Coordenadas Polares

Coordenadas Polares Para obtener ecuaciones que nos den un conjunto de coordenadas polares de un punto, cuando conocemos sus coordenadas cartesianas rectangulares, hacemos la siguiente transformación x=r cosθ y y=r senθ Si se tiene las ecuaciones en coordenadas polares se puede llevar a coordenadas cartesianas haciendo las siguientes transformaciones: Al elevar al cuadrado ambas ecuaciones y luego sumar tenemos que x2+y2=r2 Luego r=x2+y2 Y dividiendo las ecuaciones tenemos que tanθ=yx Luego θ=tan-1(yx) Graficas en coordenadas polares La ecuación θ=C, es una recta que pasa por el polo y forma un ángulo de C radianes con el eje polar. La misma recta la da la ecuación θ=C±nπ. Toda recta paralela al eje polar y=b, en forma polar es r senθ=b Toda recta paralela al eje π/2 (perpendicular al eje polar) x=a , en forma cartesiana es r cosθ=a. La grafica de la ecuación r=C, es una circunferencia cuyo centro está en el polo y su radio es C. La misma circunferencia la da la ecuación r=-C. Una circunferencia que contiene el origen (el polo) y tiene su centro en el punto con coordenadas cartesianas a,b y radio a2+b2, la ecuacion cartesiana será: x2+y2-2ax-2by=0, luego una ecuacion polar de la circunferencia es r=2a cosθ+2b senθ. Si b=0, se tiene r=2a cosθ que es la ecuacion polar de la circunferencia con radio a, centro en el eje polar, y tangente al eje π/2. Si a>0, la circunferencia esta a la derecha del polo, y si a<0, la circunferencia esta a la izquierda del polo. Si a=0, se tiene r=2b senθ que es la ecuacion polar de la circunferencia con radio b, centro en el eje π/2, y tangente al eje polar. Si b>0, la circunferencia esta arriba del polo, y si b<0, la circunferencia esta debajo del polo. Simetría en coordenadas polares

Simetría con respecto al eje polar: Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en coordenadas polares cuando (r,θ) se sustituye por (r,-θ+2nπ) o bien (-r,πθ+2nπ) Simetría con respecto al eje π/2: Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en coordenadas polares cuando (r,θ) se sustituye por (r,π-θ+2nπ) o bien (-r,θ+2nπ) Simetría con respecto al polo: Ocurre si se obtiene una ecuación equivalente para una ecuación en coordenadas polares cuando (r,θ) se sustituye por (-r,θ+2nπ) o bien (r,π+θ+2nπ) Curvas de interés Caracoles (Limazones): Si a>0 y b>0 r=a±b cosθ , simétricos con respecto al eje polar. Apunta a la derecha cuando el signo es positivo, o a la izquierda si el signo es negativo. r=a±b senθ, simetricos con respecto al eje π/2. Apunta hacia arriba cuando el signo es positivo, o hacia abajo si el signo es negativo. Hay cuatro tipos; 1. 2. 3. 4.

Caracol con lazo si 0
Rosas (o roseta): r=acosnπ

o bien r=asennθ

Tienen n hojas si n es par y 2n si n es par. Espiral de Arquimedes: r=nθ Lemniscata: r2=asen2θ o bien r2=acos2θ

Área en coordenadas polares Sea R la región limitada por las rectas θ=α y θ=β y las dos curvas cuyas ecuaciones son r=f(θ) y r=g(θ), donde f y g son continuas en el intervalo

cerrado α,β y fθ≥g(θ) en α,β. Entonces si A unidades cuadradas es el area de la región R A=12abf(θ)2-g(θ)2 dθ

Integrales Impropias Con límites de integración infinitos a) Si f es continua para toda x≥a, entonces a+∞fx dx=limb→+∞abfx dx Si el límite existe. b) Si f es continua para toda x≤b, entonces -∞bfx dx=lima→-∞abfx dx Si el límite existe. c) Si f es continua para todos los valores de x y c es cualquier número real, entonces -∞+∞fx dx=lima→-∞acfx dx+limb→+∞cbfx dx Si el límite existe. Otras integrales impropias a) Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la izquierda a,b, y si limx→a+fx=±∞ Entonces abfx dx=limt→a+tbfx dx Si el límite existe. b) Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la derecha a,b, y si limx→b-fx=±∞ Entonces abfx dx=limt→b-atfx dx Si el límite existe

c) Si f es continua en toda x en el intervalo semiabierto por la izquierda a,b excepto en c donde a