Ejercicios Segunda Unidad Andy.docx

Fuerzas hidrostáticas sobre superficies curvas I.

Ejercicio 1 Un cilindro sólido largo de radio 1m, articulado en el punto A se emplea como una compuerta automática, como se muestra en la figura. Cuando el nivel del agua llega a 6 m, la compuerta se abre girando en torno a la articulación en el punto A. Determine a) la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro y su línea de acción cuando la compuerta se abre.

1. Planteamiento del problema En este problema lo que necesitamos encontrar es la magnitud de la fuerza hidrostática y, para ello debemos realizar un análisis de las fuerzas que actúan en el líquido encerrado entre el peso del cilindro y las superficies planas, para ello plantearemos un diagrama de cuerpo libre de modo que podamos ver mejor el caso.

Las fuerzas hidrostáticas que actúan sobre las superficies planas vertical y horizontal, así como el peso del bloque de líquido se calcularán a continuación 2. Resolución de cálculos

Cálculo de Fuerza horizontal sobre la superficie vertical FH: 𝑅 𝐹𝐻 = 𝐹𝑥 = 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚 (𝐴) = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 = 𝜌𝑔 (𝑠 + ) 𝐴 2 Donde s es la altura desde el nivel del agua hasta el centroide de todo el circulo, pero como la única parte en contacto con el líquido está en la parte baja entonces 𝑅 hc= 𝑠 + 2 𝑘𝑔 𝑚 1 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (5𝑚 + 𝑚) (1𝑚 ∗ 1𝑚) ( 𝑚) 3 𝑚 𝑠 2 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠 𝐹𝐻 = 53.95 𝑘𝑁 Cálculo de fuerza vertical sobre la superficie horizontal: 𝐹𝑦 = 𝐹𝑝𝑟𝑜𝑚(𝐴) = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 = 𝜌𝑔ℎ𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝐴 𝐹𝐻 = (1000

𝐹𝑦 = (1000

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (6𝑚)(1𝑚 ∗ 1𝑚) ( 𝑚 ) = 58.86 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Cálculo del peso del bloque de fluido bajo el cilindro por m de longitud 𝑊 = 𝑚 ∗ 𝑔 = 𝜌𝑔𝑉 𝜋𝑅 2 𝑃𝑒𝑟𝑜 𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 𝑒𝑠: (𝑅 − )(1𝑚) 4 2

𝑘𝑔 𝑚 𝜋12 1 𝑘𝑁 2 ) (9.81 ) − (1 ) (1𝑚) ( 𝑚 ) = 2.10𝑘𝑁 3 2 𝑚 𝑠 4 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠 Por tanto, sí hacemos sumatoria de fuerzas obtenemos la fuerza neta hacia arriba 𝑊 = (1000

𝐹𝑣 = 𝐹𝑦 − 𝑊 = 58.86 𝑘𝑁 − 2.10𝑘𝑁 = 56.76𝑘𝑁 Entonces la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre la superficie cilíndrica sería la resultante de 𝐹𝑣 y 𝐹𝐻 . 𝐹𝑅 = √𝐹 2𝐻 + 𝐹𝑦2 = √53.952 + 58.862 = 79.84 𝑘𝑁 𝑡𝑎𝑛∅ =

58.86 = 47.76° 53.95

3. Conclusiones Entonces podemos decir que la magnitud de la fuerza hidrostática que actúa sobre el cilindro es de 79.84 𝑘𝑁 y su punto de acción está a 47.76° con respecto a la horizontal pasando por su centroide.

II.

Ejercicio 2 El lado del muro de una presa de 100m de largo que está en contacto con agua tiene forma de un cuarto de circulo con un radio de 10m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre la presa en su línea de acción cuando dicha presa está llena hasta el borde.

1. Planteamiento del problema El cálculo de la fuerza hidrostática en este caso será la resultante de las fuerzas horizontales y verticales ejercidas por el cuerpo de agua contra el muro, y su línea de acción estará dada por el Ycph y Ycpv de las fuerzas, usaremos el ángulo respecto a la horizontal que crea con el punto de aplicación Ycph.

