Calculo 3 1 E

Informates.edu

Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

3. Derivaci´ on de funciones de una variable 3.1. La derivada

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Una funci´on continua en un intervalo es derivable en todos sus puntos del interior. (b) Una funci´on es derivable en un punto si es continua y existen sus derivadas laterales en el punto. (c) Si una funci´on es continua en un punto, entonces es derivable en el punto. (d) Si una funci´on es derivable en un punto, entonces es continua en el punto. (e) La funci´on derivada es siempre continua. (f ) Los polinomios admiten infinitas derivadas. (g) Si una funci´on es derivable infinitas veces, entonces es un polinomio. 2. Demuestra que si (x − a)2 es un factor del polinomio p(x), entonces x − a es un factor de p0 (x). 3. Halla las derivadas de las funciones hiperb´olicas (seno, coseno y tangente). 4. Usando la f´ormula de la derivada de la funci´on inversa, halla la derivada de las siguientes funciones: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcsinh x, y = arccosh x e y = arctanh x. 5. Estudia la derivabilidad de las siguientes funciones en el punto que se indica: ( p x2 , si x < 1 3 (a) f (x) = |x| , en x = 0 (b) f (x) = , en x = 1 3x − 2 , si x ≥ 1 6. Halla la funci´on derivada, y estudia su continuidad, de: ( ¯ ¯ x + x2 sin x1 , si x 6= 0 f (x) = g(x) = ¯1 − x2 ¯ 0 , si x = 0 7. Determina los par´ametros para   ln x f (x) = ax2 + bx + c   3−x

¯ ¯ h(x) = ¯x3 − 4x¯

que sean derivables las funciones: , si 0 < x ≤ 1 , si 1 < x ≤ 3 , si x > 3

( g(x) =

x2 , si 0 ≤ x ≤ 2 ax + b , si 2 < x ≤ 4

√ √ tan x x + 1 arccos(x + 1); (b) y = 2x arctan x − ln 1 + 4x2 ; (c) y = ln 1+2 2+tan x . √ √ 9. Halla la derivada de y respecto de x en: (a) x2 + 2xy − y 2 = 2x; (b) x + sin y = xy; (c) x + y = 1. 8. Deriva y simplifica: (a) y =

10. Halla la derivada segunda de y respecto de x en: (a) 7x + 5y 2 = 1; (b) 4x2 − 3y 2 = 9. 11. Halla la derivada de la funci´on y = (1 + x)ln(1+x) . 12. Halla la ecuaci´on de la recta tangente a las siguientes curvas en el punto que se indica: (a) x2 + y 2 = 13 ¡ ¢2 en (−2, 3); (b) x2 + y 2 = 4x2 y en (1, 1); (c) sin(x − y) = xy en (0, π); (d) 2x3 + 2y 3 − 9xy = 0 en (2, 1). 13. Estudia el movimiento de un objeto que se mueve, a partir del instante t = 0, sobre un eje donde su posici´on viene dada en cada instante por la ecuaci´on: (a) x(t) = t3 −3t2 +3t; (b) x(t) = t4 −4t3 +6t2 −6t−5. 14. Un barco navega por el oc´eano con rumbo sur y direcci´on hacia puerto a una velocidad de 40 km/h. Otro barco se aleja del puerto en direcci´on oeste a una velocidad de 20 km/h. Al mediod´ıa, el primer barco se halla a 150 km del puerto y el segundo a 65 km. ¿A qu´e ritmo cambia la distancia entre los dos barcos? Comprueba si se acercan o se alejan entre s´ı.

