Pendulo Simple O.docx

PENDULO SIMPLE Objetivos: - Determinar el periodo de oscilación de un péndulo simple en función de la longitud. - Determinar el valor de la aceleración de la gravedad en Cochabamba

Fundamento teórico: El péndulo simple es un cuerpo idealizado consistente en una masa puntual suspendida por una cuerda ligera e inextensible. Cuando se desplaza de su posición de equilibrio y se suelta el péndulo oscila en un plano vertical por la influencia de la fuerza de gravedad, produciendo un movimiento oscilatorio. En la figura se muestran las fuerzas que actúan sobre la masa en cualquier instante del movimiento, estas fuerzas son: - La tensión sobre el hilo (T) - La fuerza de gravedad (Fg = mg) que se descompone en función al ángulo desplazado (θ) en una componente radial (FgN = mg cosθ) y una componente tangencial (FgT = mg senθ)



T

FgN

FgT Fg

Aplicando la ecuación de movimiento F = ma en la dirección tangencial se tiene:  mg sin   ma

Como: a

d 2S dt

Además S = θL es la trayectoria circular, donde L es la longitud del péndulo que se mantiene constante. La primera ecuación se puede expresar como: d 2 g   sin  2 dt L

Considerando ángulos de oscilación pequeños, sinθ ≈ θ, se tiene: d 2 g   0 dt 2 L

La forma de la ecuación correspondiente al caso del moviendo armónico simple, cuya solución es:  t    0 cost   

Donde: - θ0 = es el máximo desplazamiento, en radianes. - φ = es el desfase o ángulo de inicio (negativo) - ω = es la frecuencia angular para el caso del péndulo simple, dad por: 

g L

A partir de la ecuación y considerando que: 

2 T

El periodo de oscilación para el péndulo simple será. T  2

L g

Materiales: - Soporte del equipo - Esfera metálica - Un trozo de cuerda ligera - Regla graduada - Cronometró - Transportador - Calibrador Vernier

Experimento: 1.- Nivela el soporte del equipo al plano horizontal, utiliza los tornillos de apoyo y un nivel. 2.- Sujeta el péndulo simple a un punto fijo que se encuentra en la varilla superior del equipo de manera que la distancia entre el borde superior de la esfera y el eje de oscilación sea de 10 cm. 3.- Mide el diámetro de la esfera con el calibrador.

4.- Desplaza la esfera a partir de su posición de equilibrio ángulos menores a 10º, soltar la esfera, produciendo un movimiento armónico simple. 5.- Determina el periodo de oscilación (T) y la longitud del péndulo (L), (La longitud del péndulo simple es la distancia desde el punto fijo hasta el centro de masa de la esfera). 6.- Incrementa gradualmente la longitud de la cuerda cada 10 cm y determina el periodo en cada caso.

Datos experimentales: El diámetro de la esfera con su respectivo error es: 41.2 ± 0.05[𝑚𝑚]

Tabla de longitud del hilo del pendulo y tiempos de oscilación: No

LH [m]

t1 [s]

t2 [s]

t3 [s]

1

0,500

14,65

14,57

14,57

2

0,600

15,74

15,81

15,93

3

0,700

17,16

17,06

17,17

4

0,800

18,42

18,33

18,26

5

0,900

19,39

19,54

19,53

6

1,000

20,33

20,52

20,52

7

1,100

21.15

21.20

21.20

8

1.200

22.64

22.56

22.58

Parámetros y sus errores a  2,00  0,01 ; 0,5% b  0,47  0,01 ; 2%

Ecuación de ajuste T = ƒ (L) Aceleración de la gravedad

T  2  L0.5

 s ;1%

g  9,81  0,1 m

2

Tabla de datos: promedio del tiempo de oscilación(ts), periodo(T) , y longitud de la cuerda(L)

Nº

t [s]

T [s]

Lt [m]

1

14.596

1.4596

0,5204

2

15.826

1.5826

0,6204

3

17.130

1,7130

0,7204

4

18.336

1,8336

0,8204

5

19.486

1,9486

0,9204

6

20.456

2.0456

1,0204

7

21.183

2.1183

1,1204

8

22.593

2.2593

1.2206

Grafica de Periodo VS Longitud:

Según la curva de ajuste de la anterior figura el modelo de ajuste es: 𝑇 = 𝑎𝐿 𝑇 𝑏 Si el modelo escogido no corresponde a una relación lineal, entonces previamente linealizar la curva no lineal. Seguidamente, con el método de mínimos cuadrados determinar los parámetros de la curva linealizada: A = 0.69 ± 0.001 B = 0.5 ± 0.002 r = 0.99 Posteriormente encontrar los parámetros del modelo escogido con sus respectivos errores 𝑎 = 2.009 ± 0.001 𝑏 = 0.5 ± 0.002 Por tanto, la ecuación de ajuste escogida es: 1

T = 2.009𝐿 𝑇 2 Comparando la ecuación con el modelo de ajuste escogido, encontrar el valor de la aceleración local con su respectivo error: 1

𝐿 𝐿 𝑇 2 2𝜋 1 T = 2π√ = 2𝜋 1 = 𝐿𝑇 2 𝑔 √𝑔 𝑔2 2𝜋 2𝜋 4𝜋 2 2.009 = => √𝑔 = => 𝑔 = => 𝑔 = 9.78 2.009 2.0092 √𝑔 𝑔 = 4𝜋 2 𝑇 −2 𝐿 ∂𝑔 ∆𝑇 = 𝑒 = 4𝜋 2 𝑇 −3 𝐿 ∗ 𝑒𝑇 = 0.0505 ∂𝑇 𝑇 ∂𝑔 ∆𝐿 = = 4𝜋 2 𝑇 −2 ∗ 𝑒𝐿 = 0.0053 ∂𝐿 𝑒𝑔 = √𝑒𝑇 2 + 𝑒𝐿 2 = 0.05 𝑔 = 9.78 ± 0.05 CONCLUSIONES : de las mediciones obtenidas y trabajando con los datos obtenidos y realizando mínimos cuadrados hallamos la ecuación de la longitud en función del tiempo la cual es:

T=2L0.5 Se cronometró el tiempo de oscilación del péndulo de longitud conocida y como ya conocemos la ecuación de la relación longitud en función del tiempo de esta manera se puede calcular la g ene l cual se toma encuentra la precisión de las mediciones y con todos esos cálculos hallamos la gravedad

g = 9.78 [m/s2]