2. Resolución de cálculos Calculando la fuerza horizontal: 𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (5𝑚)(100𝑚2 ) ( 𝑚 ) = 4905𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠 Y su punto de aplicación será: 1 (100𝑚)(5𝑚)3 12 𝑦𝑐𝑝1 = (5𝑚) + ( = 5.20𝑚 (5𝑚)(1000𝑚2 ) Cálculo de fuerza vertical: 𝐹𝑣 = 𝜌𝑔𝑉𝑐𝑝 𝐹𝐻 = (1000

𝑉𝑐𝑝 = (𝜋/4)(𝑅 2 )(𝐿) 𝑘𝑔 𝑚 𝜋 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (( ) (52 )(100)) ( 𝑚 ) = 19 261.88 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 4 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠 Y su punto de aplicación será: 𝐹𝑣 = (1000

3(5) 𝑦𝑐𝑝2 = 𝜋 = 1.19𝑚 (4 ) Ahora calculamos la fuerza resultante 𝐹𝑅 = √𝐹 2𝐻 + 𝐹𝑦2 = √49052 + (19261.88)2 = 19876.59 𝑘𝑁 Esto significa que el agua empuja hacia arriba el muro que la retiene.

Ahora calculamos el ángulo de acción de la fuerza: 𝑡𝑎𝑛∅ =

19261.88 = 75.68° 4905

3. Conclusiones La fuerza hidrostática que recibe el muro debido al cuerpo de agua es de 19876.59 𝑘𝑁 y el ángulo de dirección de la fuerza respecto a la horizontal es de 75.68°

III.

Ejercicio 3 Una compuerta de 4m de largo con forma de un cuarto de circulo de radio 3m y de peso despreciable está articulada alrededor de su borde A, la compuerta controla el flujo de aceite sobre el reborde en B, donde está comprimida por un resorte. Determine la fuerza mínima necesaria del resorte para mantener cerrada la compuerta cuando el nivel del aceite se eleva hasta A en el borde superior de la compuerta.

1. Planteamiento del problema En este caso la compuerta se mantiene cerrada gracias a que el resorte contrarresta la fuerza generada por el líquido que empuja la compuerta, y para encontrar su magnitud a continuación encontraremos los componentes de dicha fuerza hidrostática. 2. Resolución de cálculos

Cálculo de la fuerza horizontal: 𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴 𝐹𝐻 = (1000

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (1.5)(12𝑚2 ) ( 𝑚 ) = 158.922 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Ahora encontramos el punto de aplicación de la fuerza horizontal: 𝑦𝑐𝑝1

1 (4𝑚)(3𝑚)3 12 = (1.5𝑚) + ( = 2𝑚 (1.5𝑚)(12𝑚2 )

Lo siguiente es encontrar el volumen de cuerpo de presión

Sabiendo que el Vcp es negativo podemos calcular 𝐹𝑣 𝐹𝑣 = 𝜌𝑔𝑉𝑐𝑝 𝑉𝑐𝑝 = (𝜋/4)(𝑅 2 )(𝐿) Como tenemos aceite entonces será: 𝐹𝑣 = (0.9) (1000

𝑘𝑔 𝑚 𝜋 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (( ) (32 )(4)) ( 𝑚 ) = 249.634 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 4 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Y su punto de aplicación estará en el centroide de un cuarto de circulo: 𝑦𝑐𝑝2 =

3(1.5𝑚) = 0.358 𝜋 (4 )

La fuerza hidrostática es la resultante de ambas fuerzas:

𝐹𝑅 = √𝐹 2𝐻 + 𝐹𝑦2 = √158.9222 + (249.634)2 = 295.92𝑘𝑁

Por sumatoria de momentos en el punto A podemos encontrar el valor requerido por el resorte para mantener la compuerta cerrada. ∑ 𝑀𝑝 = 0 ((2𝑚) ∗ (158.922𝑘𝑁)) + 2.642(= −249.634𝑘𝑁) − 𝐹𝑟(3) = 0 𝐹𝑟 = 3. Conclusiones

((2𝑚) ∗ (158.922𝑘𝑁)) + 2.642(249.634𝑘𝑁) = 325.79𝑘𝑁 3

La fuerza que necesita el resorte para mantener la compuerta cerrada y no dejar pasar el aceite es de 325.79𝑘𝑁. IV.

Ejercicio 4 Una artesa de agua de sección transversal semicircular y con un radio de 0.7m consta de do partes simétricas articuladas entre sí en el fondo, las dos partes se mantienen juntas por medio de cables tensores colocados cada 3m a lo largo de la longitud de la artesa. Calcule la tensión en cada cable cuando la artesa está llena hasta el borde.

