Calcul Stochastique Finance 07 L2

Espérance conditionnelle et équation de la chaleur Formule d’Itô Mouvement brownien vectoriel

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE IMFSE, Département de Mathématiques Appliquées Nizar TOUZI

SEANCE 2: Equation de la chaleur et calcul d’Itô 2 octobre 2007

Nizar TOUZI

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Espérance conditionnelle et équation de la chaleur

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Formule d’Itô

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Mouvement brownien vectoriel

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Formule d’Itô

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Mouvement brownien vectoriel

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Densité gaussienne et EDP de la chaleur • La densité conditionnelle du mouvement brownien p(t, s + t, x, y )dy

=

P [Ws+t ∈ [y , y + dy ]|Ws = x]

P [x + Wt ∈ [y , y + dy ]] 1 2 e −(y −x) /2t dy = √ 2πt =: g (t, x, y )dy = g0 (t, y − x)dy =

La fonction g0 (t, z) vérifie l’équation de la chaleur Alors, en notant δy la masse de Dirac au point y ,

∂g0 ∂t

− 21

∂ 2 g0 ∂z 2

=0

∂g 1 ∂2g − = 0 , condition initiale g (0, ., y ) = δy ∂t 2 ∂x 2 =⇒ première relation entre l’espérance et l’EDP de la chaleur : 00

g (t, x, y ) = E [δy (x + Wt )] Nizar TOUZI

00

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Equation de Kolmogorov forward et backward

• Equation de Kolmogorov forward ∂g 1 ∂2g − = 0 , condition initiale g (0, ., y ) = δy ∂t 2 ∂x 2 • De même, on peut traduire l’équation de la chaleur vérifiée par g en dérivant par rapport à y . Ceci conduit à l’équation de Kolmogorov backward ∂g 1 ∂2g − = 0 , condition initiale g (0, x, .) = δx ∂t 2 ∂y 2

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Espérance et EDP de la chaleur Théorème Soit f : R −→ R une fonction bornée, et Z u(t, x) := E [f (x + Wt )] = f (y )g (t, x, y )dy R

(1) u est une solution de l’EDP de la chaleur ∂u 1 ∂2u = , ∂t 2 ∂x 2

u(0, .) = f

(2) Si de plus f est de classe C 2 , alors   Z t 1 00 f (x + Ws )ds E f (x + Wt ) − f (x) − = 0 2 0 Remarque Régularité de u héritée de la régularité de la densité gaussienne g (et non de f ) Nizar TOUZI

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Espérance et EDP de la chaleur : horizon aléatoire Théorème Soit f : R+ × R −→ R une fonction de classe Cb1,2 , et θ un temps d’arrêt borné. Alors :    Z θ ∂f 1 ∂2f E f (θ, x + Wθ ) − f (0, x) − + (s, x + Ws )ds = 0 ∂t 2 ∂x 2 0 Remarque La condition de bornitude de f et ses dérivées peut être affaiblie Application : Loi du temps de sortie des bandes Soit y > 0 et τy

:= inf {t > 0 : |Wt | ≥ y } 2 t/2

En appliquant le théorème à f (t, x) = cosh(λx)e −λ la transformée de Laplace de τy   E e −µτy = Nizar TOUZI

1 √
cosh y 2µ Calcul stochastique & finance

, on trouve

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Démonstration • Avec u(t, x; f ) := E [f (t, Wt )], on a

∂u ∂f 1 ∂2f (t, x, f ) = u (t, x; Lf ) où Lf = + ∂t ∂t 2 ∂x 2 • On intègre entre u et t (t > u) :   Z t E [1IAu f (t, x + Wt )] = E [1IAu f (u, x + Wu )]+E 1IAu Lf (s, x + Ws )ds u

pour tout Au ∈ σ(Ws , s ≤ u), qui s’écrit de manière équivalente : Z t E [1IAu (Mt − Mu )] = 0 où Mt = f (t, x + Wt ) − Lf (s, x + Ws )ds 0

• Alors, pour un temps d’arrêt U à valeurs dans u0 < . . . < un : X   X   E MU∧uk+1 − MU∧uk = E 1{U>uk } (Muk+1 − Muk ) = 0 E [Mu ] = k
k
• Temps d’arrêt borné quelconque U ←− Un := (1 + bnUc)/n... Nizar TOUZI

