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MATEMATICA II TEMA 2 COORDENADAS POLARES Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS Coordenadas Polares Existen lugares geométricos cuyas ecuaciones en coordenadas cartesianas son expresiones complejas, en algunos casos, funciones implícitas de las variables que no permiten despejar una de ellas como por ejemplo: y2  4 y  x2  4 x2  y2

Sin embargo, los puntos que pertenecen a un lugar geométrico, pueden representarse en otro sistema de coordenadas (variables) generando una expresión explícita y más sencilla de manejar. Uno de tales sistemas es el Sistema de Coordenadas Polares. En este sistema un punto P del plano se ubica especificando su posición con respecto a un punto fijo O llamado Polo y a una semirrecta llamada Eje Polar. Consiste en establecer la longitud r del segmento dirigido OP y el menor ángulo positivo  medido en sentido contrario a las agujas del reloj con respecto al eje polar. Estas dos medidas constituyen las coordenadas polares y se escriben P(r , ) donde:

r  OP : se denomina radio vector

 : es el ángulo polar o argumento. La línea que pasa por el polo y es perpendicular al eje polar se denomina Eje a 90º

90º

P (r , ) r

 O

A

Se ha restringido a r y  de modo que r  0 y 0    2 Un par de coordenadas polares (r , ) determina uno y solo un punto del plano, pero el recíproco no es verdadero, ya que, un punto puede estar determinado además por las coordenadas (r ,  2n ) siendo n un número entero positivo o por (r ,   2n  1  ) , o en general

 1

n

r ,  n



Por lo tanto a veces es conveniente dar a r y  valores tanto positivos como negativos. En la siguiente gráfica podemos verificar que un punto tiene varias coordenadas polares Prof. José Luís Machado

1

Q( r ,    ) Q(r ,  )

90º P (r , )

r

 O 

P(r ,    ) P(r , )

A

Q(r ,  )

Medición de ángulos El ángulo o argumento puede expresarse en grados sexagesimales o en radianes. Un grado sexagesimal es el ángulo cuya amplitud subtiende un arco de circunferencia de 1 longitud igual a de la longitud de la misma. Un giro completo en el sentido contrario a la 360 manecillas del reloj, representan 360º Un Radián es la medida de un ángulo que tiene su vértice en el centro de un circulo (ángulo central) que subtiende un arco de la circunferencia, con la misma longitud del radio r B

r O

 r

A

 AB  r  es un radián

En una circunferencia el cociente de la longitud del arco de circunferencia de un ángulo central y su radio es la medida del ángulo expresada en radianes S radianes  S   r  r S La longitud de una circunferencia es S  2 r dividiendo por r  2   r Como una vuelta completa corresponde a un ángulo   360º entonces, 360º  2

 180º  Radianes. Para cualquier ángulo

 nº



 180º

Donde x es el arco en radianes correspondiente al ángulo de n º Por lo tanto 1 radián corresponde a un ángulo en grados de: 180º 180º nº    57, 2957º  n º  1rad Es decir, 1 rad  57, 2957º



 rad

2

Y un grado corresponde a un arco

  nº

 180º

  1º



 180º

Es decir, 1º  0,174532 rad

 0, 01745 rad

Ejemplo 1 Exprese en radianes los siguientes ángulos dados en grados: a) 30º

b) 45º

c) 60º

d) 135º

e) 210º

Solución.



a) 30º

x  nº

d) 135º

x  nº

180º

 180º



2.3.5  180º 22.32.5  33.5 x  135º  2 2  180º 2 3 .5 x  30º

 

