Endah Integral

Integral 5.1 Antiturunan (Integral tak tentu) Definisi Kita menyebut f suatu aniturunan f pada selang I jika Dx f(x) = f(x) pada Iyakni, jika f’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung I, f’(x) hanya perlu turunan sepihak). Teorema A Aturan Pangkat Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka xr + 1 ∫xr dx = +C r+ 1 Contoh soal: Cari anti turunan yang umum dari f(x) = x7/2 Penyelesaian : ∫x7/2 dx = x9/2 + c = 2/9 x9/2 + c Teorema B ∫sin x dx = -cos x + C ∫cos x dx = sin x + C Contoh soal: Cari anti turunan yang umum dari f(x) = cos2 2x Penyelesaian : ∫cos2 2x dx = 1/3 . 2 cos3 2x + c = 2/3 cos3 2x + c Teorema C Integral tak tentu adalah operator linear Andaikan f dan g mempunyai antiturunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka, i. ∫kf(x) dx = k ∫f(x) dx ii. ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx; dan akibatnya iii. ∫[f(x) − g(x)] dx = ∫f(x) dx − ∫g(x) dx Contoh soal: Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (5x2 + 7x) Penyelesaian : ∫ (5x2 + 7x) dx = ∫ 5x2 dx + ∫ 7x dx = 5 ∫x2 dx + ∫x dx = 5(x3/3 + c1) + 7 (x2/2 + c2) = 5/3 x3 + c1 + 7/2 x2 + c2 = 5/3 x3 + 7/2 x2 + c Teorema D Aturan pangkat yang digeneralisir (generalized power rule) Andaikan g suatu fungsi terdiferensiasikan dan r suatu bilangan rasional yang bukan −1. Maka,

∫[g(x)]rg’(x) dx =

[ g ( x)]r + 1 +C r+ 1

Contoh soal: Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (x5 + 2x)24 (x5 + 2x) Penyelesaian : ∫ (x5 + 2x)24 (x5 + 2x) Andaikan f(x) = x5 + 2x , maka f’(x) = 5x4 +2 Jadi, menurut teorema D ∫ (x5 + 2x)24 (x5 + 2x) dx = ∫ [f(x)}24f’(x) dx = [f(x)]25 + c 25 = [x25+2x] + c 25 5.2. Pendahuluan persamaan diferensial Contoh soal: Dekat permukaan bumi, percepatan benda jatuh karena gravitasi adalah 24 kaki per detik, kita menganggap bahwa tahanan udara dapat diabaikan. Jika suatu benda dilempar ke atas dari suatu ketinggian 1000 kaki dengan percepatan 25 kaki per detik, cari kecepatan dan tingginya 5 detik kemudian. Penyelesaian : Anggap bahwa tinggi s diukur secara psitif ke arah atas. Maka mula-mula v = ds/dt adalah positif (s membesar ) tetapi a = dv/dt adalah negatif (tarikan cenderung memperkecil v). sehingga titik awal kita adalah persamaan diferensial dv/dt = -24, dengan syarat tambahan bahwa v = 25 dan s = 1000 pada saat t = 0. dv/dt = -24 v = ∫ -24 dt = -24t + C Karena v=25 pada t= 0, c = 0 sehingga v = -24t + 25 sekarang v = ds/dt,sehuigga kita mempunyai persamaan diferensial terbuka ds/dt = -24t + C Bilamana kita integralkan, diperoleh s = ∫ (-24t + C) dt = -12t2 + 25 + K karena s = 1000 pada t = 0, K = 1000 dan s = -12t2 + 25t +1000 akhirnya pada t = 5 v = -24(5) + 25 = -145 kaki per detik s = -12(5)2 + 25(5) +1000 = 1175 kaki jika v = v0 dan s = s0 pada t = 0, a = -24

v = -24t + v0 s = -12t2 + v0t + s0