Introduction Au Calcul Stochastique Applique A La Finance

Introduction au Calcul Stochastique Applique´ a` la Finance Rousseau Nicolas [email protected] ´ Universite´ de Nice-Sophia Antipolis Laboratoire Dieudonne,

January 25, 2007

Cours

Plan

1

Cours ´ Deroulement Objectifs

Cours ´ Deroulement

Organisation

TDs ´ edente ´ ´ Feuille d’exercice la semaine prec a` preparer. Correction des exercices a` la demande. ˆ Controles Devoir maison. ˆ continu. Controle Partiel.

Cours ´ Deroulement

Plan

´ financiers et finance de marche. ´ Cours 1-2: Marches ´ et Esperance ´ Cours 3-4: Probabilites Conditionnelle: ´ Variable aleatoire (va)- Conditionnement par rapport a` une ´ es ´ va - Propriet Cours 5-6: Processus stochastiques et Martingales: ´ Filtration - Definition d’un processus stochastique ´ ´ Definition d’une martingale - Interpretation

Cours ´ Deroulement

Plan - 2

Cours 7: Retour sur le marche´ (B,S) - Arbitrage, Martingale et Probabilite´ risque neutre - Girsanov ´ ` de Cours 8: Couverture des options europeennes, modele ` de Cox-Ross-Rubinstein. Limite vers le modele Black-Scholes. ´ Cours 9-10: Elargissement. Correction du devoir maison.

Cours Objectifs

Objectifs

Place dans le cursus ´ ´ theorie ´ Prerequis: Probabilite, de la mesure. L3: Introduction au calcul stochastique applique´ a` la finance. ´ Master: Calcul stochastique, modelisation continue ´ ´ Debouches: ´ eral: ´ ´ Gen Connaissances necessaires pour beaucoup de ´ metiers de la finance. ´ Specifique: Quant, trader.

Cours Objectifs

But - 2

Les principaux objectifs Finance: l’option et le sous-jacent, concept de couverture, prix d’une option. ´ ` martingale. Calcul stochastique: modelisation discrete, ´ ` Mathematiques financieres: arbitrage, prix risque-neutre, couverture dynamique.

Cours Objectifs

´ erences ´ Ref

Pierre Del Moral: cours L3 Mass: http://math1.unice.fr/ delmoral/finance.html Christophe Giraud: cours Master1 Mass: http://math1.unice.fr/ cgiraud/PolyBS.pdf ´ et Martingales. Beaulieu: Marches

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Plan 2

Introduction

3

´ financiers Marches ´ ´ financiers Developpement des marches ˆ des marches ´ financiers Le role Produits primaires ´ es ´ Produits deriv ´ Speculation

4

´ Mathematiques et gestion du risque Risque et rendement ´ Theorie du portefeuille ´ es ´ et prix Produits deriv Arbitrage et prix unique

5

Conclusion

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Plan 2

Introduction

3

´ financiers Marches ´ ´ financiers Developpement des marches ˆ des marches ´ financiers Le role Produits primaires ´ es ´ Produits deriv ´ Speculation

4

´ Mathematiques et gestion du risque Risque et rendement ´ Theorie du portefeuille ´ es ´ et prix Produits deriv Arbitrage et prix unique

5

Conclusion

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

But

´ Introduire la finance de marche. ´ Definir les principaux produits d’un marche´ financier. ˆ des mathematiques ´ Comprendre le role en finance.

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Finance de marche´ vs Finance d’entreprise

Finance d’entreprise (corporate finance) ´ ´ Theorie qui permet de gerer les comptes d’une entreprise. ´ Concerne les departements finance, analyse de risque et aussi cabinets d’audit. ´ Utilise essentiellement des mathematiques simples. ´ financiers Peut utiliser aussi les produits des marches (dans les grandes entreprises).

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Finance de marche´ vs Finance d’entreprise -2

Finance de marche´ (market finance) ´ ´ ´ Theorie qui permet de gerer les produits emis sur les ´ financiers. marches ´ Utilise des mathematiques complexes. ´ financiers Le risque: notion centrale des marches ´ Les mathematiques offrent des outils de gestion du risque efficaces.

