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Péndulo Simple

PENDULO DE TORSION Montes Vega Luis Alexis Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Extensión Latacunga [email protected]

1) Resumen Un péndulo simple se define como una partícula de masa 𝑚 suspendida del punto 𝑂 por un hilo inextensible de longitud 𝑙 y de masa despreciable. Un péndulo simple es un ejemplo de oscilador no lineal. Se puede aproximar a un oscilador lineal cuando su amplitud es pequeña. El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Palabras claves: Péndulo simple, Diagramas, Fuerzas, Aceleración, Tensión, Dependencia angular, 2) Introducción El ensayo que a continuación se presente profundizará acerca del tema “el péndulo simple ”, es un sistema en el cual la partícula está suspendida de un puntos por un hilo de longitud 𝑙 y masa despreciable 𝑚. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal. Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa 𝑚 son dos el peso 𝑚𝑔 La tensión 𝑇 del hilo Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, 𝑚𝑔 · 𝑠𝑒𝑛𝜃 en la dirección tangencial y 𝑚𝑔 · 𝑐𝑜𝑠𝜃 en la dirección radial. 3) Desarrollo

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Péndulo Simple

Péndulo Simple El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría. El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse.[1] Es un sistema físico ideal constituido por un hilo flexible, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual en su extremo inferior que oscila libremente en el vacío. Si el movimiento de la masa se mantiene en un plano, se dice que es un péndulo plano; en caso contrario se conoce como péndulo esférico. [13]

Grafico1.Pendulo simple. Esquema de Fuerzas [2] Péndulo simple es una masa puntual que depende de un hilo inextensible de masa despreciable. Si el péndulo se suelta después de haberlo separado de la posición de equilibrio comienza a oscilar alrededor de dicha posición. [3]

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Cuando se separa de la posición de equilibrio la tensión contrarresta solo a la componente normal del peso, siendo la componente tangencial del peso la fuerza resultante. Esta fuerza es la responsable de que aparezca una aceleración ( 𝐹 = 𝑚 𝑎 ) que trata de devolver al péndulo a su posición de equilibrio. [6] ⃗⃗⃗ ⃗ = 0; 𝑃𝑛 + 𝑇

−𝑚 ∗ 𝑔 ∗ sin(𝛼)

[6]

Método de Newton Si desplazamos la partícula desde la posición de equilibrio hasta que el hilo forme un ángulo 𝜃 con la vertical, y luego la abandonamos partiendo del reposo, el péndulo oscilará en un plano vertical bajo la acción de la gravedad. Las oscilaciones tendrán lugar entre las posiciones extremas 𝜃 y - 𝜃, simétricas respecto a la vertical, a lo largo de un arco de circunferencia cuyo radio es la longitud 𝑙 del hilo. El movimiento es periódico, pero no podemos asegurar que sea armónico.[4] La partícula se mueve sobre un arco de circunferencia bajo la acción de dos fuerzas: su propio peso (𝑚𝑔) y la tensión del hilo (𝑁), siendo la fuerza motriz la componente tangencial del peso. Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos: 𝐹𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 = 𝑚𝑎𝑡

[4]

Pequeñas Oscilaciones Si consideramos tan sólo oscilaciones de pequeña amplitud, de modo que el ángulo 𝜃 sea siempre suficientemente pequeño, entonces el valor del 𝑠𝑒𝑛𝜃 será muy próximo al valor de 𝜃 expresado en radianes (𝑠𝑒𝑛𝜃 ≈ 𝜃, para 𝜃 suficientemente pequeño). La ecuación diferencial del movimiento será: 𝑙𝜃̈ + 𝑔𝜃 = 0

[5]

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que es idéntica a la ecuación diferencial. correspondiente al m.a.s, refiriéndose ahora al movimiento angular en lugar de al movimiento rectilíneo, cuya solución es: 𝜃 = 𝜗 sin(𝜔𝑡 + ∅)

[5]

Siendo 𝜔 la frecuencia angular de las oscilaciones, a partir de la cual determinamos el periodo de las mismas:

𝑔 𝑙

𝜔=√

𝑙 𝑇 = 2𝜋√ 𝑔

[5]

Oscilaciones y vibraciones Vibración consiste básicamente en un movimiento lineal de ido y vuelta que realizan algunos cuerpos cuando se les saca de su posición de equilibrio. Esto sucede, por ejemplo, cuando una rama de un árbol azotada por el viento vibra en torno a la posición central del mismo. [7]

