Calculo Integral

3. CÁLCULO INTEGRAL EM IR

A importância do cálculo integral em IR reside nas suas inúmeras aplicações em vários domínios da engenharia, mas também em física, em teoria das probabilidades, em economia, em gestão…

3.1. Partição de um intervalo. Soma de Riemann Para motivar o conceito de integral, vamos recorrer à noção intuitiva de área. Consideremos uma função contínua f : [a, b] → IR que toma valores positivos. O nosso objectivo é de determinar a área A f da região R, limitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx e pelas rectas

x = a e x = b. Decompomos o intervalo

[x1 , x2 ],

[a, b]

em n subintervalos

[a, x1 ],

..., [xn −1 , b] , com a = x0 < x1 < x2 < ... < xn −1 < xn = b ,

não necessariamente de mesmo comprimento, e consideramos em cada intervalo [xi −1 , xi ], com i=1,...,n um ponto qualquer ωi .

1

Então um valor aproximado da área A f é n

A f ≈ ∑ f (ωi )( xi − xi −1 ), i =1

em que cada uma das parcelas representa a área de um rectângulo de base xi − xi −1 e de altura f (ωi ) .

Definição 1.1: Chama-se partição P do intervalo

[a, b]

a

qualquer decomposição de [a, b] em subintervalos da forma

[x0 , x1 ], [x1 , x2 ],..., [xn −1 , xn ] , onde

n ∈ IN e os números xi são

tais que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn −1 < xn = b .

Definição 1.2: O comprimento do maior subintervalo da partição

P, designa-se por amplitude de P e representa-se por P , ou seja, P = máx {xi − xi −1} = máx ∆xi . i =1,",n

i =1,",n

Nota: Se os n subintervalos da partição P têm o mesmo comprimento, a amplitude de P é igual à

b−a . n 2

Definição 1.3: Sejam f uma função contínua num intervalo fechado [a, b] e P uma partição de [a, b] . Chama-se soma de Riemann de f, associada à partição P, a qualquer expressão S p da forma S p =

n

∑ f (ωi )(xi − xi −1 ) , onde ωi ∈ [xi −1 , xi ] , i = 1,", n . i =1

Nota: Para uma dada partição, existe uma infinidade de somas de

Riemann.

É intuitivo, que se tivermos um maior número de subintervalos

[xi −1 , xi ] pertencentes a uma partição de [a, b] , menores serão as amplitudes desses intervalos e menor será o erro cometido ao aproximarmos a área A f pela soma das áreas dos rectângulos considerados.

Portanto, dada uma função f contínua, positiva e limitada no intervalo [a, b] , podemos considerar uma sucessão de partições

(Pn )n∈IN

tais que a sucessão das respectivas amplitudes tenha

limite zero. Assim, a correspondente sucessão de somas de Riemann

(S P,n )n∈IN

fornece valores tão próximos quanto

queiramos do valor da área da região R. Ou seja, A f = lim S P , n = lim P →0

n

∑ f (ωi )(xi − xi −1 ).

P → 0 i =1

3

3.2. Definição do integral de Riemann Definição 2.1: Se existir o limite das somas S p quando a

[xi −1 , xi ],

amplitude dos subintervalos

[a, b]

i = 1,", n do intervalo

tende para zero, e esse limite for finito, então diz-se,

segundo Riemann, que a função f é integrável no intervalo [a, b] .

Este limite chama-se integral definido ou integral de Riemann de f em [a, b] e denota-se por

b

∫ f (x )dx , ou seja, a

b

n

a

i =1

∑ f (ωi )(xi − xi −1 ) . ∫ f (x )dx = Plim →0 Nota: O valor numérico do integral não se altera se mudarmos a letra que representa a variável de integração por qualquer outra variável, ou seja, b

b

b

a

a

a

∫ f (x )dx = ∫ f ( y )dy = ∫ f (t )dt , por isso, a variável de integração é dita “muda”.