 x





rad 6 3 rad  x 4

Ubicación de un punto en el plano polar Para localizar un punto P(r , ) se procede de la siguiente manera: 1) Se traza una circunferencia de radio r con centro en O 2) Después se traza una línea con un ángulo de inclinación  considerando su signo. 3) Se localiza el punto de intersección entre la circunferencia y la recta, tomando en cuenta el signo de r . Este será el punto P(r , ) Se puede construir un diagrama coordenado polar, dibujando un conjunto de circunferencias concéntricas en el Polo, cuyos radios son múltiplos enteros del menor radio, y rectas concurrentes en el polo separadas entre sí por un ángulo constante Ejemplo 2 Ubicar en el plano polar los siguientes puntos: A(2,90º ) ; B(3,135º ) ; C (2, 120º ) ; D (3, 135º ) ; E (4, 225) . De al menos una coordenada equivalente para cada punto Solución: A(2, 270º ) ; B(3, 225º ) ; C (2, 60º ) ; D(3, 45º ) ; E (4, 45º ) 90º

60º

120º

E

150º

30º

A

B

D

180º

0º C 330º

210º

300º

240º 270º

Prof. José Luís Machado

3

También podemos construir el plano en radianes  2

2 3

 3

5 6

 6



2 7 6

11 6 4 3

3 2

5 3

Conversión de coordenadas rectangulares a Polares y viceversa Para transformar las coordenadas de un punto P de un sistema de coordenadas rectangulares a un sistema de coordenadas polares o viceversa, hacemos coincidir los orígenes de los dos sistemas y el eje polar con el eje positivo de las abscisas o de las X , como se puede ver en la figura adjunta en la cual consideramos un punto P cualquiera. Las coordenadas en ambos sistemas son: P ( x, y ) y P ( r ,  )

Y

P ( x, y ) P (r ,  )

y

r

2.1. Relación entre rectangulares de un

coordenadas polares y punto

 O

xA

X

Se tiene que el ángulo AOP   y de las razones trigonométricas las siguientes relaciones: x  x  r cos  cos   r y sen    y  r sen  y de acuerdo al teorema de Pitágoras r  y r  x2  y2   tan 1    x Las expresiones anteriores son válidas para todos los puntos del plano, es decir, podemos convertir con facilidad las ecuaciones rectangulares de las curvas en el plano a su forma polar o viceversa. 4

Ejemplo 3 Dadas las coordenadas cartesianas del punto P(1,  3) , determinar las coordenadas polares del mismo. Solución: Dado que x  1 y y   3 se tiene entonces que:  r  1 3  r  2 r  x 2  y 2  r  (1) 2  ( 3) 2 Por otra parte  y   tan 1      tan 1  3  x Como y es negativa y x es positiva, el ángulo pertenece al cuarto cuadrante 5  5  Por lo que las coordenadas polares del punto son: P  2,    300º    3  3 





Ejemplo 4 Obtener la ecuación polar de la parábola, cuya ecuación es: y 2  2 px Solución En la ecuación dada sustituimos las ecuaciones: x  r cos  y y  r sen  r 2 sen 2   2 p (r cos  )

r

2 p cos  sen 2 



r  2p



r sen 2   2 p cos 

1 cos  sen  sen 





r  2 p csc  .ctg 

Ejemplo 5 Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es: y 2  4 y  x 2  4 x 2  y 2 Solución x 2  r 2 cos 2 

y 2  r 2 sen 2 

y 2  4 y  x2  4 x2  y 2



Sustituyendo

 r 2 cos 2   4r sen   r 2 sen 2   4r 



r 2 cos 2   sen 2   4r sen   4r  r  4sen   4



r 2  4r sen   4r Dividiendo por r

r  4 1  sen  

Ejemplo 6 Obtener la ecuación polar de la curva cuya ecuación es 3 x  4 y  1  0 . Solución. Se sabe que x  r cos  y y  r sen  . Sustituyendo en la ecuación dada

5

3r cos   4r sen   1  0 

3r cos   4r sen   1

r (3cos   4sen  )  1

r



Despejando r

1 3cos   4sen 

Ejemplo 7 Obtener la ecuación rectangular de la curva cuya ecuación es: r 

4 cos   1

Solución

r

4 cos   1

r (cos   1)  4





r cos   r  4

Sustituyendo por las ecuaciones de transformación x  x2  y2  4

x2  y2  4  x



x 2  y 2  x 2  8 x  16



Elevando al cuadrado

y 2  8 x  16 

y 2  8( x  2)