1. Planteamiento del problema La fuerza hidrostática ejercida por el peso del agua que contiene la artesa hará que la articulación tienda a hacer momento respecto al punto céntrico donde están unidas las partes, y los cables tensores deben contrarrestar ese momento para mantener unido el elemento, lo que procederemos a hacer es calcular la fuerza hidrostática y sus puntos de aplicación para poder hacer una sumatoria de momentos y averiguar la magnitud de fuerza que el cable deberá soportar. Datos R= 0.7 Proyecciones

2. Resolución de cálculos Cálculo de fuerzas horizontales El área proyectada𝐴𝑝𝑟𝑜 = 3𝑚 ∗ 0.7𝑚 = 2.1𝑚2 𝐹𝐻 = 𝜌𝑔ℎ𝑐 𝐴𝑝𝑟𝑜

𝐹𝐻 = (1000

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (0.35)(2.1𝑚2 ) ( 𝑚 ) = 7.21 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Ahora encontramos el punto de aplicación de la fuerza horizontal: 𝑦𝑐𝑝1

1 (3𝑚)(0.7𝑚)3 12 = (0.35𝑚) + ( = 0.46𝑚 (0.35𝑚)(12𝑚2 )

Sabiendo que el Vcp es positivo podemos calcular 𝐹𝑣 𝐹𝑣 = 𝜌𝑔𝑉𝑐𝑝 𝑉𝑐𝑝 = (𝜋/2)(𝑅 2 )(𝐿) Calculamos 𝐹𝑣 : 𝐹𝑣 = (1000

𝑘𝑔 𝑚 𝜋 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (( ) (0.72 )(3)) ( 𝑚 ) = 22.65 𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 2 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Y su punto de aplicación estará a la mitad del diámetro del semicírculo 𝑦𝑐𝑝2 = 0.7𝑚

A continuación, calcularemos la tensión de los cables, usando la sumatoria de momentos generado por las fuerzas horizontales: Llamaremos P al punto de la articulación. Considero FT como la fuerza de tensión en el cable, y tomamos la mitad del elemento porque es simétrico y la otra mitad contrarresta las fuerzas de un lado. ∑ 𝑀𝑝 = 0 (𝐹𝑇 ∗ 0.7𝑚) − (𝐹𝐻 ∗ 0.24) = 0

𝐹𝑇 =

7.21 ∗ 0.24 = 2.47𝑘𝑁 0.7

3. Conclusiones La fuerza de tensión necesaria en el cable para mantener unida la artesa llena de agua es de 𝐹𝑇 = 2.47kN. V.

Ejercicio 5 El lado del muro de que retiene un volumen de agua, tiene 8.5m de largo y tiene forma de un semicírculo con un radio de 3m. Determine la fuerza hidrostática ejercida sobre el muro en su línea de acción cuando el agua llega hasta el borde del muro.

1. Planteamiento del problema Para encontrar la fuerza hidrostática calcularemos la resultante de las fuerzas horizontales y verticales, y la línea de acción de la fuerza la encontramos calculando los puntos de aplicaciones de ambas fuerzas, además podemos encontrar el ángulo respecto a la horizontal creada después de hallar Ycph.

2. Resolución de cálculos Luego de hacer las debidas proyecciones procedemos a calcular 𝐹𝐻 𝑘𝑔 𝑚 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (1.5𝑚)(25.5𝑚2 ) ( 𝑚 ) = 375.23𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠 Y su punto de aplicación será: Usando el centroide del rectángulo proyectado 𝐹𝐻 = (1000

𝑦𝑐𝑝1

1 (8.5𝑚)(3𝑚)3 12 = (1.5𝑚) + ( = 2𝑚 (1.5𝑚)(25.5𝑚2 )

A continuación, calculamos la fuerza vertical y su punto de aplicación 𝑦𝑐𝑝2 Sabemos que Vcp es negativo:

𝐹𝑣 = (1000

𝑘𝑔 𝑚 𝜋 1 𝑘𝑁 ) (9.81 2 ) (( ) ((1.5𝑚)2 )(8.5𝑚)) ( 𝑚 ) = 294.70𝑘𝑁 3 𝑚 𝑠 2 1000 𝑘𝑔 ∗ 2 𝑠

Y su punto de aplicación estará en el centroide del semicírculo: 𝑦𝑐𝑝2 =

4(1.5𝑚) = 0.63𝑚 3𝜋

𝐹𝑅 = √𝐹 2𝐻 + 𝐹𝑦2 = √375.232 + (294.70)2 = 477.12𝑘𝑁 Ahora calculamos el ángulo de acción de la fuerza: 𝑡𝑎𝑛∅ =

294.7𝑘𝑁 = 38.14° 375.23𝑘𝑁

3. Conclusiones La fuerza hidrostática generada por el agua sobre el muro semicircular es de 477.12 kN y tiene una línea de acción respecto a la horizontal a 2 m de profundidad de 38.14°.