Introduction Au Calcul Stochastique Applique A La Finance (cours)

Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance Nicolas Rousseau∗ Laboratoire Dieudonné, Université de Nice - Sophia Antipolis January 29, 2007

1 Introduction Objectifs: ˆ Introduire la nance de marché. ˆ Dénir les principaux produits d'un marché nancier. ˆ Comprendre le rôle des mathématiques en nance. Dans ce premier cours, nous présentons les marchés nanciers et le rôle des mathématiques sur les marchés. La nance est un domaine particulièrement large, que l'on peut diviser en deux catégories: la nance d'entreprise (corporate nance) et la nance de marché (market nance). La nance d'entreprise utilise essentiellement des mathématiques simples alors que la nance de marché s'appuie sur des mathématiques complexes et génère de nombreux travaux mathématiques. Nous verrons dans ce cours que la notion fondamentale de la nance de marché est le risque et que les mathématiques produisent des outils ecaces de gestion de risque. Dans une première partie, nous présenterons les marchés nanciers: historique, terminologie, principales propriétés. Nous étudierons ensuite quel lien il existe entre marché nancier et mathématiques. ∗

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Remark 1.1 Les termes anglo-saxons se sont largement imposés sur les marchés nanciers. Nous préférerons souvent l'utilisation de ces termes plutôt que des termes français, moins utilisés.

2 Marchés nanciers Denition 2.1 Un marché nancier est un marché destiné à l'échange de

capital et de crédit.

Les transactions peuvent être directes entre le broker et le client (over the counter) ou sur une place nancière organisée telle qu'une bourse (stock exchange). Une bourse est un marché nancier institutionnel avec un règlement spécique choisi de manière à améliorer les conditions de transactions.

2.1 Développement des marchés nanciers 2.1.1 Origine de la bourse L'échange (trading) de produits nanciers existe depuis longtemps sur des produits issus de l'agriculture. Au 12ème siècle, les "courratiers de change" étaient chargés en France de contrôler et réguler les dettes des communautés agricoles pour le compte des banques. Il s'agit en fait des premiers courtiers. A la n du 13ème siècle à Bruges, les hommes d'aaires se retrouvaient dans la maison de Van der Bourse pour eectuer des transactions. En 1309, ils institutionnalisèrent cette organisation et créèrent la "Bourse" de Bruges. Cette première bourse explique aussi l'origine du mot. Le besoin de places nancières organisées pour eectuer des échanges nanciers se développa dans les pays d'Europe et d'autres bourses ouvrirent. Plus tard, les Hollandais introduisirent les entreprises en bourse. Les investisseurs pouvaient alors investir dans des actions, ie des titres de propriété d'une entreprise. La première entreprise à émettre des actions et des obligations fut la Dutch East India Company introduite en 1602.

2.1.2 Bourses modernes La première bourse à trader en continu fut la bourse d'Amsterdam au début du 17ème siècle. Beaucoup d'instruments d'investissement y furent introduits. 2

Le premier marché de produits dérivés fut le Chicago Stock Exchange, créé en 1848. Les options tradées sur ce marché étaient des contrats liés aux matières premières et garantissant un prix minimum aux agriculteurs. L'explosion des marchés nanciers (géographique et en volume) a eu lieu dans la seconde moitié du 20ème siècle. Il existe aujourd'hui de nombreux marchés (marché de crédits, marché de monnaies, marché d'actions, marché de matières premières,...).

2.2 Le rôle des marchés nanciers Denition 2.2 Lieu où les personnes qui ont des moyens nanciers rencon-

trent les personnes qui ont des besoins nanciers.

Les principales caractéristiques d'un marché nancier sont: ˆ La rencontre de deux contreparties (vendeurs et acheteurs). ˆ La cotation continue de produits nanciers. ˆ L'élaboration de bonnes conditions pour les transactions, en prenant en compte les objectifs opposés des acteurs du marché. En eet les principaux objectifs du prêteur (ou investisseur) sont: ˆ De maximiser ses bénéces. ˆ De minimiser ses risques. ˆ En général, de pouvoir récupérer son argent rapidement s'il le souhaite (investissements à court terme). Au contraire, les objectifs de l'emprunteur sont: ˆ De minimiser le coût de l'emprunt. ˆ En général, d'investir à moyen ou long terme. La bourse propose un marché nancier institutionnalisé avec des règles et des intermédiaires qualiés, les courtiers, an de remplir les conditions cidessus. Les bourses ont permis de uidier les transactions (baisse des coûts

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de transactions, diminution des asymétries d'information1 ,...). On parle de marché sans friction. La conséquence est une augmentation des transactions en volume et en valeur ainsi qu'un accroissement du nombre d'acteurs (prêteurs ou emprunteurs).

