Calcul Stochastique Finance 07 L3

Absence d’arbitrage et propriétés des options Evaluation et couverture des options dans un marché financier continu complet

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE IMFSE, Département de Mathématiques Appliquées Nizar TOUZI

SEANCE 3: Gestion dynamique des risques financiers Le modèle de Black et Scholes 9 octobre 2007

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Les options • Le but de cette partie est de présenter les propriétés que doivent satisfaire les prix des options indépendemment du modèle d’évolution des actifs financiers. • Une option d’achat (call) donne à son détenteur le droit d’acheter un certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 fixé à la signature du contrat • Une option de vente (put) donne à son détenteur le droit de vendre un certain actif à un prix d’exercice (strike) K > 0 fixé à la signature du contrat • Ces options sont dites “européennes” si le droit d’achat ou de vente ne peut être exercé qu’à une maturité donnée • Les options “américaines” peuvent être exercées à tout moment avant la maturité.

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Notations • Le paiement terminal d’un call européen est (ST − K )+ • La valeur intrinsèque d’un call européen est (St − K )+ , son prix à la date t ≤ T sera noté c(t, T , St , K ) , en particulier c(T , T , ST , K ) = (ST − K )+ • Le paiement terminal d’un put européen est (K − ST )+ • La valeur intrinsèque d’un put européen est (K − St )+ , son prix à la date t ≤ T sera noté p(t, T , St , K ) , en particulier p(T , T , ST , K ) = (K − ST )+ • Une option (call ou put) est dite dans la monnaie si sa valeur intrinsèque est positive, en dehors de la monnaie si sa valeur intrinsèque est négative, à la monnaie si sa valeur intrinsèque est nulle. =⇒ Un call est dans la monnaie si St > K =⇒ Un put est dans la monnaie si St < K Nizar TOUZI

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Principe d’absence d’arbitrage • Considérons deux produits dérivés (actifs contingents) définis par les paiements A et B à une même maturité, et de prix a et b. Si A ≥ B dans tous les états du monde, alors a ≥ b. • Sinon : acheter le produit dérivé qui délivre le paiement A, et vendre celui qui délivre le paiement B =⇒ on encaisserait immédiatement la somme b − a > 0, et on obtiendrait le paiement positif A − B à la maturité ! NA Soit X le gain généré par un portefeuille de coût initial nul. Si X ≥ 0 dans tous les états du monde, alors X ≡ 0. Exemple Le modèle binomial est sans arbitrage ssi d < R 0 < u

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Premières relations

• On notera les prix du call et du put américain par C (t, T , St , K ) et P(t, T , St , K ) • Une option américaine vaut toujours plus que l’option européenne correspondante, et plus que sa valeur intrinsèque C (t, T , .) ≥ max{c(t, T , .), c(t, t, .)} P(t, T , .) ≥ max{p(t, T , .), p(t, t, .)}

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Parité call-put, effet de la maturité • Si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, on a p (t, T , St , K ) = c (t, T , St , K ) − St + KBt (T ) où Bt (T ) est le prix à la date t de l’obligation zéro-coupon (ZC) de maturité T , i.e. actif contingent de paiement 1 en T Il suffit de remarquer que : (K − ST )+ = (ST − K )+ − ST + K • T1 ≥ T2 =⇒ C (t, T1 , .) ≥ C (t, T2 , .) et P(t, T1 , .) ≥ P(t, T2 , .)

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Monotonie, sensibilité et convexité par rapport au strike • Le prix d’un call européen ou américain est décroissant en K • Le prix d’un put européen ou américain est croissant en K • Sensibilité au strike : (∗)

−Bt (T ) ≤

c (t, T , St , K2 ) − c (t, T , St , K1 ) ≤ 0 K2 − K1

(∗) vendre un call européen de strike K1 , acheter un call européen de strike K2 ainsi qu’une quantité K2 − K1 d’obligations ZC =⇒ paiement en T : −(ST − K1 )+ + (ST − K2 )+ + (K2 − K1 ) ≥ 0. NA implique que le coût initial de cette stratégie est ≤ 0 • Les prix d’un call ou d’un put européen ou américain est convexe en K : (cas du call US) acheter un λ ∈ [0, 1] call de strike K1 et (1 − λ) put de strike K2 , et vendre un call de strike λK1 + (1 − λ)K2 . Si toutes les options sont exercées à une date u ∈ [t, T ], on obtient un paiement ≥ 0. NA implique que le coût initial de cette stratégie est ≤ 0 Nizar TOUZI

