Calculo Integral. Metodos De Integracion..docx

CALCULO INTEGRAL

TRABAJO INDIVIDUAL

UNIDAD 2: TAREA 2 - MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

GRUPO: 100411_183

PRESENTADO POR. EVELIO RAMIRO BASTIDAS. COD. 13065877

PRESENTADO A. EDGAR RODRIGO ENRIQUEZ ROSERO TUTOR

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS, CONTABLES, ECONOMICAS Y DE NEGOCIOS MARZO /2019

INTRODUCCION

La integración es el proceso contrario de la derivación, y su desarrollo consiste en el cálculo de las anti derivadas, para este cálculo se utilizan diversos métodos y técnicas, entre las cuales están: la integración directa, integración por sustitución, integración por partes, integración por funciones trigonométricas, integración por sustitución trigonométrica, integración por fracciones parciales. En el presente trabajo permite poner en práctica los conocimientos adquiridos en la unidad 2 del curso de cálculo integral, para el desarrollo de problemas con integrales a través del uso de las técnicas antes mencionadas.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD Tipo de ejercicios 1 – Integración por sustitución. Ejercicio a. ∫

𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 8 + 𝑒 2𝑥

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 8 + e2x 𝑑𝑢 𝑑(8 + 𝑒 2𝑥 ) = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 2𝑥 . 𝑑𝑥 2 ∫

→

𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒

𝑒 2𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ ( ) (𝑒 2𝑥 𝑑𝑥) 2𝑥 8+𝑒 8 + 𝑒 2𝑥

1 𝑑𝑢 = ∫ . 𝑢 2

→

𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

=

1 1 ∫ . 𝑑𝑢 2 𝑢

=

1 𝑙𝑛. 𝑢 + 𝑐 2

=

1 𝑙𝑛(8 + 𝑒 2𝑥 ) + 𝑐 2

Tipo de ejercicios 2 – Integración por partes. Ejercicio a.

∫

𝑙𝑛𝑥 3

√𝑥

𝑑𝑥

→

𝑠𝑒 𝑒𝑙𝑒𝑣𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎.

𝑙𝑛𝑥 𝑙𝑛. 𝑥 ∫ 3 𝑑𝑥 = ∫ 1 𝑑𝑥 √𝑥 𝑥 ⁄3 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑙𝑛. 𝑥

1

𝑥 − ⁄3+1 → 𝑣= 1 −3 + 1

𝑑𝑣 1 = 𝑥 − ⁄3 𝑑𝑥

→

𝑣=

𝑥

𝑑𝑢 1 = 𝑑𝑥 𝑥

→

2⁄ 3

2 3

→

𝑣=

∫ 𝑢. 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣𝑑𝑢

3 2⁄ 𝑥 3 2

→

𝑓𝑜𝑟𝑚𝑢𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠.

𝑅𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑢 𝑦 𝑣 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 ∫

=

𝑙𝑛. 𝑥

3 2 3 2 1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛. 𝑥 ( 𝑥 ⁄3 ) − ∫ 𝑥 ⁄3 . 2 2 𝑥 √𝑥

3

3 2⁄ 3 1 𝑥 3 . 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑥 − ⁄3 2 2 1

3 2 3 𝑥 − ⁄3+1 = 𝑥 ⁄3 . 𝑙𝑛𝑥 − ( ) 2 2 −1 + 1 3 2

3 2 3 𝑥 ⁄3 = 𝑥 ⁄3 . 𝑙𝑛𝑥 − 2 2 2 3 =

3 2⁄ 9 2 𝑥 3 . 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 ⁄3 2 4

=

3 3 2 9 3 √𝑥 𝑙𝑛𝑥 − √𝑥 2 2 4

=

3 3 2 3 √𝑥 (𝑙𝑛𝑥 − ) 2 2

=

3 3 2 2𝑙𝑛𝑥 − 3 √𝑥 ( ) 2 2

=

33 2 √𝑥 (2𝑙𝑛𝑥 − 3) 4

Tipo de ejercicios 3 – Sustitución Trigonométrica y Fracciones parciales. Ejercicio a.



x2  1 dx x2

𝑅𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑒𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠.