Esta definição de integral tem um valor prático muito limitado. Por isso, se nada for dito em contrário, vamos considerar que os subintervalos têm a mesma amplitude e escolher como ponto ωi , xi −1 ou xi . Depois, exprimimos as somas de Riemann S p em

termos do número natural n. 4

Assim, para calcular o integral definido basta determinar o limite quando n tende para infinito de S p . Ou seja, b

n

a

i =1

∑ f (ωi )(xi − xi −1 ) ∫ f (x ) dx = nlim → +∞ 1

Exemplo 2.2: Calcule ∫ x dx . 0

Sugestão: 1. dividir

[0,1]

em n subintervalos [xi −1 , xi ] de igual

amplitude. 2. considerar ωi = xi −1 , para todo o i = 1,", n . Recordar: Se a sucessão (u n ) é uma progressão aritmética, então

u1 + u 2 + u3 + " + u n =

Assim 0 + 1 + 2 + " + (n − 1) =

(u1 + un )n 2

.

(n − 1)n . 2

Teorema 2.3: Consequências imediatas 1.

b

b

a

a

∫ dx = ∫1dx = b − a . b

2. Seja k ∈ IR . ∫ k dx = k (b − a ) . a

5

3. Seja f uma função integrável no intervalo [a, b] . Então f

também é integrável em [b, a ] e

a

b

b

a

∫ f (x )dx = − ∫ f (x )dx . a

4. Seja f uma função definida no ponto a. Então,

∫ f (x )dx = 0 . a

3.3. Propriedades do integral definido e critérios de integrabilidade 3.3.1.

Propriedades do integral definido

Teorema 3.1: Sejam f e g duas funções integráveis no intervalo

[a, b] e c um ponto de [a, b] . Então: 1. Linearidade: a função α f ± β g também é integrável e b

b

b

a

a

a

∫ [α f (x ) ± β g (x )] dx = α ∫ f (x ) dx ± β ∫ g (x ) dx ,

α , β ∈ IR .

2. f também é integrável em qualquer subintervalo de [a, b] .

3. Regra de Chasles:

b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx .

4. Se f ( x ) ≥ 0 , ∀x ∈ [a, b], então

b

∫ f (x ) dx ≥ 0 . a

5. Se f ( x ) ≤ g ( x ), ∀x ∈ [a, b], então

b

b

a

a

∫ f (x ) dx ≤ ∫ g (x ) dx.

6

6. Se m ≤ f ( x ) ≤ M , ∀x ∈ [a, b], então b

m(b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M (b − a ) . a

7. f também é integrável em [a, b] e

8. Se f é uma função par, então

b

b

a

a

∫ f (x ) dx ≤ ∫ f (x ) dx .

a

a

−a

0

∫ f (x ) dx = 2∫ f (x ) dx . a

9. Se f é uma função ímpar, então

∫ f (x ) dx = 0 .

−a

Nota: A propriedade 5 é uma consequência imediata da

propriedade 4.

3.3.2.

Critérios de integrabilidade

Esta secção tem como objectivo indicar algumas condições que permitam decidir se uma função é ou não integrável. Teorema 3.2: Se f é uma função contínua em [a, b] então f é

integrável em [a, b] .

7

Teorema 3.3: Se f é limitada em [a, b] e é descontínua apenas

num número finito de pontos de [a, b] , então f é integrável em

[a, b] . Teorema 3.4: Se f é monótona em [a, b] , então f é integrável em

[a, b] . Teorema 3.5: Se f : [a, b] → IR é integrável em [a, b] então f é

limitada em [a, b] . Corolário 3.6 (contra-recíproco): Se f não é limitada em [a, b]

então f não é integrável em [a, b] . Teorema 3.7: Se f é integrável em [a, b] e g apenas difere de f

num número finito de pontos de [a, b] , então g é integrável em b

b

a

a

[a, b] e ∫ g (x )dx = ∫ f (x )dx . ⎧e x −1 ⎪ se x ≠ 0 é contínua em Exemplo 3.8: A função f ( x ) = ⎨ x ⎪⎩ 1 se x = 0

IR, logo f é integrável em qualquer intervalo [a, b] ⊂ IR .

8

3.4. Teorema Fundamental do Cálculo Integral Teorema 4.1: Fórmula Fundamental do Cálculo Integral ou fórmula de Barrow

Sejam f uma função contínua em [a, b] e F uma primitiva de f. b

∫ f (x ) dx = [F ( x )]a = F (b ) − F (a ).

Então,

b

a

∫ (6 x 1

Exemplo 4.2: Calcule

2

)

− 5 dx .

0 1

Exemplo 4.3: Calcule

∫ x dx .

−2

ln 2

Exemplo 4.4: Calcule

∫e

x

e x − 1 dx .

