Informe Pendulo Simple- Pendulo Fisico

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS Facultad de Ingeniería- Ingeniería Industrial- Ingeniería de Sistemas Física III: Física de ondas y moderna María Carolina Farfán Ramírez - 20152015812 Daniel José Salazar Lugo – 20152015815 Informe de Laboratorio Práctica #2: Péndulo Simple - Péndulo Físico

RESUMEN: A Partir de la medida del tiempo que tarda un péndulo simple (en el caso del 1 experimento) y un péndulo físico (en el caso del 2 experimento) en 5 oscilaciones se pretende calcular la gravedad y el radio de giro de manera experimental, sumado a esto en el péndulo físico se pretende encontrar el radio especial donde el periodo es mínimo. MARCO TEÓRICO

−𝑔𝜃 = 𝑟

Un péndulo simple o matemático es una situación ideal, donde un cuerpo en equilibrio; suspendido de una cuerda de longitud r, empieza a oscilar con cierto ángulo θ.

𝑑2 𝜃

Si 𝑊𝑜 =

𝑔 , 𝑟

𝑔 𝜃 𝑑𝑡 2 𝑟

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

=0

(3) (4)

entonces la solución a la

ecuación diferencial es: 𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑊𝑜𝑡 + 𝑝)

(4)

Siendo, 𝐴 la amplitud, 𝑊𝑜 la frecuencia natural de oscilación, 𝑡 el tiempo y 𝑝 es la fase. En el péndulo simple el periodo T resulta de la ecuación: 𝑇= Figura 1. Ilustración Péndulo Simple [1] 2

A partir de la ilustración podemos deducir que:

2𝜋 𝑊𝑜

(5) 𝑔

Donde la frecuencia angular natural es 𝑟 , reemplazando tenemos que: √𝑟

−𝑊𝑥 = 𝑚𝑎𝑡 −𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝑚

(1) 𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

𝑇 = 2𝜋( 𝑔) √

(6)

(2) - Péndulo Físico o Compuesto:

Dónde 𝜃 tiende a ∞:

Un péndulo físico o compuesto está formado por un cuerpo rígido cualquiera

suspendido de un eje, que sirve de soporte y que se encuentra en libertad de oscilar alrededor de su posición de equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la reacción del eje de soporte. [2]

𝜃 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝑊𝑜 𝑡 + 𝑝)

(13)

Donde, Siendo, 𝐴 es la amplitud, 𝑊𝑜 la frecuencia natural de oscilación, 𝑡 el tiempo y 𝑝 es la fase. Para el péndulo físico la ecuación de periodo 𝑇 resulta de: 𝐼𝑇 =

4𝜋𝑘 𝑔

+

4𝜋𝑙 𝑔

(14)

MONTAJE Y PROCEDIMIENTO: En este laboratorio se realizaron dos montajes y procedimientos diferentes, a continuación se detalla sobre cada uno: PARTE A Partiendo de la ecuación de torque neto: 𝑇 = 𝑟𝑥𝐹

(7)

Considerando 𝑟 y 𝐹 como vectores, uno de distancia y el otro de fuerza (ilustrados en la figura), tenemos que: 𝑇 = 𝑟 𝐹𝑠𝑒𝑛𝜃 (8) De igual manera, a partir del torque neto: −𝑟𝑚𝑔𝑠𝑒𝑛𝜃 = 𝐼𝑜

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

(9)

Para el montaje se utilizó un soporte universal; una cuerda de un metro de longitud, un cronómetro, una regla y un juego de masas con su respectivo soporte de 50 g. El procedimiento consistió en colocar una masa sometida a una cuerda y hacerla oscilar 10 veces, completadas estas 10 oscilaciones se tomaba el tiempo, este procedimiento se hizo para dos masas diferentes y seis longitudes diferentes.

Dónde 𝜃 tiende a ∞: −𝑟𝑚𝑔𝜃 = 𝐼𝑜 𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

Si 𝑊𝑜 =

+

𝑟𝑚𝑔 , 𝐼𝑜

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

𝑟𝑚𝑔 𝐼𝑜

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

=0

(10) (11)

entonces:

+ 𝑊𝑜𝜃 = 0

Figura

(12)

En donde la solución a la ecuación diferencial estaría dada por:

3.Péndulo simple

PARTE B Para el montaje se utilizó un soporte universal, una regla de torques, un cronómetro y una regla. Para el procedimiento se colocó la regla de torque en el primer agujero, se midió la longitud del agujero hasta el centro de gravedad de la regla y se procedía a hacer oscilar la regla diez veces, terminadas las oscilaciones se tomaba el tiempo, este proceso se hizo para los diferentes agujeros hasta el centro de masa de la regla puesto que la regla era simétrica.

RESULTADOS Y ANÁLISIS PARTE A

divide por el número de oscilaciones para tener el valor del periodo. Con esto hacemos una regresión potencial con el objetivo de plantear un modelo que describa al sistema, el cual queda expresado de la siguiente manera T = 1,972 l 0.524 , donde T representa el periodo y l la longitud de la cuerda, podemos analizar que el exponente 0.524 es muy cercano a 0.5 lo cual indica que el modelo potencial tiene alto grado de exactitud, por otro lado nos apoyamos en la ecuación T= 2π√(L/g) para deducir el valor experimental de la gravedad, sabemos que 1.9792 = 2π√L/g , se despeja la constante gravitacional (g) y hallamos el valor de , con un porcentaje de error del 2,6% lo cual quiere decir que los datos se tomaron con un buen grado de exactitud.

