Calculo 2 3 E

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Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2. Funciones reales de una variable real 2.3. Continuidad

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) (b) (c) (d)

Una funci´on definida en toda la recta es siempre continua. Si f es continua en [a, b] y f (a) < f (b) entonces su imagen es el intervalo [f (a), f (b)]. Toda funci´on continua est´a acotada. Toda funci´on continua definida en un intervalo acotado est´a acotada.

2. Justifica intuitivamente que si f : [0, 1] −→ [0, 1] es continua, entonces existe c ∈ [0, 1] tal que f (c) = c. 3. Justifica intuitivamente que todo polinomio de grado impar tiene al menos una ra´ız real. 4. Estudia la continuidad de las siguientes funciones: ( ( 1 , si x < 0 sin x1 , si x < 0 2 (a) f (x) = (b) f (x) = x −1 x − 1 , si x > 0 0 , si x ≥ 0

(c) f (x) =

e1/x 1 + e1/x

1 1 5. Estudia la continuidad de las funciones: (a) y = cos ; (b) y = x cos . x x ( a2 x2 , si x ≤ 2 1 6. Halla el valor de a para que sean continuas: (a) f (x) = ; (b) g(x) = 2 . ax − 2ax + 1 (1 − a)x , si x > 2 7. Halla el dominio, estudia la continuidad y clasifica las discontinuidades de las funciones: ¡ ¢ 1 e x−3 log x3 − 4x2 + 4x (x + 1) |x − 2| e1/|x−1| (b) f (x) = (a) f (x) = x3 − x2 − 2x x−1 8. Encuentra un intervalo de longitud uno en el que cada una de las siguientes ecuaciones tenga una ra´ız: (a) x3 − x + 5 = 0; (b) x5 + 4x3 − 2x + 2 = 0. 9. Usa el m´etodo de bipartici´on para hallar, con un error menor que 0,01, una ra´ız de cada una de las ecuaciones: (a) 2x3 + 5x − 13 = 0; (b) cos x = x. 10. Estudia la acotaci´on y calcula, si existen, los m´aximos y m´ınimos de las siguientes funciones en los 1 x intervalos que se indican: (a) f (x) = 1+x 2 en [0, 5]; (b) f (x) = x + bxc en [−2, 2]; (c) f (x) = e en R. ublico es de 2 euros la primera hora o fracci´on y de 1.5 euros las restantes. 11. La tarifa de un parking p´ Expresa el coste total del estacionamiento de un veh´ıculo en funci´on del tiempo de estancia, estudia la continuidad de esta funci´on e interpreta el resultado. 12. Un escalador comienza, desde el campamento base, la subida a una monta˜ na a las 8:00 horas; llega a la cima, pernocta en un refugio, y comienza a descender al d´ıa siguiente y a la misma hora, por el mismo sendero, hasta el campamento. ¿Hay alguna hora a la que estuvo los dos d´ıas a la misma altura? 13. Un autom´ovil se desplaza de la ciudad A a la ciudad B, y al d´ıa siguiente hace el camino contrario saliendo y llegando ambos d´ıas a la misma hora. Prueba que existe un lugar en la carretera por el que ambos d´ıas pasa a la misma hora. 14. El patrimonio, en ¡ √ miles ¢de euros, acumulado por Juan a lo largo de su vida viene dado por la funci´on P (x) = 50 3 + 3 x − 27 , donde x es su edad en a˜ nos. (a) Si falleci´o a los 80 a˜ nos, ¿a cuanto ascendi´o su herencia? (b) Justifica que, en alg´ un momento, su patrimonio fue de 300.000 e. ¿A qu´e edad? 15. La intensidad del campo gravitatorio es una funci´on g(r) que depende continuamente de la distancia r al centro de la Tierra, que vale 9, 8 m/s2 en la superficie de la Tierra, que en cada punto de su interior es una funci´on lineal de r, y que, a partir de la superficie, es proporcional a la inversa del cuadrado de r. (a) Encuentra g y repres´entala aproximadamente; (b) ¿D´ onde es m´axima la intensidad del campo? (c) ¿A qu´e tiende la intensidad del campo cuando la distancia a la Tierra es muy grande?