Ejercicios Segunda Unidad
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UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS CURSO DE CALCULO I PROFESOR: Ing. FRANKLIN JOSÉ VALVERDE DELGADO. E.S.I, M.Sc. EJERCIOS SEGUNDA UNIDAD
Calcúlense los siguientes límites. 1. lim x 1
x1 x2
2. lim x 1
x1 x2
x2 1 3. lim 2 x 2 x 2
6. lim
sen3x 5x
7. lim
sen3h sen5h
8. lim
x 0
x 0
x 0
sen 2 x x
x2 x 2 4. lim x 2 x2 4 9. lim x 0
sen 2 x x2
x2 4 5. lim 3 x 2 x 8 10. lim x 0
1 cos x x2
Calcúlense los siguientes límites. 11. lim x
2x 3 5x 7
16. xsenx lim x x senx
12. lim x
4 x 3x 2 x 4 5x 2 1 3
17. lim x
2
ex ex ex ex
13. lim x
senx x
18. lim x 2
2x 2 1 2x
x 2 3 x 64
22. lim x 9
x 3 729 x 3
23. lim
25. lim
2x 1 2 x3
26. lim x
5 4x 6 2x
27. lim x 1
x 1
29. Evalúe lim x 0 a 20
30. Si
x senx 2x 5
15. lim x 0
21. lim x4
14. lim x
x 0
19. xlim 2
4x 2 x 1x 1x
x2 x2
20. lim x 1
24. lim x 1
x tg 3x x1 ( x 1)3
x3 2 x2 1
x 28. lim x 0
f ( a h ) f ( a) 1 para las funciones f ( x ) x 5 y f ( x ) en h x5
f (x) 5 2 x 2 f ( x ) 5 x 2 para 1 x 1 , halle lim x 0
2 g( x ) 31. Si 2 x g( x ) 2 cos x para toda x , halle lim x 0
1
x2 xsenx 1 son válidas para 6 2 2 cos x todos los valores de x cercanos a cero. ¿Qué nos dice esto acerca de xsenx lim ? x 0 2 2 cos x 1 x 2 1 cos x 1 son válidas para todos los 33. Supón que las desigualdades 2 24 x2 2 1 cos x valores de x cercanos a cero. ¿Qué nos dice esto acerca de lim ? x 0 x2 f (x) 5 f (x) 1 , halle lim 34. Si lim x4 x4 x2 f (x) f ( x ) y lim f ( x ) 1 , halle xlim 35. Si xlim 2 2 x 2 x 2 x f ( x) 5 1 36. Considere que Lim x 2 2 g ( x) 32. Puede probarse que las desigualdades 1
[ f ( x) + g ( x)] b) Lim [ f ( x) + g ( x )] Halle: a) Lim x →2 x →2
2
Aplicación del teorema de las funciones continúas. 37. Aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas para demostrar que la ecuación x 5 + x = 1 tiene solución. 38. Aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas para probar que la ecuación x 3 − 3x 2 + 1 = 0 tiene tres soluciones distintas. 39. Demuestre que existe un número x entre 0 y /2 tal que cos x x
2
Calcúlense los siguientes límites. 1. lim x 1
x1 x2
2. lim x 1
x1 x2
x2 1 3. lim 2 x 2 x 2
6. lim
sen3x 5x
7. lim
sen3h sen5h
8. lim
x 0
x 0
x 0
sen 2 x x
x2 x 2 4. lim x 2 x2 4 9. lim x 0
sen 2 x x2
x2 4 5. lim 3 x 2 x 8 10. lim x 0
1 cos x x2
Calcúlense los siguientes límites. 11. lim x
2x 3 5x 7
16. xsenx lim x x senx
12. lim x
4 x 3x 2 x 4 5x 2 1 3
17. lim x
2
ex ex ex ex
13. lim x
senx x
18. lim x 2
2x 2 1 2x
x 2 3 x 64
22. lim x 9
x 3 729 x 3
23. lim
25. lim
2x 1 2 x3
26. lim x
5 4x 6 2x
27. lim x 1
x 1
29. Evalúe lim x 0 a 20
30. Si
x senx 2x 5
15. lim x 0
21. lim x4
14. lim x
x 0
19. xlim 2
4x 2 x 1x 1x
x2 x2
20. lim x 1
24. lim x 1
x tg 3x x1 ( x 1)3
x3 2 x2 1
x 28. lim x 0
f ( a h ) f ( a) 1 para las funciones f ( x ) x 5 y f ( x ) en h x5
f (x) 5 2 x 2 f ( x ) 5 x 2 para 1 x 1 , halle lim x 0
2 g( x ) 31. Si 2 x g( x ) 2 cos x para toda x , halle lim x 0
1
x2 xsenx 1 son válidas para 6 2 2 cos x todos los valores de x cercanos a cero. ¿Qué nos dice esto acerca de xsenx lim ? x 0 2 2 cos x 1 x 2 1 cos x 1 son válidas para todos los 33. Supón que las desigualdades 2 24 x2 2 1 cos x valores de x cercanos a cero. ¿Qué nos dice esto acerca de lim ? x 0 x2 f (x) 5 f (x) 1 , halle lim 34. Si lim x4 x4 x2 f (x) f ( x ) y lim f ( x ) 1 , halle xlim 35. Si xlim 2 2 x 2 x 2 x f ( x) 5 1 36. Considere que Lim x 2 2 g ( x) 32. Puede probarse que las desigualdades 1
[ f ( x) + g ( x)] b) Lim [ f ( x) + g ( x )] Halle: a) Lim x →2 x →2
2
Aplicación del teorema de las funciones continúas. 37. Aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas para demostrar que la ecuación x 5 + x = 1 tiene solución. 38. Aplique la propiedad del valor intermedio de las funciones continuas para probar que la ecuación x 3 − 3x 2 + 1 = 0 tiene tres soluciones distintas. 39. Demuestre que existe un número x entre 0 y /2 tal que cos x x
2
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