Calcul

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 1 Développer et réduire : A = (4 −

√

5)2

√ √ B = ( 5 + 3)2

D. Le FUR

C = (7 −

√

5)(7 +

√

5)

√ √ D = (4 3 − 2)(3 + 3)

1/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 2 Simplifier les fractions suivantes : E=

630 875

D. Le FUR

F =

2/ 39

75 × 3−4 3−5 × 77

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 3 Simplifier les écritures suivantes : A=

53 × 6−4 63 ×

(53 )−2

D. Le FUR

B=

3/ 39

8−9 (34 )5

×

811 3−16

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 4 Montrer que X est un nombre entier naturel : X=

√

28 +

D. Le FUR

√

7−

√

√

√ 32 63 + 2 8

4/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 5 Ecrire sous forme de fractions irréductibles les nombres suivants : 3 4 − A= 2 5 1 2 − 3 7

D. Le FUR

1

B=

1

1+ 1+

1 1+

5/ 39

1 7

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 6 Soit le nombre rationnel a = 0, 5757575757.... On dit que l’écriture décimale périodique du nomre a est a = 0, 57 : en effet le nombre 57 se répète dans l’écriture décimale. On remarque alors que 100a = 57, 57 donc 100a = 57 + a et 99a = 57. 57 19 Conclusion : a = = . 99 33 En utilisant un procédé analogue, retrouver l’écriture sous forme de fraction irréductible de b = 58, 254.

D. Le FUR

6/ 39

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 7 Factoriser les expressions suivantes : A(x) = 64x2 − 49

C(x) = 4x2 − 4x + 1

B(x) = 21x2 − 14x

D(x) = (4x − 3)2 − 25

D. Le FUR

7/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 8 Factoriser : A(x) = 4(x − 1)2 − 2(x − 1)(x + 3)

C(x) = (5x + 3)2 − (6x − 2)2

B(x) = 4(x − 2)2 − 16

D. Le FUR

8/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 9 Déterminer les constantes a, b et c tels que : 6x2 − x + 4 c = ax + b + . 2x − 3 2x − 3

D. Le FUR

9/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 10 √ 5 − 2 d’une part et 9 − 4 5 d’autre part sont positifs. p √ √ 2) Comparer les nombres 5 − 2 et 9 − 4 5.

1) Justifier que

D. Le FUR

√

10/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 11 On rappelle que le nombre d’or est : √ 1+ 5 Φ= . 2 Démontrer que : Φ2 = Φ + 1.

D. Le FUR

11/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 12 Déterminer les réels a, b et c tels que : 6x2 − x − 7 c = ax + b + . 2x + 3 2x + 3

D. Le FUR

12/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 13 Factoriser au maximum les expresions suivantes : A(x) = (5x − 1)(x2 − 4)

D(x) = x2 − 9 − 3(x − 3)(x + 2)

B(x) = (5x − 2)2 − 4(x − 3)2

E(x) = (4x − 1)2 − (x + 1)(4x + 1)

C(x) = (2x − 1)(x − 4) + (x − 4)2 − 2(x − 4)(x + 3) + x − 4

D. Le FUR

13/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 14 En donnant les détails des calculs, mettre sous la forme d’une fraction irréductible, chacun des nombres suivants : 62 × 23 1) 4 ; 2 × 34 6 1 3 b ;b= ;c= . 2) a + b et a − , où a = c 15 10 5

D. Le FUR

14/ 39

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 15 Exprimer chacun des nombres A, B, C et D sous forme d’une fraction irréductible en faisant apparaître les étapes du calcul : A= B=

3 1 5 − ÷ 4 4 2 13 × 1014 × 106

C=

2 × (103 )7

D=

D. Le FUR

r

15/ 39

49 + 100

√
2 3 10


√
1 √ 14 − 1 14 + 1 20

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 16 Calculer, puis simplifier (on donnera les résultats sous la forme de fractions les plus simples possibles) : 3 1 25 − × 2 5 7   3 2 3 ÷ B= − 8 15 10 A=

D. Le FUR

C=

16/ 39

25 × 102 × 121 11 × 150 × 3

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 17 Calculer A et B (faire apparaître les étapes de chaque calcul et donner les résultats sous forme d’une fraction la plus simple possible) : A=

2, 5 × 10−7 5 × 10−6

D. Le FUR

5 −1 B= 3 1 1− 6

17/ 39

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 18 Donner l’écriture décimale et l’écriture scientifique de E : E=

D. Le FUR

7 × 10−12 × 6 × 105 21 × 104

18/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 19 √ √ √ 1) On considère C = 2 5 +√ 125 − 6 45. Ecrire C sous la forme a b, a et b étant deux nombres entiers, b étant le plus petit possible. √
√
2 − 1 est un nombre entier. 2) A l’aide d’un calcul, montrer que le nombre D = 3 2 + 3

D. Le FUR

19/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 20 On considère les nombres : √ √ √ C = 2 27 − 2 3 + 12

Montrer, en détaillant le calcul, que

D. Le FUR

D= C est un nombre entier. D

20/ 39

√

75 +

√

√ 48 − 7 3

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 21 Parmi les expressions suivantes, indiquer les sommes, les produits et les quotients. 2x − 3 x2 + 1 x+1 1 B(x) = + x 4 4x C(x) = (x − 2) 3