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Plan 2

Introduction

3

´ financiers Marches ´ ´ financiers Developpement des marches ˆ des marches ´ financiers Le role Produits primaires ´ es ´ Produits deriv ´ Speculation

4

´ Mathematiques et gestion du risque Risque et rendement ´ Theorie du portefeuille ´ es ´ et prix Produits deriv Arbitrage et prix unique

5

Conclusion

Conclusion

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

´ Definition

´ Definition ´ ´ Marche´ destine´ a` l’echange de capital et de credit. Deux types de transactions: Over the counter: directe entre le broker et le client. ` organisee, ´ comme une bourse. Sur une place financiere

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ ´ financiers Developpement des marches

Origine de la bourse

La bourse de Bruges (1309). Introduction d’entreprises en bourse aux pays-bas (1602). ´ es ´ au Chicago Stock Exchange Premiers produits deriv (1848). ´ financiers (geographique ´ Explosion des marches et en volume) (1950 a` nos jours). ´ ´ es ´ a` partir de 1973. Developpement des produits deriv

Introduction

´ financiers Marches

´ ´ financiers Developpement des marches

´ financiers Les marches

´ de credits. ´ Marches ´ d’actions. Marches Marche´ de monnaies.

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

ˆ des marches ´ financiers Le role

´ Caracteristiques Marche´ financier Lieu ou` les personnes qui ont des moyens financiers rencontrent les personnes qui ont des besoins financiers. ´ Caracteristiques La rencontre de deux contreparties (vendeurs et acheteurs). La cotation en continue de produits financiers. ´ L’elaboration de bonnes conditions pour les transactions, ´ des acteurs du en prenant en compte les objectifs opposes ´ marche.

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Produits primaires

´ Definition ´ Definition ´ ´ ´ a` la remun ´ ´ Titre avec une remun eration non liee eration d’un autre titre. Action Titre d’une entreprise non remboursable. ´ Prix determin e´ par la cotation en bourse. ` aleatoire) ´ Produit risque´ (tres Obligation ´ Emprunt emis par une entreprise, un Etat (bons du ´ tresor)... ´ ´ par une duree ´ et un taux d’inter ´ et. ˆ Determin ee ´ Produit non risque´ (ou peut risque).

Conclusion

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Produits primaires

´ Definition Action Titre d’une entreprise non remboursable. ´ Prix determin e´ par la cotation en bourse. ` aleatoire) ´ Produit risque´ (tres Obligation ´ Emprunt emis par une entreprise, un Etat (bons du ´ tresor)... ´ ´ par une duree ´ et un taux d’inter ´ et. ˆ Determin ee ´ Produit non risque´ (ou peut risque). Taux choisi en fonction du risque de faillite de l’institution. ´ ´ Obligation d’Etat: Bon du tresor.

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ es ´ Produits deriv

´ Definition ´ e´ Produit deriv ´ ´ ´ a` la remun ´ ´ Contrat a` terme avec une remun eration liee eration d’un autre titre, appele´ l’actif sous-jacent. Contrat a` terme: un contrat sur une transaction future dans des ´ ´ aujourd’hui. conditions determin ees Exemples Future: obligation d’acheter ou de vendre un titre a` un prix ´ ´ ´ defini a` l’avance pendant une periode fixee. Option: droit, mais pas obligation, d’acheter ou de ´ vendre un titre a` un prix determin e´ a` l’avance pendant une ´ ´ ee. ´ periode specifi

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

´ es ´ Produits deriv

ˆ Role

´ Problematique de l’acheteur (client) ´ Assurance contre les evolutions futures du sous-jacent. Exemples: l’agriculteur, les invasions barbares. ´ Problematique du vendeur (banque) ´ ´ es. ´ Gerer le risque pris a` travers la vente de produits deriv

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

´ es ´ Produits deriv

Call et Put

Call ´ Un call (option d’achat) europeen donne le droit mais pas l’obligation d’acheter un actif S a` la valeur K a` la date T . Put ´ Un put (option de vente) europeen donne le droit mais pas l’obligation de vendre un actif S a` la valeur K a` la date T .

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ Speculation

´ Speculation ´ Definition Achat (ou vente) d’un titre en vue d’une revente (ou d’un rachat) a` un moment futur motive´ par l’anticipation d’un changement du prix. ´ ´ La speculation economique. ´ La speculation psychologique. ´ ´ La speculation mathematique: profite des arbitrages ´ financiers. Un arbitrage est une existant sur les marches ´ strategie d’investissement qui garantit un profit sans prendre de risque.