La cual corresponde a una parábola de eje paralelo al eje Y y que abre hacia la izquierda

Ejemplo 8 Dada la ecuación polar r (3  2 cos  )  2 , obtener la ecuación cartesiana de la curva. Solución r (3  2 cos  )  2

3r  2r cos   2



Sustituyendo las ecuaciones x  r cos  y r  x 2  y 2 en la ecuación anterior 3 x 2  y 2  2x  2



9  x 2  y 2   4x 2  8x  4

3 x 2  y 2  2x  2



Elevando al cuadrado

9x 2  9 y 2  4x 2  8x  4

Ordenando 6

5 x 2  9 y 2  8 x  4  0 La cual representa una elipse. Reacomodando la ecuación 5x 2  8x  9 y 2  4



8   5 x2  x   9y2  4 5  

2 2  8  4   4 5 x2  x       9 y 2  4  5   5  5    5 

2

4 36  5 x    9y2  5 5  

Completando cuadrados 2



4 16  5 x    9y2  4  5 5 



2



4  25  x    45 y 2  36 5 

Trazado de curvas en Coordenadas Polares Tal como se hizo al construir grafos en el plano cartesiano, debemos realizar los siguientes pasos. 1) Determinar intersecciones 2) Hallar Simetrías 3) Determinación del ámbito o extensión del lugar geométrico. 4) Cálculo de las coordenadas de suficientes puntos 5) Trazar la grafica. Es necesario notar que la dificultad de las coordenadas polares está en que, un lugar geométrico puede estar representado por más de una ecuación polar. Estas ecuaciones se denominan equivalentes. Además, un punto puede representarse por un número infinito de coordenada, ocurriendo a veces que una coordenada satisfaga la ecuación mientras que otra coordenada no. Intersecciones Con el eje polar Se obtiene hallando el valor de r cuando   0 ,   ; n un entero cualquiera Con el eje a 90º Se obtiene hallando el valor de r cuando  

 2

 2 y en general  n con

y en general   n

 2

Prof. José Luís Machado

7

Simetrías Para determinar si existen simetrías respecto al eje polar, polo y/o eje a 90º se emplean los siguientes criterios. a) Simétrica con respecto al Eje Polar, si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , ) se sustituye por (r ,  ) o (r ,    )



si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , ) 2 se sustituye por (r ,    ) o (r ,  )

b) Simétrica con respecto al Eje

c) Simétrica con respecto al polo, si se obtiene una ecuación equivalente cuando (r , ) se sustituye por (r , ) o (r ,    )

P( r ,  ) P(r ,    )

90º M

P(r ,  )

P(r ,  ) P(r ,    )

90º

90º M

O

r

r

r

 

P(r ,  )

P( r , )

 

 

A

O

 

  A

P(r , )

P(r , )

O

 

A

P(r , ) P(r ,    )

Simetría respecto al eje a 90º

Simetría respecto al eje a 90º

Simetría respecto al eje Polar

Ámbito o extensión del lugar geométrico Se despeja r en función de  , es decir r  f ( ) Si r es finito para todos los valores de  , se trata de una curva cerrada. Caso contrario, r se vuelve infinita la curva no es cerrada. Para los valores de  que hacen a r compleja no hay curva. Si la gráfica es una curva cerrada es útil hallar máximos y mínimos. Cálculos de algunos puntos Con la ecuación de r en función de  dándole valores a  , obtenemos un conjunto de coordenadas que pertenecen al lugar geométrico o grafo de la ecuación. Ejemplo 9 Trazar la curva cuya ecuación es: r  2(1  sen  ) Solución 1) Intersecciones: Con el eje polar Si   0  r  2(1  sen 0) Si      r  2(1  sen  ) En general si    n 

 r  2 ; (0, 2)  r  2 ; Si    2 r  2 r  2 1  sen( n )  r  2 8

Las intersecciones son (2, 0) ; (2,  ) ; (2,  n ) Con el eje a 90º Si  





2

Si   

 2



r  2 1  sen(  / 2)   r  2 1  1 

r0

r  2 1  sen(   / 2)   r  2 1  (1)  