2.3 Produits Primaires Denition 2.3 Titre avec une rémunération indépendante de tout autre

titre.

Il existe deux types de produits primaires: les actions et les obligations.

2.3.1 Actions Une action est un titre de propriété d'une entreprise qui n'est pas remboursable. Le prix d'une action est déni par sa cotation en bourse. Une action peut être vendue ou achetée à n'importe quel moment (pendant les heures d'ouverture de la bourse). Le détenteur d'une action devient un associé, proportionnellement au nombre de titres qu'il détient. De plus, l'actionnaire a des droits sur: ˆ Le management, ˆ Les bénéces, ˆ L'actif social. Les émetteurs d'actions sont des entreprises. Pour l'actionnaire principal, fondateur de l'entreprise ou État en cas de privatisation, l'émission d'actions permet de recouvrir son investissement initial et ses bénéces. Une action est un produit très volatil, lié à la fois aux performances de l'entreprise et à la situation du marché. Sa cotation est constamment réévaluée en fonction de l'ore et de la demande sur les marchés nanciers. 1 On parle d'asymétrie d'information lors d'un échange quand certains des participants disposent d'informations pertinentes que d'autres n'ont pas

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2.3.2 Obligations Une obligation est un emprunt. Les entreprises, mais aussi les États, les institutions publiques et les associations ont le droit d'émettre des obligations. Une obligation est déterminée par: ˆ Une durée, ˆ Un taux d'intérêt. Les bons du trésor, obligations émises par les États, sont des produits sans risque, qui rapportent un intérêt de manière sûre. Nous n'utiliserons que ce type d'obligation dans le cours.

Remark 2.4 Le taux d'intérêt d'une obligation est choisi en fonction du

risque de faillite de l'institution. Ce risque est évalué grâce à des notations faites par des institutions indépendantes comme Standard & Poor's. De plus, les obligations sont cotées et leurs cotations dépendent de l'évolution des taux d'intérêts et de l'évolution du risque de faillite de l'emprunteur. Lorsque l'institution fait faillite, le prêteur n'est remboursé que si les fonds disponibles sont susants. Voir la faillite d'Enron et la conséquence sur les fonds de pension et les retraites américaines pour mieux comprendre ce risque.

2.4 Produits dérivés 2.4.1 Dénition et caractéristiques Denition 2.5 Les produits dérivés sont des contrats à terme avec une ré-

munération dépendante d'un autre titre, appelé l'actif sous-jacent.

Un contrat à terme est un contrat sur une transaction future dans des conditions déterminées aujourd'hui. Il existe une multitude de produits dérivés. Les principaux exemples sont les futures, les forwards et les options. ˆ Un future est un contrat qui donne à l'investisseur l'obligation d'acheter ou de vendre un titre à un prix déni à l'avance pendant une période xée. Une alternative est le forward, pour lequel toutes les transactions sont eectuées à la n de la période.

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ˆ Une option est un contrat qui donne à un investisseur le droit, mais pas l'obligation, d'acheter ou de vendre un titre comme une action ou un indice, à un prix déterminé à l'avance pendant une période spéciée. Si la transaction peut avoir lieu n'importe quand, l'option est dite américaine. Si elle a lieu uniquement à la n de la période, on parle d'option européenne. Le sujet du cours porte sur le prix d'une option. Nous nous concentrons maintenant sur ce produit. Ses principales caractéristiques sont: ˆ Le strike, noté K : prix d'exercice de l'option, qui est choisi et xé à l'instant initial. ˆ Le prix de l'option: prime de risque plus marge de l'intermédiaire. ˆ La date d'expiration, notée T : n de la période, elle aussi xée à l'instant initial. ˆ La fonction payo: fonction qui détermine la transaction nale. ˆ Des contraintes annexes. Par exemple, si le sous-jacent passe un certain niveau, le contrat s'annule (option barrière). Les options les plus simples, et généralement les plus liquides (les plus vendues), sont les calls et les puts de type européens ou américains. Ces options sont souvent appelées options vanilles. Les autres options, appelées options exotiques, sont généralement beaucoup plus diciles à pricer.

