Calculo 3

HERRAMIENTA PEDAGOGICA DE APOYO PARA EL BACHILLERATO DEPARTAMENTO DE PUBLICACIONES GUIA DE TRABAJO No 3 AREA DE MATEMATICAS CALCULO CICLO VI

Elaborada por ERNESTO CAMPOS

BOGOTA D.C

1

DATOS DEL ESTUDIANTE

NOMBRE DEL ESTUDIANTE

: ________________________ _________________________

CICLO

: ________________________

JORNADA

: MARTES Y MIERCOLES ( ) JUEVES Y VIERNES( ) SABADOS ( ) DOMINGOS ( )

NOMBRE DEL PROFESOR

: ________________________

FECHA

: DEL __________ AL _______

CALIFICACION

: ________________________

_____________________ FIRMA DEL PROFESOR

2

La función f tiene por asíntota horizontal la recta de ecuación y=b cuando al menos uno de los límites laterales de la función tiende a dicho punto y vale o -. Así

Para determinar las asíntotas horizontales de una función hay que calcular, cuando exista, el límite de f(x) cuando x tiende a ∞ o a - ∞ . Los valores de estos límites determinan las asíntotas horizontales

Ejemplo: la función

x2 f ( x) = 2 x − 25

tiene asíntota horizontal en x= 1

2 x porque = 1. lim 2 x → ∞ x − 25

La función f tiene por asíntota vertical la recta de ecuación x=a cuando al menos uno de los límites laterales de la función, tiende a dicho punto y vale o -, Así:

3

Ejemplo: la función

-5

x2 f ( x) = 2 x − 25

tiene asíntota vertical en x= 5 y en x=

2 2 x x porque = ∞ , y lim 2 =∞ lim 2 x → 5 x − 25 x → −5 x − 25

Para hacer la gráfica ubicamos las asíntotas y le damos valores a la variable x para obtener los valores de y. La gráfica quedaría de esta forma:

La recta y=mx+b es la ecuación de la asíntota oblicua de f(x), si m=y b = y estos límites existen y m≠0

Ejemplo: Determinar sí

x2 − 3 tiene asíntota oblicua. f ( x) = − 5 − 2x

1. Calculamos m determinando el limite cuando x tiende a infinito de

lim x →∞

f ( x) x

x2 − 3 f ( x) − 5 − 2 x x2 − 3 1 = = lim = = −1 / 2 2 x x − 5 x − 2 x − 2 x →∞

4

2. Calculamos b determinando el limite cuando x tiende a infinito de f(x) - mx

lim ( x →∞

 x2 − 3  1  f ( x ) − mx ) = lim  −  − x    2  x →∞  − 5 − 2 x

 x2 − 3  2 x 2 − 6 − 5x − 2 x 2  x   +  = lim  lim 2  x →∞  − 10 − 4 x x →∞  − 5 − 2 x   − 6 − 5x  − 5 5 = lim  = = −4 4 x →∞  − 10 − 4 x  La ecuación de la recta oblicua asíntota es

y = mx + b , en este caso es

−1 5 y= x+ 2 4 La gráfica es:

5

EJERCICIOS. Hallar todas las asíntotas de cada función. Luego trazar las gráficas:

1.

2.

3.

4.

5.

4x2 f ( x) = 2 x −9 5x 2 + 4 f ( x) = x +1 x f ( x) = x 2 − 16 x f ( x) = x2 + 4x + 4 x3 − 2 f ( x) = 2 x +1

6

SUCESIONES MONÓTONAS. Una sucesión es monótona si es creciente o

decreciente

1. Sucesiones crecientes. Una sucesión es creciente si cada término de la sucesión es mayor que el anterior 2. Sucesiones decrecientes. Una sucesión es decreciente si cada término es menor que el anterior SUCESIONES NO MONOTONAS O ALTERNANTE . Una sucesión es no decreciente

monótona o alternante si no es creciente ni

SUCESIONES CONVERGENTES. Una sucesión es convergente si es posible hallar el valor al cual se acerca xn, cuando n es muy grande, es decir cuando el limite cuando n tiende a infinito de la sucesión existe. SUCESIONES DIVERGENTES. Una sucesión es divergente si no es posible hallar un valor al cual se acerca xn, cuando n sea muy grande, es decir cuando el limite cuando n tiende a infinito de la sucesión es infinito

Clasificar las siguientes sucesiones y determinar el límite si es posible.

an

n ( − 1) =

2n

−1 1 −1 1 −1  a n =  , , , , ,....  2 4 6 8 10 

Esta sucesión no es creciente ni decreciente, por lo tanto es nomonótona o alternante. Por ser alternante no es convergente ni divergente y por lo tanto no se puede7

bn = ( 2 )

n −1

bn = {1,2,4,8,16,32,.....}

Esta sucesión es monótona creciente A medida que n tiende a infinito la sucesión también tiende a infinito, por lo tanto es divergente.

cn = 3 − n

{

}

cn = − 1,−3 2 ,−3 3,−3 4 ,−3 5 ,−3 6 ,−3 7 ,−2,.......