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Bornes sur les prix des options d’achat • Borne supérieure c(., St , .) ≤ C (., St , .) ≤ St En effet : C (t, T , St , K ) ≤ C (t, T , St , 0) ≤ St (égalité en absence de dividendes) • borne inférieure : si l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, C (t, T , St , K ) ≥ c(t, T , St , K ) ≥ (St − KBt (T ))+ En effet : acheter un call Euro et K obligations ZC, vendre une unité de l’actif sous-jacent =⇒ paiement terminal ≥ 0. NA...

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Exercice immédiat des call américain Proposition Suposons que Bt (T ) < 1. En l’absence de dividendes, il n’est jamais optimal d’exercer l’option américaine avant la maturité T En effet : C (t, T , St , K ) ≥ c(t, T , St , K ) ≥ St − KBt (T ) > St − K • Ce résultat n’est plus vrai en présence de dividendes • Même en absence de dividendes, ce résultat n’est pas vrai pour les options de ventes : supposons que Su < K − KBu (T − u) à une date u ∈ [t, T ]. Alors, (∗)

P(u, T , Su , K ) ≥ K − Su > KBu (T ) ≥ p(u, T , Su , K ) (∗) ⇐= K ≥ paiement terminal du put Nizar TOUZI

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Autres exemples d’actifs contingents : contrat forward

• Contrat T −forward : c’est un accord pour payer un prix K à une maturité T pour un actif donné. Le prix d’un contrat T −forward à la date t est la valeur de K qui implique une valeur du contart forward nulle à la date t, i.e. 0 = prix en t du payoff ST − K = St − KBt (T ) On en déduit que le prix du contrat T −forward est

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St . Bt (T )

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Autres exemples d’actifs contingents : options exotiques • Option barrière : le paiement terminal est celui d’une option classique (call ou put) conditionnellement au passage au dessus ou en dessous d’une bariière B. Le paiement d’un call à barière est   up-and-out call : (ST − K )+ 1I max Su ≤ B u≤T   + down-and-out call : (ST − K ) 1I min Su ≥ B u≤T   + up-and-in call : (ST − K ) 1I max Su ≥ B u≤T   + down-and-in call : (ST − K ) 1I min Su ≤ B u≤T

• Option Lookback : paiement terminal f (ST , maxu≤T Su )  Z T + 1 • Option asiatique : paiement terminal Su du − K . T 0 Nizar TOUZI

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Evaluation par absence d’arbitrage • En économie, les prix résultent d’un modèle d’équilibre. L’absence d’arbitrage est une condition nécessaire pour l’existence d’un équilibre • Black et Scholes ont introduit l’idée selon laquelle le principe d’absence d’arbitrage permet d’isoler le prix du marché des actifs contingents... dans les marchés où tous les risques peuvent être couverts, i.e. marchés complets • Le prix d’un actif contingent est une valorisation des flux futurs • En utilisant des stratégies de portefeuille dynamiques, il est possible de contrôler le risque encouru par l’actif contingent • Back et Scholes ont introduit l’idée que prix et couverture de risque sont indissociables : s’il est possible d’éliminer le risque par un portefeuille qui réplique, alors sa valeur à toute date est égale au prix de l’actif contingent (par NA) Nizar TOUZI

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Le modèle de Black-Scholes : dynamique des prix • Samuelson a suggéré en 1960 de modéliser les prix des actions par un mouvement brownien géométrique    1 ˆ t , µ ∈ R, σ > 0 St = S0 exp µ − σ2 t + σW 2 ˆ étant un mouvement brownien. Par une application directe de •W la formule d’Itô (pour le mouvement Brownien), on voit que dSt St

ˆt = µdt + σd W

i.e. le rendement infinitésimal se décompose en une tendance linéaire et une fluctuation brownienne • µ est le rendement instantané moyen (tendance, drift) • σ est la volatilité Nizar TOUZI

