Ejercicios Funciones Segunda Parte Primera Unidad

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTA DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CURSO DE CALCULO I PROFESOR: Ing. Franklin José Valverde Delgado. E.S.I. M.Sc. EJERCICIOS SOBRE FUNCIONES SEGUNDA PARTE (PRIMERA UNIDAD)





e x  e x 2 , y g ( x)  ln x  x  1 , son funciones inversas. 2 e x  e x 2. Determine la función inversa de cos hx  y realice la correspondiente prueba. 2 3. Realice el gráfico de la función y determine el dominio y el recorrido o rango de la 1. Pruebe que senhx 

función siguiente.

 1  x

f ( x)   

x 1

si x  1 si x  1

4. Determinar si cada una de las siguientes funciones es par, impar o ninguna de ambas. Después, calcular los ceros de la función.

f ( x)  x 3  x b) g ( x)  1  cos x a)

En los ejercicios del 5 al 10 encuentre el dominio y el recorrido o rango de la función 5. 6. 7. 8. 9. 10.

h( x )   x  3 g ( x)  x 2  5  t  f (t )  sec    4 h(t )  cot t 1 f ( x)  x 2 g ( x)  x 1 En los ejercicios del 11 al 16 encuentre el dominio de la función

11.

h( x )  x  1  x

f ( x)  x 2  3 x  2 2 13. h( x)  1  cos x 12.

1

14.

h( x ) 

2 senx 

1 2

1 x3 1 16. g ( x)  2 x 4 15.

f ( x) 

En los ejercicios del 17 al 20 evalúe la función como se indica. Determine su dominio y su recorrido o rango

17.

 2x 1  2x  2

si x  0 si x  0

f ( x)  

a ) f (1) b) f (0) c) f (2) d ) f (t 2  1)  x 2  2

18.

si x  1

f ( x)  

2  2 x  2 si x  1

a ) f (2) b) f (0) c ) f (1) d ) f ( s 2  2)

19.

 x  1   x  1

si x  1

f ( x)  

si x  1

a ) f (3) b) f (1) c) f (3) d ) f (b 2  1) 

20.

x4

f ( x)  

  x  5 

si x  5 2

si x  5

a ) f (3) b) f (0) c) f (5) d ) f (10) En los ejercicios del 21 al 24, encontrar las funciones compuestas

f  g ( x)  y

g  f ( x)  . Determine su dominio y su recorrido o rango. ¿Son iguales ambas funciones compuestas?

f ( x)  x 2 , g ( x)  x 22. f ( x)  x 2  1, g ( x )  cos x 3 2 23. f ( x)  , g ( x)  x  1 x 1 24. f ( x)  , g ( x)  x  2 x 21.

2

25. Dadas f ( x)  x y g ( x)  x 2  1 , evalúe de ser posible cada expresión a) b) c) d) e) f)

f  g (1) 

g  f (1) 

g  f (0) 

f  g ( 4)  f  g ( x) 

g  f ( x) 

26. Dadas f ( x)  senx y g ( x)   x , evalúe de ser posible cada expresión a)

f  g (2) 

  1  f  g     2  c) g  f (0)  b)

    g  f     4  e) f  g ( x)  d)

f)

g  f ( x) 

27. Se va a construir una caja de material abierta (sin tapa) de volumen máximo con una pieza cuadrada de 24 cm de lado, recortando cuadrados iguales en las esquinas y doblando los lados hacia arriba (vea la figura).

a) Expresar el volumen V como una función de x , que es la longitud de las esquinas b)

cuadradas, ¿Cuál es el dominio de la función? Utilice de ser posible una calculadora o realice un gráfico aproximado en papel milimetrado, para representar gráficamente la función volumen y aproxime las dimensiones de la caja que produce el volumen máximo.

3

28. Una recta que pasa por el punto (3 , 2) forma con los ejes x y y un triángulo rectángulo en el primer cuadrante (vea la figura). Exprese la longitud L de la hipotenusa como función de x .

y (0 , y ) (3 , 2) ( x , 0)

x

29. Una caja de cartón tiene una base cuadrada y cada una de las cuatro aristas de la base tiene una longitud de x pulgadas. Como se muestra en figura. La longitud total de las 12 aristas de la caja es de 144 pulgadas.

x x a) Exprese el volumen V de la caja como una función de x b) Trace la gráfica de la función V c) Dado que tanto x como V representan cantidades positivas (longitud y volumen, respectivamente), ¿cuál es el dominio de V ? En los ejercicios del 30 al 33, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o proporcionar un ejemplo que lo demuestre.

30. Si f ( a)  f (b), entonces a  b 31. Una recta vertical puede cortar la gráfica de una función una vez como máximo.

4

32. Si f ( x )  f ( x ), para todo x perteneciente al dominio de f ( x) , entonces la gráfica de f ( x ) es simétrica con respecto al eje y . 33. Si f ( x) es una función, entonces f ( ax)  af ( x) 34. Demuestre que el producto de dos funciones pares o impares es una función par.

35. Determine el valor presente de $10, 000 si el interés se paga a una tasa de 9% anual, compuesta semestralmente durante 3 años.

36. Determine el valor presente de $100, 000 si el interés se paga a una tasa de 8% anual, compuesta mensualmente durante 5 años.

37. Utilizando un transportador, dibuje un triángulo rectángulo que tenga el ángulo agudo de 450 . Mida los lados cuidadosamente y utilice sus resultados para estimar las seis razones trigonométricas de 450 38. Un cable guía de 600 pies está sujeto a la parte superior de una torre de comunicaciones. Si el cable forma un ángulo de 650 con la tierra ¿cuál es la altura de la torre de comunicaciones? 39. Una escalera de 20 pies está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio, ¿Cuál es el ángulo de elevación de elevación de la escalera?. ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio?.

40. Desde la parte superior de una faro de 200 pies de altura, el ángulo de depresión hasta un barco sobre el océano es de 230 . ¿A qué distancia está el barco de la base del faro? 41. Exprese las longitudes a, b, c, y d de la figura en términos de razones trigonométricas de  .

y

c 

d

a

b

x x2  y 2  1

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Cuando faltas a una clase, pierdes un poco de luz en tu proyecto de vida. Franklin

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