Calculo Integral. Metodos De Integracion..docx

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO INDIVIDUAL

UNIDAD 2: TAREA 2 - MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

GRUPO: 100411_183

PRESENTADO POR. EVELIO RAMIRO BASTIDAS. COD. 13065877

PRESENTADO A. EDGAR RODRIGO ENRIQUEZ ROSERO TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS MARZO /2019

INTRODUCCION

La integración es el proceso contrario de la derivación, y su desarrollo consiste en el cálculo de las anti derivadas, para este cálculo se utilizan diversos métodos y técnicas, entre las cuales están: la integración directa, integración por sustitución, integración por partes, integración por funciones trigonométricas, integración por sustitución trigonométrica, integración por fracciones parciales. En el presente trabajo permite poner en práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 2 del curso de cálculo integral, para el desarrollo de problemas con integrales a través del uso de las técnicas antes mencionadas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Ejercicio a. e2 x ∫ 8+e 2 x dx 2x

Sea u=8+ e

2x du d (8+e ) = dx dx 2x

du=2 e dx

du 2 x =e . dx →tenemos que 2 2x

e 1 ( e2 x dx ) dx=¿ ∫ 2x 2x 8+e 8+e ∫¿

(

)

1 du ¿∫ . →integral directa u 2 ¿

1 1 . du 2∫ u

1 ¿ ln .u+ c 2 1 ¿ ln ( 8+e 2 x ) +c 2 Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Ejercicio a. lnx

∫ 3 x dx → se elevacomo potencia . √

lnx

∫ 3 x dx=∫ √

ln. x x

Sea u=ln . x →

dv =x dx

−1 3

1 3

dx

du 1 = dx x −1 +1 3

→ v=

x −1 +1 3

2

2

x3 3 → v= → v= x 3 2 2 3

∫ u . dv=uv−∫ vdu → formula de integracion por partes . Remplazandou y v tenemos 2

( )

2

ln . x 3 3 1 ∫ 3 x dx=ln . x 2 x 3 −∫ 2 x 3 . x √ 2

3 3 ¿ x 3 . lnx− ∫ x 2 2

¿

2 3

−1 3

−1 +1 3

( )

3 3 x x . lnx− 2 2 −1 +1 3 2 3

2 3

3 3x ¿ x . lnx− 2 2 2 3 2

2

3 9 ¿ x 3 . lnx− x 3 2 4

¿

33 2 93 2 x lnx− √ x √ 2 4

¿

33 2 3 x lnx− √ 2 2

¿

3 3 2 2 lnx−3 √x 2 2

¿

33 2 √ x ( 2lnx−3 ) 4

(

)

(

)

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Ejercicio a. x2 + 1 � x 2 dx

Representando geometricamente tenemos .

√ x2 +1 X ∅

1 cos θ=

1 1 → √ x 2+ 1= → √ x 2+1=secθ 2 cosθ √x +1

x 2 2 tanθ= → x=tanθ → x =tan θ 1 dx d ( tanθ ) dx = → =sec 2 θ dθ dθ dθ 2

→ dx=sec θ . dθ

x 2 +1 √ dx =∫ ∫ x

secθ . sec 2 θ . dθ ❑ tan 2 θ

2

3

sec θ ¿∫ dθ 2 tan θ sec 3 θ ∫ tan2 θ−1 dθ Dividiendo fracciones parciales tenemos

(

sec 2 θ−1 secθ =∫ secθ + 2 dθ secθ sec θ−1

) (

¿ secθ . dθ+∫

)

secθ dθ tan2−1

¿ secθ . dθ+∫ cotθ c s c θ dθ ¿=secθ .dθ−∫ −cotθ c s c θ dθ

¿ ln |secθ+tanθ|−c s c θ+c ¿ ln |√ x 2+1+ x|− √

x 2+ 1 +c x

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Ejercicio a. 0

0

∫ −x

3

e dx=−∫ x 3 e x dx sea a=−∞ x

−∞

−∞ 0

¿− lim ∫ x 3 e x dx a →∞ a

Hallamos∫ x3 e x dx por partes asi 3

Sea u=x →

du 2 dv x x =3 x ; =e → v =e dx dx

∫ x 3 e x =x 3 e x −∫ e x ( 3 x 2 ) dx ¿ x 3 e x −3∫ x 2 e x dx

¿ x e −3 [ x e −∫ ( e 2 x ) dx ] 3 x

2

x

x

¿ x 3 e x −3 x 2 e x + 3∫ 2 x e x dx ¿ x 3 e x −3 x 2 e x + 6∫ x e x dx

¿ x 3 e x −3 x 2 e x + 6 [ x e x −∫ e x dx ] ¿ x 3 x x −3 x 2 e x + 6 x e x −6 e x +C=e x ( x 3−3 x 2 +6 x−6 ) + C Resultadointegral indefinida 0 3

0 ❑

x

3 x

∫ −x e dx=−∫ ∫ x e dx sea a=−∞ −∞ ❑

−∞

[

x 3 e x dx ∫ a →−∞

[

a →−∞

0

¿− lim

a

]

0

¿− lim [ e x ( x3 −3 x 2 +6 x−6 ) ] a

3

]

2

e ( a −3 a + 6 a−6) 0 3 e ( 0 −3 (0)2 6 ( 0 )−6 ) −¿ ¿ lim ¿ a →−∞

¿−¿

{

a

3

2

¿− lim [ (−6 )−e ( a −3 a + 6 a−6) ] a →−∞

a

3

2

¿ 6+ lim e (a −3 a +6 a−6) a →−∞

lim a3 −3 a2 +6 a−6

¿ 6+

a →−∞

e−a

a

¿ 6+0=6 '

El limitelo evaluamos mediante laregla de L Hopital aplicandola consecutivamente .