  Los puntos de intersección son:  0,  y  2

r4

   4,   2 

2) Simetrías a) Con el eje polar Si (r , ) se sustituye por (r ,  ) r  2 1  sen(  ) Como la función seno es impar r  2 1  sen( ) No hay simetría Si (r , ) se sustituye por (r ,    )  r  2 1  sen(   )    r  2(1  sen  cos   sen  cos  )   r  2(1  sen  ) No hay simetría. b) Con el eje a



2 Si (r , ) se sustituye por (r ,    )

r  2 1  sen(   )

Dado que sen(   )  sen  .cos   sen  .cos   sen 

r  2 1  sen   Hay simetría respecto al eje



 2

c) Con el Polo Si se sustituye (r , ) por (r ,  )

 r  2(1  sen  )

r  2 1  sen(   )

Si se sustituye (r , ) por (r ,    )

Dado que sen(   )  sen  .cos   sen  .cos    sen  Sustituyendo r  2 1  sen(   )



r  2(1  sen  ) No es simétrica

3) Ámbito o extensión La ecuación del grafo en la forma r  f ( ) es r  2(1  sen  ) La función sen  es una función continua en el intervalo  0, 2  y de período 2 y toma los valores reales en el intervalo  1,1 para los cuales r tendrá el valor máximo y mínimo si: 9

sen   1







 

sen   1 

y r  2(1  1)

2



y r  2(1  1)

2



r 0



r4

4) Cálculos de puntos de la gráfica Dándole valores a  , por ejemplo:   r  2(1  0, 7071)





4

  r  2 1  sen  4 



r  0,5857 .



Así obtenemos la siguiente tabla º

0º



0

r

2

30º

45º

60º

90º

120º

135º

150º

180º









6

4

3

2

2 3

3 4

5 6



1

2

1

0,5857 0,2679

0

0,2679 0,5857

º

210º

225º

240º

270º

300º



7 6

5 4

4 3

3 2

5 3

11 6

2

r

3

4

3,7321

3

2

3,4142 3,7321

330º 360º

Ejemplo 10 Trazar la curva cuya ecuación polar es r 2  4 cos 2 Solución 1) Intersecciones:

10

a) Con el eje polar. Si   0  r 2  4 cos 0 Si    



r2  4 ; 

r  2

 r 2  4 cos(2 ) Como la función coseno es par

r 2  4 ;  r  2 Así mismo si    2 r  2 En general si    n  r 2  4 cos 2( n )  r  2 Los puntos de intersección son: (2, 0); (2,  ) b) Con el eje a 90º Si  





2

  r 2  4 cos  2   2

 r 2  4 cos 

r 2  4

  r 2  4 cos  2n   r 2  4 2 2  Entonces r es un número complejo y aparentemente no hay intersecciones con el eje    a 90º Para   r 2  4 cos  2   r  0 La curva pasa por el polo 4  4 Si    n



con n impar

2) Simetría a) Con el eje polar. Si (r , ) se sustituye por (r ,  ) Como la función coseno es par cos   cos( ) r 2  4 cos(2 ) = r 2  4 cos 2

(r ) 2  4 cos  2(   ) 

Si (r , ) se sustituye por (r ,    )

Dado que cos(   )  cos  cos   sen  sen  y ( r ) 2  r 2 Entonces r 2  4  cos(2 ) cos(2 )  sen(2 ) sen(2 )   r 2  4 cos 2 Por lo tanto hay simetría con respecto al Eje Polar Con el eje a



2 Si (r , ) se sustituye por (r ,    ) r 2  4 cos  2(   )  Al igual que en el paso anterior r 2  4  cos(2 ) cos(2 )  sen(2 ) sen(2 )   r 2  4 cos 2