0

Teorema 4.5: Fórmula de integração por partes

Sejam f e g duas funções contínuas em [a, b] e F uma primitiva de f em [a, b] , então b

∫ f (x )g (x )dx = [F (x )g (x )]

b a

b

− ∫ F ( x )g ′( x ) dx . a

a

1

Exemplo 4.6: Calcule ∫ xe − x dx . 0

9

Teorema 4.7: Fórmula de diferenciação de integrais com limites de integração variáveis ou Regra de Leibniz

Seja f uma função contínua e, u ( x ) e v( x ) duas funções diferenciáveis num dado intervalo I. Então, ′ ⎛ v( x ) ⎞ ⎜ f (t ) dt ⎟ = f (v( x )).v′( x ) − f (u ( x )).u ′( x ) . ⎜ ∫ ⎟ ⎝ u(x) ⎠

Exemplo 4.8: Sendo F ( x ) =

x2

1 ∫ 2 t − 4 dt , determine F ′(x ). −x 2

⎛ x t +1 ⎞ ⎜ e dt ⎟ ⎜∫ ⎟ 1 ⎝ ⎠ = 0. Exemplo 4.9: Prove que lim x →1 x2 −1 2

2⎛ ⎜

⎞ x ⎜ ∫ e −t dt ⎟⎟ ⎠ = 1. Exemplo 4.10: Mostre que lim ⎝ 0 3 x →0 ex −1 x

3.5. Mudança de variável no integral definido Teorema 5.1: Teorema da mudança de variável

Seja f uma função integrável no intervalo I ⊆ IR e a, b ∈ I . Seja ainda, g : [c, d ] → I uma função com derivada contínua tal que g (t ) = x com g (c ) = a e g (d ) = b , então b

d

a

c

∫ f (x ) dx = ∫ f (g (t )) ⋅ g ′(t ) dt .

10

ln

Exemplo 5.2: Calcule

( 3) ex

∫ 0

1 + e2 x

dx , usando a mudança de

variável t = e x .

3.6. Aplicações geométricas do integral ao cálculo de áreas de regiões planas Definição 6.1: Seja f uma função contínua e não negativa no

[a, b] .

intervalo

A

área

da

região

{

definida

R

por

}

R = ( x, y ) ∈ IR 2 : a ≤ x ≤ b ∧ 0 ≤ y ≤ f ( x ) é dada por b

A(R ) = ∫ f ( x ) dx . a

Definição 6.2: Sejam f e g duas funções contínuas no intervalo

[a, b]

tais que g ( x ) ≤ f ( x ), ∀x ∈ [a, b], e seja R a região definida

{

}

por R = ( x, y ) ∈ IR 2 : a ≤ x ≤ b ∧ g ( x ) ≤ y ≤ f ( x ) . A área da região R é dada por b

A(R ) = ∫ [ f ( x ) − g ( x )]dx . a

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Exemplo 6.3: Determine a área da região limitada pelos gráficos

de y + x 2 = 6 e y + 2 x − 3 = 0 .

Por vezes, o cálculo de áreas de regiões planas torna-se mais simples se efectuarmos a integração em relação à variável y, ou seja, considerando que y é a variável independente e que x é uma função de y.

12

Definição 6.4: Sejam x = f ( y ) e x = g ( y ) duas funções

contínuas tais que f ( y ) ≥ g ( y ), ∀y ∈ [c, d ]. A área da região R limitada pelos gráficos de f, g e pelas rectas y = c e y = d é dada por d

A(R ) = ∫ [ f ( y ) − g ( y )]dy . c

Exemplo 6.5: Calcule a área da região limitada pelos gráficos das

curvas definidas pelas equações 2 y 2 = x + 4 e x = y 2 .

13

3.7. Integrais impróprios Nesta secção, vamos proceder ao alargamento do conceito de integral. Além dos integrais definidos, vamos considerar os integrais em que o intervalo de integração é ilimitado ou/e a função integranda não é limitada.

Estes novos integrais são designados por integrais impróprios.

Se a função integranda é positiva, o integral impróprio, de f poderá corresponder à área de uma região plana ilimitada.

3.7.1. Integrais impróprios de 1ª espécie Os integrais impróprios de 1ª espécie são aqueles em que o intervalo de integração é ilimitado, isto é, são da forma: +∞

∫ f (x ) dx ; a

b

+∞

−∞

−∞

∫ f (x ) dx ; +∞

Por exemplo os integrais

∫x 1

∫ f (x )dx .