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Plan 2

Introduction

3

´ financiers Marches ´ ´ financiers Developpement des marches ˆ des marches ´ financiers Le role Produits primaires ´ es ´ Produits deriv ´ Speculation

4

´ Mathematiques et gestion du risque Risque et rendement ´ Theorie du portefeuille ´ es ´ et prix Produits deriv Arbitrage et prix unique

5

Conclusion

Conclusion

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Risque et rendement

Risque et rendement

Risque et rendement ˆ ´ ´ Un risque doit etre potentiellement remun erateur: plus le risque ´ e´ est elev ´ e. ´ est grand, plus le rendement esper Produits primaires: le client prend des risques. La banque ´ est uniquement un intermediaire. ´ es: ´ le client se couvre contre un risque. Quel Produits deriv ˆ de la banque? est le role

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ Theorie du portefeuille

Un portefeuille

´ Definition Un portefeuille est un ensemble de titres (actions, obligations, ´ ...) detenu par un investisseur. ´ Problematiques: Comment minimiser le risque et maximiser le rendement? ´ e´ lie´ a` un risque Comment calculer le rendement esper pris? Quel est la performance d’un portefeuille?

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ Theorie du portefeuille

Diversification (Markowitz)

Perette et le pot au lait ´ Investir son argent dans differents titres est moins risque´ que ˆ tout investir dans le meme titre.

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

´ Theorie du portefeuille

Evaluation du prix futur d’un titre

` du CAPM: Modele ´ e´ de l’action est donne´ par la formule Le rendement esper suivante: E(Ri ) = r + βi,M (E(RM ) − r ) r : taux sans risque, ´ ´ E(RM ): esperance de rendement du marche. (Ri ,RM ) ´ βi,M = Cov Var (RM ) : correlation entre le risque non ´ diversifiable de l’action et le marche.

Conclusion

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

´ es ´ et prix Produits deriv

Calcul Stochastique Mouvement Brownien: fruit des applications Brown (1858): les trajectoires de pollen. Bachelier (1905): les cours financiers et le mouvement Brownien. Einstein (1906): les bases du mouvement Brownien. ´ La theorie du Calcul Stochastique ´ Wiener, Levy, Kolmogorov: fondateurs de la theorie ´ moderne des probabilites. ˆ formule d’Ito, ˆ aujourd’hui outil principal des marches ´ Ito: financiers.

Conclusion

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ es ´ et prix Produits deriv

Calcul Stochastique - 2

´ ` Mathematiques financieres 73: Concept de couverture introduit par Black, Scholes et Merton. ´ 80: les probabilistes franc¸ais (El Karoui, Beaulieu, Annees ...). ´ ´ des Recherche academique et recherche privee: ´ mathematiques pures aux applications directes.

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

´ es ´ et prix Produits deriv

Couverture d’une option

Couverture ´ Couverture: strategie d’investissement dynamique dans le sous-jacent et l’actif sans risque. Risque: parfaitement couvert. ´ Prime (prix de l’option): montant initial necessaire pour ´ mettre en place la strategie de couverture.

´ financiers Marches

Introduction

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Arbitrage et prix unique

Arbitrage et prix unique

` de Black-Scholes, la vente d’une option Dans le modele ´ ´ est sans risque puisque la strategie de couverture elimine ` completement le risque de l’option. ˆ ´ Si quelqu’un propose la meme option a` un prix different, alors il existe un arbitrage (cf TD). ` de Black-Scholes est ⇒ Le prix d’une option dans le modele ` d’absence d’arbitrage. unique sous l’hypothese

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Plan 2

Introduction

3

´ financiers Marches ´ ´ financiers Developpement des marches ˆ des marches ´ financiers Le role Produits primaires ´ es ´ Produits deriv ´ Speculation

4

´ Mathematiques et gestion du risque Risque et rendement ´ Theorie du portefeuille ´ es ´ et prix Produits deriv Arbitrage et prix unique

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Conclusion

Conclusion

Introduction

´ financiers Marches

´ Mathematiques et gestion du risque

Conclusion

Conclusion

Couverture dynamique: concept fondamental pour la ´ es. ´ gestion des risques des produits deriv ´ ´ Calcul stochastique: theorie mathematique qui permet de ´ ` ` de developper des modeles efficaces, comme le modele ´ ´ Black-Scholes, et de determiner la strategie de couverture et le prix d’une option. Objectif du cours: introduire le calcul stochastique afin de ´ comprendre comment trouver la strategie de couverture et le prix d’une option.