Si (r , ) se sustituye por (r ,  )

 (r )2  4 cos(2 ) = r 2  4 cos 2

Por lo tanto hay simetría respecto al eje

 2

Con el Polo Si se sustituye (r , ) por (r ,  ) (r ) 2  4 cos 2  r 2  4 cos 2 Si se sustituye (r , ) por (r ,    ) r 2  4 cos 2(   ) Dado que cos(   )  cos  cos   sen  sen  r 2  4  cos(2 ) cos(2 )  sen(2 ) sen(2 )   r 2  4 cos 2 11

La gráfica es simétrica respecto al polo 3) Ámbito o extensión La ecuación del grafo en la forma r  f ( ) es r   2 cos 2 la cual es una función real siempre que cos 2  0 . Esto ocurre cuando 

 2

 2 

 2

es decir, cuando

    3 5     ,  o    ,   4 4  4 4 

La función cos  es una función continua en el intervalo  0, 2  y de período 2 toma los valores reales en el intervalo  1,1 para los cuales r tendrá el valor máximo si cos 2  1  2  2     o 2  0    0 Para los cuales Las rectas  

 4

r  2



y

Por lo tanto la curva es cerrada

3 4

son tangentes a la curva en el polo

4) Cálculos de puntos de la gráfica º

0º



0

r1 r2

15º

30º

45º

150º

165º

170º

180º







12

6

4

5 6

11 12

17 18



2

1,8612

1,4142

0

1,4142

1,8612

1,9387

0

-2

-1,8612 -1,4142

0

-1,4142 -1,8612 -1,9387

0

Prof. José Luís Machado

12

INTEGRACIÓN EN COORDENADAS POLARES El área del polígono regular inscrito en una circunferencia se calcula mediante la relación

Pa , donde P : es el perímetro o la suma de las longitudes de sus lados y a : es la 2 Apotema. Ap 

a L O

Si el número de lados del Polígono se hace muy grande, es decir n   , el Perímetro tenderá al valor de la longitud de la circunferencia S , y la apotema al radio r de la misma. Así el área del Círculo es A 

S r 2 r  r y como S  2 r , A  2 2



A  r2

Sector Circular Es la porción del círculo comprendido entre dos radios y el arco de curva que intersecan Área de un sector circular

 r2 1 del área de un círculo, es decir 1   . 360 360  r 2n El área de un sector de n es A  , 360 2 n n Como el arco de n mide l   r  l  el área de dicho sector r y 360 180 2 n r 1 A r  A  r2 360 2 2 Un sector circular de un grado mide

AREA DE UNA REGIÓN EN COORDENADAS POLARES Sea r  f   una función en coordenadas polares, positiva y continua en el intervalo I y consideremos una región plana limitada por las rectas radiales o rayos    ,    y la curva r  f   . Para hallar el área de esta región, la dividimos en n sectores circulares, haciendo una partición  del ángulo  AOB    0   1  ...   i 1   i   2  ...   n1   n   donde a cada partición de ángulo   i le corresponde un radio ri  f  i  . Prof. José Luís Machado

13

El área de un sector típico de la partición estará dado por:

1 2 1 2 ri   i Por lo tanto Ai   f ( i )   i 2 2 El área de la región la podemos aproximar a la suma de la partición Ai 

n

A

n

1

2

 A   2  f ( )  i

i 1

i

i

i 1

Tomando el límite cuando   0 o lo que es igual n   n

A  lim n 

n

1

2

 A  lim  2  f ( )  i

i

n 

i 1

i

i 1

Estas sumas representan la Integral definida.  