A(x) =

D(x) = (5x − 1)2 E(x) = (x − 3)2x + 7 F (x) = 3x(x + 1)

NB : on fera des phrases du type : « G(x) est le produit de (x + 7) par (x − 3). »

D. Le FUR

21/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 22 Retrouver parmi les expressions suivantes celles qui correspondent à des développements de carrés : A(x) = x2 + 2x + 1

C(x) = x2 + 3x + 9

B(x) = 4x2 − 4x + 1

D(x) = 4x2 + 12x + 9

D. Le FUR

22/ 39

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 23 Factoriser les expressions suivantes : A(x) = x2 + x

D(x) = 9x2 + 6x + 1

B(x) = (x + 1)2 − 4

D(x) = (x − 2)2 − 1

C(x) = 9x − 4x2

E(x) = −4(x − 3)2 + 1

D. Le FUR

23/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 24 Soit l’expression f (x) = −x2 +

6 . x

Calculer l’expression pour les valeurs suivantes : • x = 3; • x = −2 ; 3 • x= ; 2 √ • x = 3. NB : on pourra vérifier à la calculatrice.

D. Le FUR

24/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 25 Vérifier que les trois expressions suivantes correspondent à une même expression. • x(2x − 1) − 3 ; • (2x − 3)(x + 1) ;   1 2 25 • 2 x− − . 4 8

D. Le FUR

25/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 26 Calculer la somme S suivante : S = (12 −22 −32 +42 )+(52 −62 −72 +82 )+· · ·+(1 9972 −1 9982 −1 9992 +2 0002 )+(2 0012 −2 0022 −2 0032 +2 0042 ) NB : Chaque parenthèse est de la forme : n2 − (n + 1)2 − · · · .

D. Le FUR

26/ 39

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 27 Ecrire sous la forme 2a × 3b × 5c ,

 A=

4−2 × 84 907 × 30−2

D. Le FUR

a, b et c étant des nombres relatifs, les nombres suivants :

3

 B=

27/ 39

93 × 84 252 × 72−2

2

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 28 Ecrire sous forme de fractions irréductibles les nombres suivants : 3 4 − A= 2 5 1 2 − 3 7

D. Le FUR

1

B=

1

1+ 1+

1 1+

28/ 39

1 7

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 29 Soit ABC un triangle tel que AB =

√

5−

√ 3,

AC =

√

√ 5+2 3

et

√ BC = 5 5.

1) Donner à l’aide de la calculatrice un encadrement à 10−2 près de chacun des côtés. 2) Donner les valeurs exactes de AB 2 , AC 2 et BC 2 . 3) Le triangle ABC est-il rectangle ?

D. Le FUR

29/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 30 Un triangle BDE√est rectangle en √ D. On donne DB = 3 + 1 et DE = 3 − 1. Calculer BE.

D. Le FUR

30/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 31 1 m3 d’eau de mer contient 0, 004 mg d’or. Le volume total d’eau de mer sur la Terre est de 1, 3 × 106 km3 . Quelle est la masse totale d’or (en tonnes) que contient toute l’eau de mer ?

D. Le FUR

31/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 32 1) Développer : (x + y)2 − (x − y)2 . 2) Sans calculatrice, calculer A = 10 0012 − 9 9992 . Expliquer.

D. Le FUR

32/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE

Seconde

Exercice 33 Une cuve d’eau peut contenir 900 litres d’eau. Un robinet la remplit en 9h e un autre la vide en 18h. Si on ouvre les deux robinets en même temps, en combien d’heures la cuve se remplit-elle ?

D. Le FUR

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Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 34 q p √
2 √ √ √ 1) Vérifier les égalités suivantes : 2 − 5 = 5 − 2 et 11 − 6 6 = 3 − 2. q q √ √
2 √ √
2 p 2) Calculer : A = 3 1 − 2 + 2 2 2 − 3 − 11 − 6 6 = 3 − 2.

D. Le FUR

34/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 35 √ On donne F =

5−1 √ . 3− 5

Simplifier l’écriture de F .

D. Le FUR

35/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 36 Simplifier les écritures suivantes : √ √ G = (4 − 2 2)(3 − 2 2)

D. Le FUR

√ H = (7 − 2 3)2

36/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 37 Un fil de section S comporte n électrons par unité de volume se déplaçant à la vitesse v. L’intensité I du courant circulant dans ce fil est donnée en ampère par la formule : I = nSqv où q désigne une charge électrique. On donne : n = 6 × 1026 m−3 q = 1, 5 × 10−19 C v = 2 × 10−3 m.s−1 S = 1, 2 × 10−6 m2 . 1) Faire le calcul de I, en ampère, à l’aide de la calculatrice, et donner le résultat. 2) Faire le calcul à la main en détaillant les étapes.

D. Le FUR

37/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 38 √ 2+ 3 √ . Ecrire le nombre suivant sans radical au dénominateur : A = √ 3− 2

D. Le FUR

38/ 39

Seconde

Chapitre : CALCUL NUMERIQUE Exercice 39 1+ Ecrire sous forme de fraction irréductible :

B= 1+

1 2 1

1+

D. Le FUR

. 1 3

39/ 39

Seconde