A continuación se exponen los datos obtenidos en la práctica de laboratorio de la parte a:

Figura 5. Grafica periodo vs longitud para masa 2 de 100 g Figura 4 Grafica periodo vs longitud para masa 1 de 50 g Para la masa 1 se obtiene la gráfica de la figura 4, en la cual se graficó el periodo vs la longitud de la cuerda, como sabemos que el periodo se define como el tiempo en que tarda el péndulo en hacer una oscilación y volver a su punto de inicio se toma el tiempo tomado en la práctica (para 10 oscilaciones) y se

Para la masa 2 que es de 100 g se obtiene la gráfica de la figura 5, donde al igual que para el análisis de la masa 1 se graficó periodo vs la longitud de la cuerda, de igual manera se hace una regresión potencial para poder plantear un modelo que describa el sistema, quedando de la siguiente manera: T = 2.012 l 0.5295, donde T representa el periodo y l la longitud de la cuerda,

podemos analizar que el exponente 0.5295 es muy cercano a 0.5 lo cual indica que el modelo potencial tiene alto grado de exactitud, por otro lado se halla el valor de la constante gravitacional apoyándonos en la T= 2π√(L/g) donde: 2.012 = 2π√g , se despeja g y hallamos que es igual a 9.75 m con un s2 porcentaje de error del 0.3% lo cual nos lleva a decir que el grado de exactitud es alto. Con estos resultados podemos analizar que para las dos masas que eran de diferente valor (50 g y 100g) y las mismas longitudes de cuerda los periodos presentan datos bastante similares lo que lleva a pensar que en el sistema de péndulo simple la masa no es una variable, y donde el periodo T va a depender únicamente del valor de la longitud de la cuerda.

se promediaron obteniendo los resultados- En la gráfica (figura 6) altura vs. Periodo se puede observar como la gráfica tiene en un primer momento un comportamiento polinomial cuya ecuación está definida por: y=ax2+bx+c De dónde se obtiene : T = 18, 694 r 2 − 6, 4473 r + 1, 578 De aquí es posible hallar el vértice para ello se utiliza la fórmula r = 2a , donde r −b= 0,1724 m o lo que es lo mismo 17,24 cm y al reemplazar dicha ecuación se obtiene finalmente que el vértice se encuentra en las coordenadas (0,1724 , 1,03) es decir que el r min = 0,1724 , y el T= 1,03.

PARTE B A continuación se exponen los datos obtenidos en la práctica de laboratorio:

Figura 7. Gráfica r 2 vs T2 r .Forma lineal de periodo vs altura en péndulo físico.

Figura 6. Grafica periodo vs longitud para péndulo físico Para analizar los resultados con mayor objetividad se realizaron aproximadamente tres pruebas de tiempo para cada intervalo de 10 oscilaciones con cada altura, estos datos

En un segundo momento al observar la gráfica (Fig. 7) r 2 vs T2r , es posible apreciar un comportamiento lineal de donde se obtiene una ecuación de la forma: y = b + mx

Sin embargo al aplicar la teoría acerca del péndulo físico se puede decir que:

que los tiempos se pudieron tomar mal o fueron insuficientes las repeticiones para obtener unos datos más exactos.

CONCLUSIONES GENERALES

donde: T=periodo; r=altura; K=radio de giro; g= gravedad. En el caso de la gráfica obtenida con los respectivos datos se obtuvo una ecuación de la forma: T 2r = 3, 8306 r 2 + 0, 0768 Para obtener un valor aproximado de la gravedad y conociendo el valor de r min (0,1724) igualamos el valor correspondiente a mx en la ecuación y obtenemos un valor de: 10,3 y teniendo en cuenta la gravedad teórica de la gravedad como 9,81 obtenemos un porcentaje de error de 4,9%.El valor del radio de giro K, es 0,1415 m Este valor (K) como valor teórico es 0,125m. Así mismo el valor del momento de inercia lo obtenemos reemplazando en la ecuación y es: 0,0497

De la parte a se concluye que el periodo T depende únicamente de la longitud de la cuerda y que la masa no representa una variable por lo que puede ser tomada como una constante para los respectivos cálculos, de esta parte a también se concluye que la constante gravitacional experimental es de 9.75 m con un grado de s2 error de 0.6 %, de la parte b de la práctica se obtuvo un valor de 10.3 m con un s2 porcentaje de error de 4% A partir de la teoría el valor para K debía ser 0,125 en la segunda parte del experimento al hallar este valor se obtuvo que era de: 0,1425 obteniendo un porcentaje de error de % 1,4 Es importante tener en cuenta que a la hora de hacer el experimento en péndulo con el fin de realizar un análisis (MAS) se hace necesario que las oscilaciones sean de un tamaño mínimo ya que oscilaciones con ángulo muy grande puede presentar datos erróneos.

I = K 2 + r 2 (18) BIBLIOGRAFÍA Los errores se pudieron dar por ciertas variables, se pudo presentar errores instrumental ya que la regla con el pistón no quedaban unidas firmemente (quedaba espacio en la mitad lo que hacía que en ocasiones la regla hiciera pequeños saltos). También se pudieron presentar errores por parte de los observadores y el método de medida ya

[1]Carlos R. Miguel, 1980, Física segundo año escuelas de educación técnica, Buenos Aires, ed. TROQUEL.

[2] Tipler & Mosca (2005). Física para la ciencia y la tecnología. Barcelona, España: Reverté. [3] Módulo MOVIMI ENTO PENDULAR C.N. Física Lic. Orlando Chaparro Ch