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Le modèle de Black-Scholes : prime de risque • Le marché financier contient en plus un actif sans risque de rendement dSt0 = rdt i.e. St0 = S00 e rt St0 • La prime de risque est définie par λ =

µ−r σ

• Le ratio de Sharpe est défini par ρ =

µ−r σ2

• Ces deux paramètres reflètent le rapport rendement risque de l’action par rapport à l’actif sans risque. Nizar TOUZI

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stratégie d’investissement et valeur du portefeuille • Une stratégie d’investissement est un processus θt = θ(t, St )

t≥0

θt ≥ 0 : position acheteuse (long position) θt ≤ 0 : position vendeuse (short position) • La condition d’autofinancement permet de déterminer la dynamique de la valeur du portefeuille dXt

= θt dSt + (Xt − θt St )rdt = rXt dt + θt (dSt − rdt)

˜t = Xt e −rt et S˜t = St e −rt : ou, en termes de valeurs actualisée X ˜t dX

˜t − θt S˜t )0dt = θt d S˜t = θt d S˜t + (X

(on pourra considérer une classe plus générale de stratégies d’investissement dès qu’on aura mieux défini l’intégrale stochastique) Nizar TOUZI

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Formulation du problème de réplication • Une stratégie d’investissement {θt , t ∈ [0, T ]} est admissible si : RT ? 0 θt d S˜t est bien définie Rt ? et ∃ C > 0 : 0 θu d S˜u ≥ −C (1 + S˜t ) pour tout t ≤ T . • L’actif contingent G est dit réplicable s’il existe un capital initial X0 et une stratégie d’investissement admissible tels que XT := G

˜T := X0 + où X

Z

T

θt d S˜t

0

• Nous allons résoudre ce problème de réplication par le biais de l’EDP de la chaleur. Pour celà, nous restreignons (pour l’instant) l’analyse au cas d’une option vanille : G = g (ST ) où g : R+ −→ R à croissance au plus linéaire Nizar TOUZI

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Approche EDP pour le problème de réplication On note Q := [0, T [×]0, ∞[. Théorème Soit v de classe C 1,2 (Q) à croissance linéaire vérifiant ∂v ∂v 1 ∂2v + rs + σ 2 s 2 2 − rv = 0 , ∂t ∂s 2 ∂s

v (T , ·) = g

et limQ3(t 0 ,s 0 )→(T ,s) v (t, s 0 ) = v (T , s). Alors, l’actif contingent g (ST ) est réplicable à partir du capital initial v (0, S0 ) et la ∂v stratégie de couverture est définie par δ(t, s) = (t, s). ∂s De plus, sous NA, v (0, S0 ) est le prix de g (ST ) à la date 0. Preuve Formule d’Itô pour

e −rt v

 t, S0 e

“ ” 2 ˆt (r − σ2 )t+σ W

utiliser l’EDP ainsi que R la condition au bord R afin d’obtenir ˜T ... ( T δt d S˜t := limε&0 T −ε δt d S˜t ) e −rT g (ST ) = X 0 0 Nizar TOUZI

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, puis

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Remarques sur l’EDP d’évaluation • L’évaluation et la couverture ne dépendent pas du paramètre µ ! • Le changement de variable u(t, x) = e −rt v (t, s(t, x)) avec s(t, x) = e σx+(r −

σ2 )t 2

réduit l’EDP d’évaluation à l’équation de la chaleur : ∂u 1 ∂ 2 u + = 0 et u(T , x) = f (x) := g (s(T , x)) ∂t 2 ∂x 2 • En utilisant la relation entre EDP de la chaleur et espérance conditionnelle, nous allons pouvoir trouver une solution de l’EDP (en fait la solution) avec la régularité requise • Sur la condition de croissance linéaire sur g