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EDP de la chaleur sur un intervalle fini : problème de Dirichlet Proposition Soient a < b et f : R+ × [a, b] −→ R bornée. Supposons qu’il existe u ∈ Cb1,2 (]0, ∞[×[a, b]) vérifiant ∂u 1 ∂ 2 u − = 0 pour (t, x) ∈]0, ∞[×]a, b[ ∂t 2 ∂x 2 u(0, x) = f (0, x) pour x ∈ [a, b] u(t, x) = f (t, x) pour (t, x) ∈ [0, ∞[×{a, b} Alors la fonction u est donnée par u(t, x) = E [f (t − θ, x + Wθ )] où θ := t ∧ Ta ∧ Tb et Ty := inf {s > 0 : x + Ws = y } Nizar TOUZI

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Mouvement brownien avec dérive • Les résultats précédents s’étendent aisément au processus Xt = X0 + bt + σWt ,

t≥0

• La densité gb,σ2 (t, x, y ) := P [Xt ∈ [y , y + dy ]|X0 = x] vérifie l’EDP ∂gb,σ2 ∂ϕ σ 2 ∂ 2 ϕ − Lb,σ2 gb,σ2 = 0 où Lb,σ2 ϕ = b + ∂t ∂x 2 ∂x 2 • Pour f : R+ × R −→ R de classe Cb1,2 , et θ un temps d’arrêt borné :    Z θ ∂f E f (θ, x + Wθ ) − f (0, x) − + Lb,σ2 f (s, x + Ws )ds = 0 ∂t 0 Nizar TOUZI

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Variation quadratique dyadique • Pour n ≥ 1, on définit ti := i2−n =⇒ subdivision dyadique Définition La variation quadratique du mouvement brownien associée à la subdivision dyadique d’ordre n est X
2 t≥0 Wti +1 − Wti , Vtn := ti ≤t

Proposition Vtn −→ t p.s. Proposition Pour tout processus adapté ϕ avec p.s. Z t X
2 ϕti Wti +1 − Wti −→ ϕs ds

Rt 0

|ϕs |2 ds < ∞

p.s.

0

ti ≤t

Remarque Résultats vrais pour subdivisions de pas sommable, sinon convergence en probabilité... Nizar TOUZI

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Démonstration (convergence de la variation quadratique) Pout tn(t) ≤ t < tn(t)+1 , on calcule # " N N X  2 X X
2
2 n = E Wti +1 − Wti − (ti+1 − ti ) Vt − tn(t)+1 E n=1 ti ≤t

n=1

=

N X X

2

C (ti+1 − ti ) ≤ C (t + 1)

n=1 ti ≤t

N X

2−n

n=1

Puis, en utilisant le lemme de Fatou : "∞ # " N # X X

2 2 E Vtn − tn(t)+1 ≤ lim inf E Vtn − tn(t)+1 < ∞ n=1

n→∞

n=1


2 en particulier, ceci implique que n≥1 Vtn − tn(t)+1 < ∞ p.s. =⇒ son terme général tends vers 0, et
Vtn − t = Vtn − tn(t)+1 + t − tn(t)+1 −→ 0 p.s. P

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Exemple premier • Pour une fonction f (t, x), on définira l’intégrale stochastique par Z

b

f (t, Wt )dWt a

:=

lim (p.s.)

n→∞

X

f (ti , Wti ) Wti+1 − Wti

a≤ti
si la limite existe Z t(approche plus générale plus tard)
1 Proposition Ws dWs = Wt2 − t p.s. 2 0 • Résultat cohérent avec {Wt2 − t, t ≥ 0} est une martingale X

1 • lim Wti +1 Wti +1 − Wti = Wt2 + t p.s. n→∞ 2 0≤ti
(Fisk-Stratonovich) Nizar TOUZI

