Calculo 1 2 E

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Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

1. Conjuntos de n´ umeros 1.2. N´ umeros complejos

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) Los n´ umeros reales no son complejos. (b) Los n´ umeros complejos de m´odulo 1 son menores que los n´ umeros complejos de m´odulo 2. (c) El inverso de un n´ umero real es complejo. (d) Si |z| < |w| entonces z < w. (e) Las ra´ıces en´esimas de un n´ umero complejo tienen todas el mismo m´odulo. (f ) Las ra´ıces de la ecuaci´on z 5 + 2i = 0 son los v´ertices de un pent´ agono regular. (g) Todo polinomio de grado impar tienen al menos una ra´ız real. 2. Opera y simplifica cada una de las siguientes expresiones complejas: (a) i2723

(c) (2 − 3i)(1 + i) − (1 + 2i)2

(b) i−221

(d) (3 − 2i)(1 + 3i)(2 − i)

3. Calcula: (a)

P100

k=0 i

k;

(b)

2i(3 + i) + (1 − i)(2 + i) i3 (1 + 2i) i + i2 + i3 + i4 + i5 (f ) 1+i

(e)

(g) (2 − i)5 (h)

(1 + i)3 (1 − i)3

√ 5 + 12i.

4. Resuelve en C las ecuaciones: (a)

z 3z − i 3−i + = 3; (b) = 4 + 2i; (c) x2 + 2x + 5 = 0. 2+i 2−i z

5. Halla, en cada caso, el valor de a ∈ R para que el n´ umero complejo z = (b) Est´e sobre la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes.

a+3i 1+i :

(a) Sea imaginario puro;

umeros complejos tales que su suma es un n´ umero real, su diferencia y cociente sean 6. Encuentra dos n´ imaginarios puros, y su producto sea igual a 2. ¯ ¯ ¯ ¯ 7. Halla a ∈ R para que: ¯ a+2i 1−i ¯ = 2. 8. Expresa en forma polar y exponencial los n´ umeros complejos: 3 + 3i, −1 + √ 9. Calcula: (a) (1 + i)20 ; (b) ( 3 − i)30 .

√ √ 3i, −1, −2i y −2 − 2 3i.

10. Dos v´ertices consecutivos de un cuadrado son O(0, 0) y A(4, 1). Halla sus otros dos v´ertices. ¿Es u ´nico? 11. Halla todos los complejos z ∈ C tales que z 3 − |z|2 = 0. p √ √ √ √ √ √ 6 12. Halla las siguientes ra´ıces: (a) 3 1; (b) 3 i; (c) 4 −1; (d) 1 − i; (e) 3 1 + i; (f ) 1 − 3i. 13. Halla la suma y el producto de las ra´ıces en´esimas de la unidad. 14. ¿Qu´e curva o conjunto geom´etrico representa cada una de las siguientes igualdades o desigualdades? (a) |z − 1 + 2i| = 3

(b) |z − i| < |z + i|

(c) |z − i| + |z + i| = 4

(d) ||z − 2| − |z + 2|| = 2

Encuentra sus ecuaciones en forma cartesiana. 15. Halla el lugar geom´etrico de todos los n´ umeros complejos de la forma: z = existen, los que se encuentran sobre la recta x + 2y − 1 = 0.

a−i 1+i ,

a ∈ R. Encuentra, si

16. Sabiendo que 1 + i es soluci´on de z 4 − 4z 3 + 5z 2 − 2z − 2 = 0, calcula todas sus ra´ıces. 17. Estudia si la ecuaci´on ax5 + bx4 + cx3 − ix2 − i = 0, con a, b, c ∈ R, tiene soluciones reales.