+∞ 2

dx e

∫ (x + 3)

2

dx são impróprios

−∞

de 1ª espécie.

14

3.7.1.1. Integral de uma função contínua em [a,+∞[ ,

a ∈ IR (respectivamente em ]− ∞, b], b ∈ IR ). Definição 7.1: Se f é uma função contínua em [a,+∞[ , (resp. em

]− ∞, b] ), então +∞

t

∫ f (x ) dx = t lim ∫ f (x )dx , →+∞

(resp.

a

a

b

b

−∞

t

∫ f (x )dx = t →lim−∞ ∫ f (x )dx ),

desde que o limite exista.

Definição 7.2: Se, na definição 1.1, o limite existir e for finito,

diz-se que o integral é convergente. Se o limite não existir ou for infinito, diz-se que o integral é divergente. Exemplo 7.3: Analise a convergência dos seguintes integrais: +∞

(1)

0

(2) ∫ xe − x dx .

∫ sen x dx ;

2

−∞

0

3.7.1.1. Integral de uma função contínua em ] − ∞,+∞[ . +∞

Para analisar a natureza do integral impróprio

∫ f (x ) dx , onde f é

−∞

uma função contínua em IR, escreve-se +∞

c

+∞

−∞

−∞

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx , com c ∈ IR ,

e estuda-se os integrais impróprios

c

+∞

−∞

c

∫ f (x )dx e ∫ f (x )dx .

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O teorema seguinte permite tirar conclusões acerca da natureza do +∞

∫ f (x )dx .

−∞

Teorema 7.4: (i)

A soma de dois integrais convergentes é convergente.

(ii) A soma de um integral convergente e de um integral

divergente é divergente. +∞

Exemplo 7.5: Determine a natureza

∫e

−a x

dx , com a>0.

−∞

3.7.2. Integrais impróprios de 2ª espécie Os integrais impróprios de 2ª espécie são aqueles em que a função integranda é ilimitada. 3.7.2.1. Integral de uma função contínua em [a, b[ , (respectivamente em ]a, b] ), a, b ∈ IR Definição 7.6:

(i)

Se f é contínua em [a, b[ e lim− f ( x ) = ±∞ , então x →b

b

t

∫ f (x )dx = tlim ∫ f (x )dx , desde que o limite exista. →b −

a

a

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(ii) Se f é contínua em ]a, b] e lim+ f ( x ) = ±∞ , então x →a

b

b

∫ f (x )dx = tlim ∫ f (x )dx , desde que o limite exista. →a +

a

t

Se os limites anteriores existirem e forem finitos, diz-se que o b

integral impróprio de 2ª espécie

∫ f (x )dx

é convergente, caso

a

contrário diz-se que o integral é divergente.

Exemplo 7.7: Analise a convergência dos seguintes integrais: 1

(1)

∫ 0

2

dx ; 1− x

(2)

3x ∫ x 2 − 4 dx . 0

3.7.2.2. Integral de uma função contínua em ]a, b[ , (resp.

[a, b] \ {c}), a, b, c ∈ IR . Definição 7.8:

(i)

Se

f

é

contínua

em

]a, b[

e,

lim f ( x ) = ±∞

e

x →a +

lim f ( x ) = ±∞ , então

x →b − b

c

b

a

a

c

c

t

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = tlim ∫ f (x )dx + tlim ∫ f (x )dx , →b →a −

+

t

c

desde que os limites existam. (ii)

Se f é contínua em [a, b] \ {c} e lim± f ( x ) = ±∞ , então x →c

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b

c

b

a

a

c

∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx t

b

= lim ∫ f ( x )dx + lim ∫ f ( x )dx , t →c t →c −

+

a

t

desde que os limites existam. b

Se os limites anteriores existirem e forem finitos, diz-se

∫ f (x )dx a

é convergente, caso contrário diz-se que o integral é divergente.

2

1 dx . x −2

Exemplo 7.9: Analise a convergência do integral ∫

Definição 7.10: Ao integral impróprio que pode ser decomposto

numa soma finita de integrais impróprios de 1ª e 2ª espécie, chama-se integral impróprio misto ou integrais de 3ª espécie.

O integral misto será convergente se e só se, nesta decomposição todos os integrais são convergentes e será divergente se pelo menos um integral é divergente. +∞

Por exemplo o integral

∫

−1

1 dx é impróprio misto. x2

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