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La formule d’Itô pour le mouvement brownien Théorème Soit f : R+ × R −→ R de classe C 1,2 . Alors avec Xt := x + Wt , on a p.s. :  Z t Z t ∂f 1 ∂2f ∂f f (t, Xt ) = f (0, x)+ + (s, Xs )dWs (s, Xs )ds+ 2 ∂t 2 ∂x 0 0 ∂x Remarque Formule d’Itô est vraie pour des temps aléatoires Preuve On décompose   X

 f ti+1 , Xti +1 − f ti , Xti +1 f tn(t)+1 , Xtn(t)+1 − f (0, x) = ti ≤t

+

X
 f ti , Xti +1 − f (ti , Xti ) ti ≤t

• 1ère somme : développement à l’ordre 1 en t • 2nde somme : développement à l’ordre 2 en x et variation quadratique Nizar TOUZI

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La formule d’Itô pour le mouvement brownien (suite) • La formule d’Itô est souvent écrite sous la forme df (t, Xt ) =

1 ∂2f ∂f ∂f (t, Xt )dt + (t, Xt )dWt + (t, Xt )dt ∂t ∂x 2 ∂x 2

• On déduit immédiatement la formule d’Itô pour le brownien avec dérive Xt = x + bt + σWt : df (t, Xt ) =

∂f ∂f 1 ∂2f (t, Xt )dt+ (t, Xt ) (bdt + σdWt )+ (t, Xt )σ 2 dt ∂t ∂x 2 ∂x 2

• D’après le résultat liant l’espérance à l’EDP de la chaleur : Z t  ∂f E (s, Xs )dWs = 0 si f ... 0 ∂x est par exemple à dérivées bornées (hypothèse trop forte) Nizar TOUZI

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Un premier résultat de représentation en intégrale stochastique • Soit f : R −→ R, la v.a. ξ = f (x + WT ), et v (t, x) := E [f (WT )|Wt = x] = E [f (x + WT −t )] • u(t, x) = v (T − t, x) vérifie l’EDP de la chaleur, alors 1 ∂2v ∂v + = 0 ∂t 2 ∂x 2 ∂v • Lemme d’Itô =⇒ dv (t, Xt ) = (t, Xt )dWt , t < T ∂x Proposition Soit f ∈ Cb0 , la v.a. ξ admet la représentation Z T ∂v ξ = E[ξ] + (t, Xt )dWt 0 ∂x Nizar TOUZI

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Définition Définition Le processus W = (W 1 , . . . , W d ) est un mouvement brownien à valeurs dans Rd si les coordonnées W i , i = 1, . . . , d sont des mouvement brownien (dans R) indépendants

• On peut définir le mouvement brownien vectoriel de manière équivalente par ? W à trajectoires continues p.s. et W0 = 0 ? W est à accroissements indépendants ? Pour tous 0 ≤ t ≤ s, Wt − Ws est un vecteur gaussien centré de variance (t − s)Id

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Une trajectoire du mouvement brownien en dimension 2 Nizar TOUZI

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Philippe Berrard : Mouvement brownien (huile sur toile, 33x24 cm, 1996) Nizar TOUZI

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Densité du mouvement brownien vectoriel et EDP de la chaleur • La densité conditionnelle du mouvement brownien vectoriel   p(t, s + t, x, y )dy 1 . . . dy d = P x i + Wti ∈ [y i , y i + dy i ], 1 ≤ i ≤ d =

d Y   P x i + Wti ∈ [y i , y i + dy i ] i=1

=

1 2 e −|y −x| /2t dy 1 . . . dy d d/2 (2πt)

=: g (t, x, y )dy 1 . . . dy d La fonction g (t, x, y vérifie l’équation de la chaleur  2  ∂g 1 ∂ g − Tr = 0 , condition initiale g (0, ., y ) = δy ∂t 2 ∂x 2 Nizar TOUZI

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Formule d’Itô pour le brownien vectoriel Soit f : R+ × Rn −→ R de classe C 1,2 • Pour le mouvement brownien Xt = X0 + Wt , et avec n = d , on a   2  ∂f 1 ∂f ∂ f df (t, Xt ) = + Tr (t, Xt )dt + (t, Xt ) · dWt ∂t 2 ∂x∂x T ∂x • Pour le mouvement brownien avec dérive Xt = X0 + bt + σWt , où b ∈ Rn et σ ∈ MR (n, d ), on a    2 ∂f ∂f 1 T ∂ f df (t, Xt ) = + (t, Xt ) · b + Tr σσ (t, Xt )dt ∂t ∂x 2 ∂x∂x T ∂f + (t, Xt ) · σdWt ∂x Nizar TOUZI

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