Esta sucesión es monótona decreciente. A medida que n tiende a infinito, la sucesión tiende a menos infinito, por lo tanto es divergente

8

dn =

2n − 1 n

19 199 1999 1999999   3 5 7 9 d n = 1, , , , ,....... ,...... ,..... ,.... ,.... 2 3 4 5 10 100 1000 1000000   d n = {1,1.5,1.66,1.75,1.8,....1.9,....1.99,....1.999,...1.999999,...} Esta sucesión es monótona creciente. A medida que n tiende a infinito, la sucesión tiende a dos, aunque nunca va a ser dos, por lo tanto es convergente

EJERCICIOS

Clasificar cada una de las siguientes sucesiones y determinar el límite si es posible: 1.

an =

3n n2

2. bn = ( 3n 2 − 4n ) .

9

 4n − 1    2n + 3 

3. c n = 

 5n 2 − 1 

4. d n =   2   3− n 

(

5. en = 5 − 3n 2

)

10

Para hallar el límite de una función en un punto dado, se puede hacer por

f ( x ) = f ( a ) Ejemplo simple sustitución. Es decir lim x →a

Dada la función y = 2 x 2 + 1 ,

2

y=2x +1

observamos que cuando x tiende a 2,

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

-4

-2

la función tiende a tomar el valor de 9 Este límite puede evaluarse por simple inspección, es decir se reemplaza a x por dos y obtenemos el valor del límite. 0

2

4

lim 2 x 2 + 1 = 2( 2 ) + 1 = 8 + 1 = 9 2

x →2

En algunos casos cuando se sustituye el límite no existe. Ejemplo:

Si reemplazamos por 1 nos da 1/0 y en ese caso el límite no existe, pues la función tiende a infinito Podemos decir:

11

lim x →1

1 = ∞, x −1

o, lim x →1

1 no existe x −1

En algunos casos, cuando se reemplaza el valor de la variable en la cual se quiere hallar el límite en la función se obtiene una indeterminación, es ese caso es necesario factorizar para eliminar la indeterminación y poder resolver el límite. Ejemplo:

2 x 2 − 5x + 2 x →2 x−2

1. Calcular: lim

Si reemplazamos por dos obtenemos:

2( 2 ) − 5( 2 ) + 2 8 − 10 + 2 0 = = ( 2) − 2 2−2 0 2

Cuando al reemplazar el resultado es 0/0 esta es una indeterminación y por lo tanto tenemos que factorizar para eliminar la indeterminación. Factorizamos, es un trinomio de la forma ax 2 + bx + c

[

]

2 2 x 2 − 5 x + 2 4 x 2 − 5( 2) x + 4 ( 2 x − 4 )( 2 x − 1) = = = ( x − 2 )( 2 x − 1) Reemplazando en 2 2 2

el límite obtenemos:

( x − 2 )( 2 x − 1) = lim 2 x − 1 = 2( 2) − 1 = 3 2 x 2 − 5x + 2 = lim x →2 x →2 x →2 x−2 x−2

lim

12

2. Calcular

lim x →4

x − 4 si reemplazamos por 4 obtenemos: x−4

x− 4 4 − 4 0 , como al reemplazar el resultado obtenemos 0/0 y = = x−4 4−4 0

lim x →4

esta expresión no se puede factorizar, entonces se debe racionalizar para eliminar la indeterminación. Para racionalizar una expresión con radicales se multiplica por el conjugado de las raíces

 x − 4  x + 4  x− 4 x−4 1   = lim = lim = lim = x →4 x →4 x−4 x+ 4  x − 4  x + 4  x → 4 ( x − 4 ) x + 4

lim

(

x →4

)

1 1 = 4+ 4 4

EJERCICIOS

Resolver cada uno de los límites justificando en cada uno de los pasos los procesos utilizados. PROCESO 1.

lim 3 x

2.

lim 4 x 3 − 6 x + 3

JUSTIFICACIÓN

x →4

x →7

13

PROCESO

3.

JUSTIFICACIÓN

lim x 2 − 1

x → −1

4.

x2 + 4 lim x →2 x−2

5.

x2 + 2x − 3 lim 2 x →1 x − 5 x + 4

14

PROCESO

6.

x 3 − 64 lim 2 x → 4 x − 16

7.

x 2 − 25 lim 2 x → 5 x − 8 x + 15

8.

lim x →2

JUSTIFICACIÓN

x− 2 x2 − 4

15

PROCESO

9.

3 ( x + h) − x3 lim

10.

lim

x →0

JUSTIFICACIÓN

h

x −3 x → 9 x 2 − 81

16

PROCESO 2

JUSTIFICACIÓN

4 x − 16 x x→4 x −2

11.

lim

12.

lim x →7

x− 7 x−7

17

PROCESO

x+3 − 3 x+2− 2

13.

lim

14.

x 2 − 2 x − 35 lim x → −5 x 2 + 3 x − 10

x →0

JUSTIFICACIÓN

18