Calculo 2 2 E

Informates.edu

Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

2. Funciones reales de una variable real 2.2. L´ımites

EJERCICIOS

1. Contesta razonadamente si son ciertas o falsas las siguientes afirmaciones: (a) El l´ımite de una funci´on en un punto es siempre el valor de la funci´on en el punto. (b) Si una funci´on no esta definida en un punto no puede existir el l´ımite en dicho punto. (c) El l´ımite de una funci´on en un punto existe siempre que existan los l´ımites laterales. (d) Si no existen los l´ımites de f y g en un punto, no puede existir el l´ımite de f + g en dicho punto. (e) Una funci´on con as´ıntota horizontal no puede tener as´ıntota oblicua. (f ) Una funci´on no puede tener dos as´ıntotas horizontales. 2. Pon un ejemplo de una funci´on acotada sin l´ımite ni l´ımites laterales en un punto. 3. Justifica, mediante ejemplos adecuados, que 0 · ∞ es una indeterminaci´on. 4. Si f (x) = x2 − x + 1, encuentra una expresi´on para g(x) de tal manera que, cuando x → +∞, f (x)/g(x) tenga l´ımite: (a) −3; (b) 0; (c) +∞; (d) carezca de l´ımite. f (x) − 5 xf (x) = 1; (b) lim = 1. x→1 x − 3 x→1 (x − 1)2

5. Halla el l´ımite de f (x) cuando x → 1 en cada caso: (a) lim

6. Halla los l´ımites laterales, y el l´ımite si existe, de las siguientes funciones en los puntos que se indican: (a) y =

1 x(1 + x) e1/x 1 , a = 0 ; (b) y = e x−2 , a = 2 ; (c) y = sinh , a = 0 ; (d) y = , a=0 |x| x 1 + e1/x

7. Halla los siguientes l´ımites: tan2 3x x→0 4x2 1 − sec2 2x (d) lim x→0 x2

sin 3x x→0 2x sin x2 (b) lim x→0 x

(a) lim

(c) lim

tan 3x x→0 2x2 + 5x sin x (f ) lim x→π x − π

(e) lim

sin(2x − 2) x→1 x3 − 1 sin(x + |x|) (h) lim x→0 x2 (g) lim

8. Halla los siguientes l´ımites: (a) lim x sin x→0

1 x

(b) lim (x − π) cos2 x→π

1 x−π

(c) lim |x − 1| sin x→1

1 (x − 1)2

9. Halla los siguientes l´ımites: µ (a)

lim

x→+∞

2x − 1 3x + 1

¶x

µ (b)

lim

x→+∞

x 2 x +1

¶x

µ ¶ 1 x (c) lim 1− x→−∞ x

µ (d)

lim

x→+∞

x2 + 1 x2 − 1

¶3x2

10. Halla los l´ımites en +∞ y en −∞ de las funciones y = cosh x e y = tanh x. 11. Halla los siguientes l´ımites: (a)

lim x sin

x→+∞

1 x

(b)

lim

sin x

x→+∞ x2 sin 1 x

(c)

sin 2x x→−∞ x lim

(d)

x − cos x x→−∞ x lim

(e)

lim x sin x

x→+∞

√ √ x x x−x+ x−1 |x| 12. Halla los siguientes l´ımites: (a) lim ; (b) lim ; (c) lim 2 . 1 x→0 2 + sin x→1 x→0 x + x x−1 x ¡ ¢ ; (b) y = ln x2 + 3x + 2 ; (c) xy + |x| − 2y + 1 = 0. 13. Halla todas las as´ıntotas de: (a) y = √3x−2 2x2 +1

Informates.edu

Dpto. de Matem´ atica Aplicada, FI-UPM.

14. El coste de una llamada telef´onica entre dos ciudades es de 0,5 e por establecer la conexi´on m´as 0,25 e por cada minuto o fracci´on. (a) Encuentra la funci´on que da el coste de una llamada de t minutos, y repres´entala gr´aficamente. (b) ¿Cu´al es el importe de una llamada que dura alrededor de 5 minutos? 15. El coste, en millones de euros, que supone confiscar el x% de cierta droga viene dado por la funci´on 500x C(x) = 100−x , 0 ≤ x < 100. (a) ¿Cu´al es el coste de coste de confiscar el 25%, el 50% y el 75% de la droga? (b) ¿Cu´al es el l´ımite de la funci´on C(x) cuando x → 100− ? Interpreta el resultado. 16. La ecuaci´on de Einstein afirma que la masa m de un cuerpo es funci´on de su velocidad v por la f´ormula m0

m(v) = p

1 − v 2 /c2

donde m0 es la masa del cuerpo en reposo y c = 300.000 km/s es la velocidad de la luz. (a) Halla el dominio natural de esta funci´on. (b) Halla su l´ımite cuando la velocidad tiende a la velocidad de la luz, e interpreta el resultado obtenido. umero de kilos que se venden, 17. El precio por kilo de un determinado producto viene dado, en funci´on del n´ por la funci´on: ( ax + 20 , si x ≤ 10 p(x) = 3x 6x , si x > 10 x−10 − x2 −18x+80 (a) Halla el valor de a para que no exista una cantidad cr´ıtica de compra (donde el precio del kilo sufra un salto brusco). (b) Halla el l´ımite de la funci´on cuando x → +∞ e interpreta el resultado. 18. La fabricaci´on de un determinado producto requiere de una inversi´ on inicial de 1000 e y de un coste de 1 e por litro. En el proceso de puesta en marcha se desechan los 100 primeros litros fabricados. (a) Obt´en las funciones de coste total y por litro u ´til despu´es de fabricar x litros. (b) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricaci´on puesta a la venta (despu´es de los 100 litros desechados) es pr´acticamente nula. (c) Calcula la tendencia del precio por litro si la fabricaci´on es muy grande. (d) ¿Cu´antos litros hay que fabricar para que el coste del litro sea inferior a 2 e? ¿E inferior a 1,01 e? (e) ¿El coste de fabricaci´on por litro puede ser, en alg´ un momento, inferior a 1 e? 19. Una poblaci´on de bacterias en un ambiente de recursos limitados crece seg´ un la funci´on P (t) = Estudia su evoluci´on a largo plazo.

105 . 4+e−2t