A



 

2 1  f    d 2

La cual corresponde al área de la región plana antes definida



 

2

r  f  

r i  f  i 

B  i

 

A O

También podemos definir dicha área, considerando un sector circular de ángulo d 1 Aproximando el sector circular a un triángulo At  b.h 2

Donde b  r y h  ds  rd dA

ds

d O

dA 

1 2 r d 2

r 



A





2 1  f    d 2



A

1 2







2

 f    d

14

Ejemplo 1 Determinar el área de la región limitada por la espiral r   ,   0 entre los rayos   0 y 7  4 Solución El área requerida es la mostrada en la figura



A





A

2 1  f    d  2

1 A 2

7



7

4

2

 d



0

1 3  A   2  3 0

4



343 3   27, 70 u 2 384

ÁREA ENTRE DOS GRÁFICAS EN COORDENADAS POLARES El área comprendida entre las curvas f   y g   limitada por las rectas radiales o rayos

   ,    al igual que en coordenadas cartesianas, se obtiene restando las áreas correspondiente a cada curva  2

 

B g  

r  f  

r i  f  i 

 i

 

A O Prof. José Luís Machado

15

1 A 2

Así:

 



 

 f  2  g  2  d  

Ejemplo 1 Hallar el área interior a la cardioide r  1  cos  y exterior al círculo r1  1 . Hacer la representación gráfica Solución 

A

1 2  r2  r1 2  d 2





Donde r1  1 y r2  1  cos  y los límites de integración son los puntos de intersección de las dos curvas, es decir cuando 1  cos   1  cos   0    

 2

Como la curva es simétrica con respecto al eje polar, integramos de 0 a

 2

y

multiplicamos por 2 . Así: 

A2



0



A



0

2

2

1 2 1  cos    12  d    2



A

0



 2 cos   cos 2   d





2

A2



2

1  2 cos   cos 2    12  d   

cos  d 

0



1 1   2 A   2sen     sen 2  2 4  0



A 2



0

2

 cos   d 2





 4

Ejemplo 2 Hallar el área interior al círculo r  cos  y por fuera de la cardioide r  1  cos  . Hacer la representación gráfica. Solución. 16

El área dentro del círculo r  cos  exterior a la cardioide r  1  cos  la obtenemos restándole al área del círculo el área de intersección entre el circulo y la cardioide, la cual está dada por 

A

1 2  r2  r1 2  d 2





Donde  y  son los ángulos de intersección de las gráficas

Las curvas se intersecan en los puntos donde r1  r2 cos   1  cos   2 cos   1  cos   

A

A



1 2





3



  1  2 cos   d





3



3

cos 2   1  2 cos   cos 2    d  

 1  2sen     2 2 = 2



3

y r2  cos 

 1    arccos       3 2

1 2

1 1 2 cos  2  1  cos    d  A    2  2 3 3

r1  1  cos 

3

 3

Ejemplo 3 a) Determinar las coordenadas de los puntos de intersección de la rosa r  2sen 2 y la circunferencia r  2sen  . b) Calcule el área de la región dentro de la circunferencia y fuera de la rosa. Solución. Los puntos de intersección se obtienen igualando las dos ecuaciones: r1  2sen 2

y r2  2sen 

r1  r2 

2sen 2  2sen   4sen  cos   2sen  

cos  

1 2

 

 3

y  

cos  

2sen   4sen 

 3

17



Si  

3

Si   

r1  2sen



2 3 3   2  3 y r2  2sin    2  3 3 2 2 3

 2  r1  2sen   3  3



3 3      3 y r2  2sin     2  3   2 2 2   3

Las curvas se intersectan en el Polo

º

0º



0

r1 r2

15º

30º

45º

60º

75°

90°











12

6

4

3

5 12

0

1

1,73

2

1,73

0

0,52

1

1,41

1,73

105° 120º

135º

150º

165º

180º

2 3

3 4

5 6

11 12



2

7 12

1

0

-1

-1,73

-2

-1,73

-1

0

1,93

2

1,93

1,73

1,41

1

0,52

0

6

Por simetría, el área que se pide se obtiene restando el área del pétalo de la rosa del área del circulo comprendida desde   

A2











3

 2

2

2

2

3

 