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La formule de Black et Scholes 1973 • Dans la deuxième séance, nous avons vu que u(t, x) = E [f (x + WT −t )] est une fonction régulière vérifiant l’EDP de la chaleur et la condition au bord u(T , ·) = f . On déduit alors    2 ˆT −rT (r − σ2 )T +σ W v (0, S0 ) = e E g S0 e | {z } =E[g (e (r −µ)T ST )] • On calcule également le delta (couverture optimale) : "  #  ˆ 2 WT ˆT ! (r − σ2 )t+σ W −rT √ δ(0, S0 ) = e E g S0 e S0 σ T    2 2 ˆT 0 ˆT (r − σ2 )t+σ W − σ2 t+σ W g S0 e = E e (si g dérivable) Nizar TOUZI

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Interprétation de la formule de Black et Scholes • Si µ = r , alors S0 = e −rT E [ST ] et v (0, S0 ) = e −rT E [g (ST )] : l’évaluation se fait par le critère de la moyenne du paiement futur, il s’agit d’un critère qui ne prend pas en compte le risque ˆ t , et la valeur actualisée du • Toujours si µ = r , alors d S˜t = S˜t σd W portefeuille s’écrit Z t ˜ ˆt Xt = X0 + δt S˜t σd W 0

Le problème de réplication XT = G est alors réduit au problème de représentation de la variable aléatoire G sous forme d’une intégrale stochastique (un premier résultat a été obtenu en séance 2) • Dans le cas général µ 6= r , la formule de Black et Scholes est un critère qui prend en compte le risque en remplaçant la tendance µ par le taux d’intérêt sans risque r Nizar TOUZI

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Introduction au changement de probabilité • Revenons au delta de couverture dans le cas où g est dérivable    2 σ2 ˆT ˆ 0 (r − σ2 )T +σ W où LT = e − 2 T +σWT δ0 = E LT g S0 e en particulier LT > 0 et E[LT ] = 1, donc on peut définir une mesure de probabilité équivalente à la mesure initiale P par ¯ := LT · P sur FT , i.e. P[A] ¯ P = E [LT 1IA ] pour tout A ∈ FT ˆ T sous P ¯ est • La transformée de Laplace de W h i h i σ2 1 2 ˆ ˆ ¯ = e − 2 T E e (σ−λ)WT = e −λσT + 2 λ T EP e −λWT ¯ T := W ˆ T − σT sous P ¯ est N(0, T ), et par suite i.e. la loi de W    σ2 ˆ ¯ δ0 = EP g 0 S0 e (r − 2 )T +σWT       2 2 ¯ T +σT ) ˆT ¯ 0 (r − σ2 )T +σ(W 0 (r + σ2 )T +σ W P = E g S0 e δ 0 = E g S0 e Nizar TOUZI

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Formule de Black-Scholes et changement de probabilité β2

ˆ

• Pour tout β ∈ R, la variable aléatoire LβT := e − 2 T +β WT , étant positive et d’espérance 1, peut définir une probabilité équivalente h i Pβ [A] = E LβT 1IA pour A ∈ FT h i 1 2 β ˆ • La transformée de Laplace EP e −λWT = e −λβ+ 2 λ T montre ˆ T − βT sous Pβ est N(0, T ) que la loi de WTβ := W • On ré-écrit la formule de Black et Scholes sous la forme      2 µ−r ˆ T −λT ) −rT (µ− σ2 )T +σ(W v (0, S0 ) = e E g S0 e λ= , σ    2 σ ˆ = e −rT EQ g S0 e (µ− 2 )T +σWT avec Q = P−λ Finalement v (0, S0 ) = e −rT EQ [g (ST )] Nizar TOUZI

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Formule de Black et Scholes pour le call européen • Pour le call européen g (s) = (s − K )+ , on obtient la formule de Black et Scholes v (0, S0 ) = S0 N(d1 ) − Ke −rT N(d2 ) où     1 S0 σ2T d1 = √ ln + , 2 Ke −rT σ T Rx 2 et N(x) := −∞ (2π)−1/2 e −x /2 dx

√ d2 = d1 − σ T

• Le delta de couverture est donné par δ(0, S0 ) = N(d1 )

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Les Grèques Sensibilités de la formule de Black-Scholes par rapport aux paramètres du modèle ∆ Γ Θ Vega ρ

