Calculo 1 1 E

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Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1. Conjuntos de n´ umeros 1.1. N´ umeros reales

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) No es posible encontrar un n´ umero irracional del que se conozcan todas sus cifras decimales. (b) La suma de un n´ umero racional con otro irracional es irracional. umeros irracionales es irracional. (c) La suma de dos n´ (d) El producto de dos n´ umeros irracionales es irracional. umeros reales distintos hay infinitos racionales e infinitos irracionales. (e) Entre cada dos n´ 2. Encuentra un n´ umero tal que su cuadrado sea irracional y su cubo racional. ¿Puede ser racional? 3. Sean x e y dos n´ umeros reales positivos distintos tales que su producto y su cociente son racionales. ¿Han de ser x e y racionales? 4. Transforma las siguientes expresiones en otras equivalentes que no contengan valores absolutos: (c)

(b) x − |x − |x||

(d) ||x| − 1|

5. Calcula: (a)

∞ \

(−n, n)

n=1

¯ ¯ (g) ¯x2 − 3x − 4¯ ¯ ¯ (h) ¯x − 1 − x2 ¯

¯ ¯ (e) ¯x2 − 2¯ + x

|x − 1| |x + 8|

(a) |x| + |x − 1|

(f ) |x| − |x|2

¶ ∞ µ \ 1 1 (b) 2 − ,2 + n n n=1

(c)

∞ · [ n=1

1 1 1 + ,2 + n n

¶

6. Calcula, si existen, cotas superiores e inferiores, supremo e ´ınfimo, y m´aximo y m´ınimo, de los conjuntos: ½ ¾ © ª 1 2 (a) {2, 2.2, 2.22, 2.222, . . .} (c) x ∈ R : x + x + 1 ≥ 0 (e) : n∈N n ½ ¾ © ª 1 2 (b) {±0.9, ±0.99, ±0.999, . . .} (d) x ∈ R : x + x − 1 ≤ 0 (f ) : n ∈ Z \ {0} n 7. Demuestra que para todo x ∈ R se cumple que: ¯ ¯ ¯ 1 1 ¯¯ ¯ ¯ x2 + 2 + 2 + |x| ¯ ≤ 1 8. Demuestra que si |x| ≤ 1 entonces:

¯ 3 ¯ ¯x + x2 − 3x + 5¯ ≤ 10

9. Resuelve las siguientes inecuaciones, representando su soluci´on en la recta real: (a) 0 < |x − 3| < 5

(c) (x + 2)2 ≥ 9

(b) |3x + 1| ≥ 1

(d) |2x + 5| > |3x + 1|

(e) |x + 3| + |x − 1| > 8

(g) ||x + 3| − |x − 1|| < 2 ¯ ¯ (f ) |x + 3| + |x − 1| < 3 (h) ¯x2 − 2x¯ − x ≤ 0

10. Prueba que, para cualesquiera a, b ∈ R, se cumple que: ab ≤

a2 + b2 2

11. Usando la f´ormula obtenida en el problema anterior, prueba que si 0 ≤ a ≤ b, entonces: √ a+b a ≤ ab ≤ ≤b 2 es decir, que la media aritm´etica de dos n´ umeros positivos es mayor o igual que su media geom´etrica, y que ambos valores est´an comprendidos entre ellos.