Grafico2. Batido de vibraciones. [8]

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Oscilaciones son una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Una partícula oscila cuando se mueve periódicamente respecto de su posición de equilibrio. Si el fenómeno se repite cadenciosamente cada un mismo intervalo de tiempo, se habla de oscilación periódica. El movimiento armónico simple, también denominado movimiento vibratorio armónico simple, es un movimiento periódico que quedo descrito en función del tiempo por una función armónica. [9] Características del péndulo simple 

El periodo de un péndulo es independiente de su amplitud. Esto significa que si tienen 2 péndulos iguales de longitud y masa, pero uno de ellos tiene una amplitud de recorrido mayor que el otro, en ambas condiciones la medida del periodo de estos péndulos es el mismo.[10]



El periodo de un péndulo es directamente proporcional a la raíz cuadrada de su longitud. Esto significa que el periodo de un péndulo puede aumentar o disminuir de acuerdo a la raíz cuadrada de la longitud de ese péndulo. [11]

Aplicaciones En virtud del sincronismo de las oscilaciones, el péndulo tiene como aplicación inmediata la medida del tiempo por medio de la construcción de relojes de péndulo. Otras de las aplicaciones útiles del péndulo se relación con la facilidad que ofrece para la determinación de la gravedad en cualquier lugar, tomando como base experimental la determinación previa del tiempo que gasta (periodo) para hacer una oscilación y la longitud exacta del péndulo que oscila. [14]

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Grafico3. Péndulo de Foucault [15] Leyes de Péndulo Ley de masas Los tiempos de oscilación de varios péndulos de igual longitud son independientes de sus masas y de su naturaleza, o también El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de su masa y de su naturaleza. [16]

Grafico4. Leyes de masas [16]

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Ley de Isocronismo El periodo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (para pequeñas amplitudes menores o iguales a 10º). Para pequeños ángulos de amplitud, los tiempos de oscilación de dos péndulos de igual longitud son independientes de las amplitudes, o también: El tiempo de oscilación de un péndulo es independiente de la amplitud (o sea, las oscilaciones de pequeña amplitud son isócronas). [17] Ley de las longitudes Los tiempos de oscilación de dos péndulos de distinta longitud (en el mismo lugar de la Tierra), son directamente proporcionales a las raíces cuadradas de sus longitudes así: 𝑇1 𝑇2

=

√𝑙1 √𝑙2

[18]

Ley de las aceleraciones de gravedades La aceleración de gravedad ejerce una acción primordial que influye en el tiempo de oscilación del péndulo. En efecto, diversas experimentaciones con un mismo péndulo, en distintos lugares de la tierra comprobaron que la acción de la aceleración de la gravedad modifica el tiempo de oscilación del péndulo. [19] Formula del tiempo de oscilación del péndulo Para poder obtener el tiempo de oscilación de un péndulo se aplica la expresión:

𝑙 𝑇 = 2𝜋 ∗ √ 𝑔

[20]

Donde 𝑇 es el tiempo de oscilación, 𝑙 la longitud del péndulo y 𝑔 la aceleración de la gravedad.

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4) Conclusiones En el análisis del péndulo simple concluimos que un péndulo solo depende de la longitud de la cuerda y el valor de la gravedad, así como también que debido a que el periodo es independiente de la masa, podemos decir entonces que todos los péndulos de igual longitud en el mismo sitio oscilan con periodos iguales con lo mismo a mayor longitud de cuerda mayor periodo. El movimiento oscilatorio que se produce en el péndulo simple nos permite realizar el estudio de la aceleración, la fuerza de la gravedad y el comportamiento de los cuerpos que actúan como fuerzas recuperadoras, el movimiento oscilatorio es acelerado no uniforme, su aceleración es proporcional al desplazamiento tiene su valor máximo en los extremos de la trayectoria, mientras que su valor mínimo se obtiene en el centro de la misma. 5) Referencias [1] Marion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8. [2] Santos Julio, Gras-Martí Albert, (2004). Recursos para la enseñanza del péndulo simple. Alacant-España. Departamento de Física Aplicada [3] Bautista Leonardo, 2006. El péndulo simple. https://www.fisicanet.com.ar/fisica/elasticidad/ap05_pendulo_simple.php.

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