X ∅

1 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =

𝑡𝑎𝑛𝜃 =

1

→ √𝑥 2 + 1 =

√𝑥 2 + 1

𝑥 1

→

𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

𝑑𝑥 𝑑(𝑡𝑎𝑛𝜃) = 𝑑𝜃 𝑑𝜃

→

→

1 → √𝑥 2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑥 2 = 𝑡𝑎𝑛2 𝜃

𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 𝑑𝜃

→ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃. 𝑑𝜃

∫

𝑠𝑒𝑐𝜃 √𝑥 2 + 1 𝑑𝑥 = ∫ . 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃. 𝑑𝜃 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛 2𝜃

𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 =∫ 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 ∫

𝑠𝑒𝑐 3 𝜃 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 − 1

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 𝑠𝑒𝑐𝜃 ( ) = ∫ (𝑠𝑒𝑐𝜃 + ) 𝑑𝜃 𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑠𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 = 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑑𝜃 + ∫

𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 𝑡𝑎𝑛2 − 1

= 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑑𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑐 𝑠 𝑐 𝜃 𝑑𝜃

== 𝑠𝑒𝑐𝜃. 𝑑𝜃 − ∫ −𝑐𝑜𝑡𝜃 𝑐 𝑠 𝑐 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝜃 + 𝑡𝑎𝑛𝜃| − 𝑐 𝑠 𝑐 𝜃 + 𝑐 = ln |√𝑥 2 + 1 + 𝑥| −

√𝑥 2 + 1 +𝑐 𝑥

Tipo de ejercicios 4 – Integral Impropias. Ejercicio a. 0

0

∫ −𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 −∞

𝑠𝑒𝑎

−∞ 0

= − lim ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑎→∞ 𝑎

𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠

∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥 3 →

𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 𝑎𝑠𝑖

𝑑𝑢 = 3𝑥 2 ; 𝑑𝑥

∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 = 𝑥 3 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 (3𝑥 2 )𝑑𝑥

= 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 → 𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥

𝑎 = −∞

= 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3 [𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫(𝑒 𝑥 2𝑥)𝑑𝑥]

= 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 𝑒 𝑥 + 3 ∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 𝑒 𝑥 + 6 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥

= 𝑥 3 𝑒 𝑥 − 3𝑥 2 𝑒 𝑥 + 6 [𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥] = 𝑥 3 𝑥 𝑥 − 3𝑥 2 𝑒 𝑥 + 6𝑥𝑒 𝑥 − 6𝑒 𝑥 + 𝐶 = 𝑒 𝑥 (𝑥 3 − 3𝑥 2 + 6𝑥 − 6) + 𝐶 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 0

0 3 𝑥

∫ −𝑥 𝑒 𝑑𝑥 = − ∫ ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 −∞

𝑠𝑒𝑎 𝑎 = −∞

−∞ 0

= − [ 𝑙𝑖𝑚 ∫𝑎 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ] 𝑎→−∞

0

= − [ 𝑙𝑖𝑚

𝑎→−∞

[𝑒 𝑥 (𝑥 3

2

− 3𝑥 + 6𝑥 − 6)]] a

= − [ 𝑙𝑖𝑚 [(𝑒 0 (03 − 3(0)2 6(0) − 6) − (𝑒 𝑎 (𝑎3 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 6)] 𝑎→−∞

= − { 𝑙𝑖𝑚 [(−6) − 𝑒 𝑎 (𝑎3 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 6)] 𝑎→−∞

= 6 + 𝑙𝑖𝑚 𝑒 𝑎 (𝑎3 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 6) 𝑎→−∞

= 6 + 𝑙𝑖𝑚

𝑎→−∞

𝑎3 − 3𝑎2 + 6𝑎 − 6 𝑒 −𝑎

=6+0 =6 𝐸𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑙𝑜 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝐿′ 𝐻𝑜𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒.