forma, sea continua cuando x=2?

1.4.2.

2.

Construir la gráfica de la función y=f(x).

Sean dos resistencias R1 y R2 conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R cumple que: 1 𝑅

1

1

= 𝑅1 + 𝑅2. Si R1 y R2 aumentan a razón de 0.01 y 0.02 Ω/𝑠 respectivamente, calcula la razón de

cambio de R cuando 𝑅1 = 30Ω y R2 = 90Ω.

3.

4.

𝑦 = 𝑓(𝑥 ) = 𝑒 −𝑥

Sea la función dada explícitamente:

2

3.1.

Diga su Dominio.

3.2.

Analice sus Interceptos.

3.3.

Justifique la existencia o no de asíntotas (V, H, O).

3.4.

Diga si la función presenta extremos. Justifique matemáticamente.

3.5.

Realice el estudio de la monotonía de la función.

3.6.

Halle los puntos de inflexión en caso de que existan.

3.7.

Realice un análisis de la concavidad de la función.

3.8.

Esboce el gráfico de la función f en un ECR.

El ministerio de transporte con el fin de determinar la variación de la velocidad del flujo de vehículos provenientes del norte que regresan a Ibarra los días domingos entre las 17:00 hrs y las 22:00 hrs, ha efectuado mediciones que indican que la velocidad del tránsito a la entrada de la ciudad en ese lapso; está dada aproximadamente por la expresión:

𝑉 (𝑡) =

4.1.

¿En

80 𝑡 3 9

5

1180

2

27

( − 𝑡 2 + 4𝑡) + 3

𝐾𝑚/ℎ, t=0 a las 17 hrs.

qué momento entre las 17:00 hrs y las 22:00 hrs el tránsito es más rápido y en qué

momento es más lento? 4.2. 5.

Grafica V(t) para 0 ≤ 𝑡 ≤ 5.

Un tanque de 2m de altura apoyado en el piso se mantiene lleno de agua mientras que por un orificio practicado en una de sus paredes escapa un chorro que golpea el piso en el punto A a una distancia x de la pared. Admite que el chorro tiene forma parabólica y que en el sistema (XY) indicado su ecuación es:

𝑌=

Donde

𝑔 2∙𝑣𝑜2

𝒗𝒐 es

∙ 𝑥2

la velocidad del chorro a la salida del orificio y

𝒈 ≈ 𝟗. 𝟖 𝒎/𝒔𝟐

la aceleración de la

gravedad. Sabiendo que

𝒗𝒐 = √𝟐 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉

te pedimos que determines la función objetivo, en términos de la

profundidad h a que debe encontrarse el orificio; para que el chorro golpee el piso a máxima distancia del tanque.