∂v = N(d1 ) ∂s2 ∂ v 1 = √ N0 (d1 ) > 0 ∂s 2 sσ T ∂v sσ = − √ N0 (d2 ) − Ke −rT N(d2 ) ∂t 2 T √ ∂v = s T N0 (d1 ) ∂σ ∂v = KTe −rT N(d2 ) > 0 ∂r

L’EDP d’évaluation donne une relation entre les grèques : 1 Θ + rs∆ + σ 2 s 2 Γ − rv 2 Nizar TOUZI

= 0

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L’EDP d’évaluation pour les options à barrière

Considérons l’exemple d’un up-and-out call défini par le payoff G = (ST − K )+ 1I{maxu≤t Su
K, B > 0

L’EDP d’évaluation dans ce cas est

(EB )

∂2v ∂v ∂v 1 + rs + σ 2 s 2 2 − rv = 0 , 0 < s < b ∂t ∂s 2 ∂s v (t, b) = 0 , t≤T v (T , s) = (s − K )+ ,

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0<s
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Evaluation par EDP des options à barrière On note Q := [0, T [×]0, b[ et ∂p Q := ({T } × [0, b[) ∪ ([0, T [×b). Théorème Soit v de classe C 1,2 (Q) à croissance linéaire une solution de l’EDP d’évaluation (EB ) telle que lim

Q3(t 0 ,s 0 )→(t,s)

v (t, s 0 ) = v (t, s) pour tout (t, s) ∈ ∂p Q

Alors, le call up-and-out est réplicable à partir du capital initial ∂v (t, s). v (0, S0 ) et la stratégie de couverture δ(t, s) = ∂s Sous NA, v (0, S0 ) est le prix à la date 0 du call up-and-out. • Dém : introduire θ := T ∧ inf {t > 0 : St ≥ B}, et écrire le lemmed’Itô à lafonction de Wt régulière  2 ˆ t , puis utiliser l’EDP ainsi que e −rt v t, S0 exp (µ − σ2 )t + σ W ˜θ ... la condition au bord afin d’obtenir e −rT v (θ, Sθ ) = X Nizar TOUZI

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Représentation probabiliste du prix des options à barrière • On peut montrer que la fonction    + −rT ˆ v (t, s) := Et,s e 1I{maxu≤T Sˆu
0≤s≤B

“ ” 2 ˆt r − σ2 t+σ W

où Sˆt = e vérifie l’EDP d’évaluation (EB ) ainsi que la condition de continuité du théorème... • On vérifie que 2

ˆ t + λt, 0 ≤ t ≤ T } est un MB sous Q := e − λ2 {Wt := W

ˆT T −λW

(Ce résultat sera généralisé et appelé théorème de Girsanov), alors h i −rT v (t, s) := EQ (ST − K )+ 1I{maxu≤T Su
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·P

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Probabilité neutre au risque et mesure martingale équivalente • Rappelons que la prime de risque est λ = Q := e −

λ2 ˆT T −λW 2

µ−r σ

et

·P

ˆ t + λt, 0 ≤ t ≤ T } est un mouvement • Le processus {Wt := W brownien sous Q n o −rt ˜ • Le processus St = St e , 0 ≤ t ≤ T est une Q−martingale • Q est appelée probabilité neutre au risque ou mesure martingale équivalente • Dans le modèle de Black et Scholes, il y a une unique mesure martingale équivalente • Comparaison avec le modèle binomial, avec le modèle trinomial... Nizar TOUZI

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Insuffisances du modèle de Black et Scholes • L’analyse statistique des séries financières révèle une incompatibilité avec le modèle de Black-Scholes • En particulier, les données réelles exhibent des queues de distribution épaisses, i.e. la loi normale sous-évalue la probabilité d’occurence des évènements extrèmes • Le smile : l’observation des prix des options sur les marchés liquides montre une dépendence de la volatilité implicite en fonction de (K , T ) : surface de volatilité implicite. Ceci montre que le modèle de Black-Scholes sous-évalue les évenements extrème... • Afin d’obtenir des modèles plus réalistes, on a recours à des modèles conditionnellement gaussiens (modèles à volatilité stochastique) ou à des modèles générés par des processus de Lévy

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Smile...

Fig.: Sourire de biquette Nizar TOUZI

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Smile de volatilité

Fig.: Surface de volatilité implicite

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