2

3





1 2 2  2sen     2sen 2   d =  2

 4sen   16sen  cos   d = 4



4

3

a







2



4

2



2

3



 1  cos 2  2 

  d  16 

 1  cos 2  2 

  d  16 





3







2

2

3





2

 4sen 2    4sen  cos   2  d =  

3



2

2

sen  d  16 3

 1  cos 2  1  cos 2   2 2    1  cos 2 2  4 





2

sen 2  cos 2  d =

3

  d = 

  d =  18



4





3



2



2

 1  cos 2  2 



  d  16 





2

1  cos 2  d  2









3

2

3

 1  cos 4 1  2  4  

2

3

   d =   





  sen 2  3

2

2 2 1  2    sen 4  =   sen  sen 2 3 2  3 

3 3 3 3    2 4 4

A



2 2 1 1 1  cos 4  d = 2   sen 2   2   sen 4  = 2 4   3   3

4 1 4   1  sen    sen  = 2 2 3   2

3 3 Unidades cuadradas. 4

Ejemplo 4 Calcular el área de la región comprendida entre la circunferencia y la rosa. Solución. La región es la mostrada en la gráfica.

Por simetría, el área está dada por:  A  2  

4







0

1 2  2sen   d  2 

3

2

sen  d  16





0



2

3



0

3

2







2

3

 1 2  2sen 2  d  = 2 

sen 2  cos 2  d =

3



1  cos 2  d  8





2

3

1  cos 4

2

2 



d = 2



0

3



1  cos 2  d 





2

1  cos 4  d

3

Prof. José Luís Machado

19





 2  sen 2  0

3

1 2 4  1 4    2  2   1     sen 4  =  sen  0     sen   sen  4 3 2 3 4 3    3  3  2 4

 2 3    3         2   2 3 8   3

5 3 3   1,968 6 8

A



Ejemplo 5 Hallar el área dentro de la circunferencia r  3 y exterior a la rosa r  6 cos 2 Solución y

6 4

q =p /6

r=3

2 x

-10

-8

-6

-4

-2

2 -2

4

6

8

10

r = 6cos2

-4

 A  4 2  

36





 36  

 36   



6

 1 2 2 3  36 cos 2  d     = 4 2 

2







4

  1  4 cos 2  d  = 36   

4

6







4

d  2









6



6

d  2









4

6



d 



4

 9  36 cos

6









2

2 d

=

6



4

  1  cos 4 d  = 36   



4

6

4





4

6

 4 cos 2 2 d  =  

4

d  2



6







4

d  2





6

4

6

 cos 4 d  

    1  cos 4 d  = 36     4   sen 4  4  = 6 6 2  

1    1     1  36     sen   sen 2  = 36     sen 2  = 3 3 2  4 6 2   4 6 2 





    3   3 36         = 36  4   4 6  4 12 





A  9 3  3

20

EJERCICIOS DE COORDENADAS POLARES

1)

2)

En los problemas siguientes pasar a polares las ecuaciones cartesianas y a cartesianas la ecuación polar. a)

2x  3y  4

c)

x 2  y 2  arctan y

e)

 x  a

g)

r  2  2 cos 

i)

r  2sen 

 x

2

 y2  a2

b)

x 2  y 2  3x  5

d)

y  mx

f)

r2 

h) j)

36 13cos 2   4 r 2  cos  r  2sen  / 2 

En los ejercicios siguientes represente gráficamente y halle el área de la región indicada a)

Un pétalo de r  2 cos 

b)

Un pétalo de r  4sen 2

c)

Un pétalo de r cos 2

d)

Interior de r  1  sen 

e)

Interior de r  1  sen  (por encima del eje polar)

f)

Dentro de r  1  cos   y fuera de r  2 cos 

g)

Dentro de r  6 cos  y fuera de r  2

h)

Interior común de r  3 1  cos   y r  3sen 

i)

Interior común de r  4sen 2 y r  2

j)

Interior común de r  3 1  sen   y r  3 1  sen  

k)

Interior común de r  3  sen  y r  3  2 cos 

l)

Dentro de r  3sen  y fuera de r   sen 

21