Coordenadas Polares-presentacion

Coordenadas Polares

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Sistema Polar o plano Polar Es un plano que tiene como referencia

ángulos y magnitudes Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación El eje horizontal es Eje Polar El eje vertical Eje π/2 El punto de intersección entre estos ejes es el Polo

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Plano Polar

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Relación entre coordenadas polares & cartesianas De Polar a Cartesiana

x = r cos θ

y = r sin θ De Cartesiana a Polar

r =x +y 2

2

2

y tan θ = x 01/06/2009

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Gráficas de Ecuaciones Polar Rectas Circunferencia Cónicas Caracoles Rosas Espirales

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Rectas Caso General

d r= cos(θ − φ ) Caso Particularφ = 0

d r= cos(θ) π Caso Particular φ= 2

r =

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d sen(θ)

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Circunferencia Circunferencia con centro el polo

x +y =a 2

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2

2

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Circunferencia Circunferencia que contiene al Polo y

( a, φ)centro el punto tienen

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Circunferencia Circunferencia que contiene al Polo y

( a, φ)centro el punto tienen

r = 2a cos(θ − ϕ ) 9

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r = 2a cos(θ −ϕ) P (a , 0 ) r = 2a cos(θ − 0)

φ=0

r = 2a cos(θ )

φ =π

φ=

π 2

3π φ= 2 10

r = 2a cos(θ − π ) P (− a,0) r = −2a cos(θ ) π

r =2a cos(θ − r =2asen(θ)

2

)

P(0, a)

3π P (0,− a ) r = 2a cos(θ − ) 2 r = −2asen(θ )

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Trazado de curvas en coordenadas polares:

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Para la construcción de curvas en coordenadas polares, se siguen los siguientes pasos: 2.Determinación de las intersecciones con el eje polar (eje X) y con el eje a 90º (eje Y). 3.Determinación de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90º y al polo. 4.Determinación de la extensión del lugar geométrico. 5.Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener la grafica. Ing. Nuñez 01/06/2009

1. Intersecciones: Las intersecciones con el eje polar, cuando

existen, se obtienen asignando a θ valores sucesivos 0, ± π, ± 2π, ± 3π,…, ± nπ; donde n es un entero cualquiera. Para las intersecciones con el eje a 90º, pueden obtenerse asignando a θ los valores de , en donde n es un numero impar cualquiera. Nota: Si existe un valor de θ para el cual sea r = 0, la grafica pasa por el polo.

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1. Simetría respecto al eje polar La grafica de una ecuación polar es

simétrica respecto al eje X( eje polar), θ θ (si− r,alπ − θ ) remplaza ( r, ) por (r , ), o se obtiene una ecuación equivalente

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Simetría con respecto al polo La grafica de una ecuación polar es simétrica

respecto al eje origen ( elθ polo), si alθ remplaza ( (r, ), o por r , π + )θ ) por (- r , se obtiene una ecuación equivalente

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Simetría con respectoθ a

π

2

=

La grafica de una ecuación polar es

θy ( simétrica respecto al eje θ (r , π − θ ) ( remplaza

r,

) por (- r , -

=pi/2), θ si al ), o por

se obtiene una ecuación equivalente

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Las pruebas para averiguar la simetría del

lugar geométrico de una ecuación polar están dadas en la siguiente tabla.

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Al eje Polar

a) se sustituye θ por – θ,

Al Polo

a) Se sustituye r por – r

Θ = pi/2

a)Se sustituye θ por – θ y r por – r a) Se sustituye θ por

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a) Se sustituye r por –r b) Se sustituye θ por π θ sustituye θ por a)-Se π+θ π

-θ 01/06/2009

3. Extensión del lugar geométrico: Primeramente se despeja r en función de θ,

de la siguiente forma: r = f (θ) - Si r es finita para todo valor de θ, se trata de una curva cerrada - Si r se vuelve infinita para ciertos valores de θ, la grafica no puede ser una curva cerrada. - Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva. 18

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4. Calculo de las coordenadas de algunos puntos:  Se asigna un valor particular a θ, y así se

obtienen valores reales correspondientes a r. Se pueden tomar valores de θ a intervalos de 30º.

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5.Transformación de la ecuación polar a rectangular: La forma rectangular se usa para

comprobar

6.Construcción de la gráfica Se construye la gráfica

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Caracoles: Limacons & Cardiodes Si a=b, cardiode Si a
r = a ± b cosθ ,

r = a ± b sin θ

Caracol con rizo Si a>b , Limacon o Caracol sin rizo

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Caracoles

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Lemniscatas Figure-8 shaped curves

r 2 = a cos 2θ , r 2 = a sin 2θ Ejemplo : r 2 = 4 sin 2θ

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Rosas Polar equations of the

form:

r = a cos(nθ ), r = a sin( nθ ) example : r = 6 cos(3θ )

n petalos (n impar) 2n petalos (n par)

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Espiral de Archimedes y Espiral Logaritmica Espiral de Arquimedes : r = aθ Espiral log aritmica : bθ

r = ae ejemplo : r = 5θ

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Cónicas

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Conicas Si una cónica tiene el foco en el polo y la

directriz a una distancia “d” del polo, tenemos:

ed r= 1 + e cos(θ − θ o ) e = excentricidad 01/06/2009

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Casos Especiales

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