Informates.edu

Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

15. Una part´ıcula se mueve sobre la curva y = cos(1 + 2x), siendo su abscisa x(t) = t2 + 1 en el instante de tiempo t. ¿Con qu´e velocidad se desplaza en las direcciones horizontal y vertical en t = 2? 16. Se deja caer una piedra desde una altura de 500 m. ¿Cu´antos segundos tardar´a en alcanzar el suelo? ¿Cu´al es su velocidad en el momento del impacto? 17. La superficie total de un cilindro circular recto de radio r y altura h viene dada por la f´ormula A = 2πr(r + h). Halla la velocidad de variaci´ on de: (a) A respecto de h cuando r permanece constante; (b) A respecto de r cuando h permanece constante; y (c) de h respecto de r cuando A permanece constante. 18. La arista de un cubo decrece a una velocidad de 3 cm/s. ¿C´omo cambia el volumen del cubo cuando la arista mide 10 cm.? 19. Un bal´on se infla de tal forma que su volumen crece a raz´on de 36π cm3 /s. Halla la velocidad de crecimiento de radio cuando mide 3 cm. ³ √ ´ 20. Una part´ıcula se mueve en la ´orbita circular x2 + y 2 = 1. Cuando pasa por el punto 12 , 23 su ordenada disminuye a raz´on de 3 unidades por segundo. ¿Con qu´e rapidez var´ıa su abscisa? 21. Una nave espacial se lanza verticalmente, siendo h = 15t2 metros su altura a los t segundos del lanzamiento. Para un observador que se encuentra a un kil´ometro del lugar del lanzamiento, ¿a qu´e ritmo cambia el ´angulo de elevaci´on de la nave 10 segundos despu´es del despegue? 22. Un dep´osito con forma de cono invertido se llena a raz´on de 250 l/min. La altura del dep´osito es de 7, 5 m y el radio de la parte superior de 3, 5 m ¿Con qu´e rapidez sube el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 m? ¿Y cuando el agua se desborda? 23. En un lago en calma se deja caer una piedra que provoca ondas circulares. Si el radio del c´ırculo exterior aumenta a una velocidad de 0, 2 m/s, ¿a qu´e velocidad cambia el ´area de la regi´on perturbada cuando el radio es de 2 m? 24. Un hombre de 1, 80 m de altura camina a 1 m/s alej´andose de una farola cuya luz est´a a 6 m de altura. (a) ¿A qu´e velocidad se mueve el extremo de su sombra?; (b) ¿A qu´e velocidad cambia la longitud de su sombra? 25. La cantidad de cafe´ına en sangre, en miligramos por cent´ımetro c´ ubico, a las t horas de haber ingerido un caf´e, viene dada por la funci´on c(t) = √t21+1 . ¿Cu´al es la velocidad de eliminaci´on de la cafe´ına a la hora de haber ingerido el caf´e? ¿Y a las cinco horas? ¿C´omo evoluciona la velocidad con el tiempo? 26. La funci´on f (x) = x1 cambia de valor cuando x pasa de valer 0, 5 a valer 0, 6. Calcula: (a) el incremento exacto ∆f que se produce en el valor de la funci´on; (b) el valor de la diferencial df en 0, 5 con un incremento h = ∆x = 0, 1; (c) el error cometido al estimar ∆f mediante df . √ 27. Estima, mediante diferenciales, los valores de las siguientes expresiones: (a) 3 1010; (b) 333/5 . 28. El di´ametro de una bola de acero mide 16 cm con un error m´aximo de 0, 3 cm. Calcula mediante diferenciales el error m´aximo cometido en el c´alculo de su superficie (S = 4πr2 ) y en el c´alculo de su volumen (V = 43 πr3 ). 29. Un avi´on se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (se supone la Tierra plana). La ruta de vuelo pasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avi´ on y el punto P disminuye a raz´on de 4 km/min en el instante en que esta distancia es de 10 km. Calcula la velocidad del avi´ on en ese instante (en km/h). 30. Aplicando el m´etodo de Newton-Raphson a partir del punto que se indica, halla una ra´ız aproximada de cada una de las siguientes ecuaciones, justificando la aproximaci´ on obtenida. (a) x3 − 4x + 1 = 0 , x1 = 2

(b) cos x = x , x1 = 1