Calculo 2 1 E

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2. Funciones reales de una variable real 2.1. Conceptos b´ asicos

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El producto de dos funciones pares es una funci´on par. (b) El producto de dos funciones impares es una funci´on impar. (c) El producto de una funci´on par por otra impar es una funci´on impar. (d) La suma de dos funciones impares es una funci´on par. (e) La suma de una funci´on par con otra impar es una funci´on impar. (f ) La funci´on y = |f (x)| es siempre par. 2. Halla el dominio de cada una de las siguientes funciones: r q p x+1 5x − x2 (a) y = ln (b) y = 1 − 4 − x2 (c) y = ln x−1 4

(d) y = arcsin

x+1 x2 + 1

3. Halla el dominio y la imagen de cada una de las siguientes funciones. Estudia tambi´en su acotaci´on y calcula, si existen, el supremo, el ´ınfimo y sus extremos absolutos. (a) f (x) = 2x − 1 (b) f (x) = |x|

(c) f (x) =

1 x2

(d) f (x) =

√ 1 − x (e) f (x) = |sin x|

4. Halla el dominio, la imagen y la gr´afica de cada una de las siguientes funciones: (a) Parte entera: E(x) = f loor(x) = bxc = mayor entero menor o igual que x. (b) Parte fraccionaria: f rac(x) = x − bxc. (c) Techo: ceil(x) = dxe = menor entero mayor o igual que x. ³ ´ 1−x 5. Sea f una funci´on tal que f 1+x = x2 . Halla una expresi´on de f (x). 6. Estudia si son pares o impares: (a) f (x) =

x sin x 1 + x2 x + sin x ; (b) f (x) = 2 ; (c) f (x) = . 1 + cos x x + cos 2x 1 + sin x

7. Expresa las funciones F (x) = (x + 1)3 y G(x) = sin (1 + |x|) como composici´on de funciones elementales. 8. Estudia cu´ales de las siguientes funciones son uno-a-uno y, en caso de que exista, calcula su inversa. ( x3 − 1 , si x < 0 x 1 x+3 (a) f (x) = 2 (b) f (x) = 3 (c) f (x) = (d) f (x) = x +1 x +1 x+5 x2 , si x ≥ 0 ¡ ¢ 9. Halla el valor de: (a) arccos 12 ; (b) arctan 0; (c) arcsin sin 7π 4 ; (d) arctan(cos 0). 10. Simplifica las siguientes expresiones: (a) y = cos(arcsin x); (b) y = sin(2 arctan x). 11. Se considera un c´ırculo de radio r. Expresa: (a) La longitud de una cuerda en funci´on de la distancia desde su punto medio al centro del c´ırculo. (b) El per´ımetro de un tri´angulo is´osceles inscrito en el c´ırculo en funci´on de la longitud del lado desigual (el tri´angulo debe contener al centro del c´ırculo en su interior). Halla el dominio e imagen de cada una de las funciones obtenidas. 12. En su camino hacia la universidad, un estudiante que debe recorrer 25 kil´ometros se detiene unos minutos a echar gasolina, recordando despu´es que ha olvidado un trabajo que debe presentar ese d´ıa. Conduciendo m´as r´apido que de costumbre regresa a casa, recoge el trabajo y contin´ ua hasta la universidad. Con el recorrido realizado, construye una posible gr´afica de la distancia a casa del estudiante en funci´on del tiempo.

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13. Se dispone de una cartulina cuadrada de 20 cm de lado con la que se desea construir una caja abierta (sin tapa) despu´es de quitar cuatro cuadrados en las esquinas de lado x y doblar adecuadamente. Expresa el volumen de la caja obtenida en funci´on de x. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on? 14. Una recta que pasa por el punto (3, 2) determina con los ejes coordenados un tri´angulo rect´angulo. Expresa la hipotenusa del tri´angulo en funci´on de la longitud del lado situado sobre el eje de abscisas. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on? 15. El propietario de una finca pretende cercar un recinto rectangular que se encuentra junto al r´ıo. Dispone de 100 metros de cerca y no es necesario cercar el lado que se encuentra a lo largo del r´ıo. (a) Expresa el ´area del recinto en funci´on de la longitud x del lado paralelo al r´ıo. ¿Cu´al es el dominio de la funci´on obtenida? (b) Representa gr´aficamente la funci´on obtenida y estima las dimensiones del recinto que producen mayor ´area. 16. El precio de cada bloque de cierta materia es proporcional al cuadrado de su peso. Se dispone de un bloque de 20 kg que cuesta 500 e. (a) Demuestra que si el bloque se rompe en dos trozos, siempre se deprecia. (b) Calcula para qu´e partici´on se produce la m´axima perdida de valor. 17. Una isla est´a situada a 3 km del punto A m´ as cercano de la costa, que es recta. En la costa, a 10 km del punto A, hay una central el´ectrica. Se quiere comunicar la isla y la central el´ectrica mediante un cable que conste de una parte submarina, entre la isla y un punto B de la costa (entre el punto A y la central), y una parte subterr´anea, entre el punto B y la central. El coste de cable submarino es de 20000 e/km, y el de cable subterr´aneo de 12000 e/km. Encuentra la funci´on que da el coste del cable necesario en funci´on de la distancia entre los puntos A y B. ¿Cu´al es el dominio de dicha funci´on?