2.4.2 Rôle d'un produit dérivé Le rôle des produits dérivés est d'échanger diérents types de risques. Il faut alors bien diérencier le point de vue de l'acheteur, le client, du point de vue du vendeur, la banque. Pour le client, il s'agit d'une assurance. Par exemple, imaginons un fermier qui produit du riz. Sa récolte a lieu en mai. L'année dernière, le prix de vente en mai était très bas. Malgré une bonne récolte, il n'a pas gagné autant que prévu à cause de cette faible cotation. On est en janvier et la cotation du riz est bonne. Pour garantir son prot et éviter de subir une baisse potentielle du cours dans les mois à venir comme l'année précédente, il achète un call européen sur le riz à sa banque. Le strike choisi est le cours aujourd'hui. Il paie une prime mais s'assure un prix de vente 6

minimum pour son riz. La banque, elle, est maintenant exposée à la baisse du cours du riz. Nous avons choisi comme illustration un agriculteur car il s'agissait des premières options émises. Le rôle d'une option se comprend aussi facilement sur le marché des taux (cf TD). La problématique de la banque lorsque qu'elle vend une option est alors de dénir le prix du risque, appelé aussi la prime de l'option. L'objectif de ce cours est de comprendre comment les maths ont pu répondre à cette question. Avant cela, nous introduisons rapidement les marchés organisés et leurs principaux mécanismes.

2.5 Mécanismes des marchés organisés 2.5.1 Propriétaires Les intervenants sur les marchés nanciers peuvent être des personnes individuelles ou des institutions (fonds de pension, compagnies d'assurance,...). La répartition entre ces deux types d'intervenants dépend souvent du lieu géographique de la bourse. Par exemple, la majorité des actions sont détenues par des compagnies nancières et des entreprises au Japon, par des individuels aux USA et au Royaume-Uni. Les intermédiaires entre acheteurs et vendeurs sont appelés courtiers. Ils représentent des banques ou des institutions privées.

2.5.2 Règlement Les principaux instruments qui favorisent l'amélioration des transactions sur les marchés sont: ˆ Un système de cotation en temps réel. ˆ La diusion d'informations sur toutes les transactions. ˆ La protection contre des dysfonctionnements (délit d'initié, manipulation de cotation,...)

2.5.3 Indices Les indices sont composés d'un ensemble d'actions (CAC 40, S&P500,...). Ils permettent de capturer l'évolution d'un marché ou d'un secteur du marché

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et non d'un titre individuel. C'est pourquoi on les utilise souvent comme baromètre d'un marché (benchmark).

2.6 Ecience des marchés et Arbitrage 2.6.1 Ecience Denition 2.6 Un marché est dit ecient si toutes les informations perti-

nentes pour évaluer une action sont instantanément reétées dans la cotation de l'action. Dans un marché ecient, la "vraie" valeur de l'entreprise correspond à la cotation en bourse.

En pratique, on considère un marché ecient s'il satisfait les propriétés suivantes: ˆ Transparence des informations. ˆ Seul un événement aléatoire peut modier le cours. ˆ Les acteurs nanciers ont des comportements rationnels.

2.6.2 Arbitrage Denition 2.7 Un arbitrage est une stratégie d'investissement qui garantit un prot sans prise de risque2 .

Il n'existe pas beaucoup d'arbitrages sur les marchés développés. De plus, si un arbitrage apparaît, les traders prennent avantage de celui-ci et donc il disparaît. Voir l'exemple de LTCM pour comprendre que l'arbitrage pur n'existe pas à grande échelle, même pour les meilleurs (tradebourse.overblog.com/article-1377061.html par exemple). Nous verrons des exemples d'arbitrage en td pour mieux comprendre cette notion.

2.7 Spéculation La spéculation est l'achat (ou la vente) d'un titre en vue d'une revente (ou d'un rachat) à un moment futur motivé par l'anticipation d'un changement du prix. La spéculation peut être de trois natures: 2A

la diérence du délit d'initié, l'arbitrage est légal. Comprendre la diérence.

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ˆ La spéculation économique: anticipation à moyen terme d'un prix grâce à la culture économique (une entreprise, un secteur, un marché,...). ˆ La spéculation psychologique: anticipation sur le comportement des brokers, qui ont souvent des comportements spéciques. ˆ La spéculation mathématique: prote des arbitrages existant sur les marchés nanciers. Ces arbitrages étant généralement dus à la complexité de (nouveaux) produits, ils ne sont pas facilement décelables et demandent souvent des connaissances mathématiques et nancières poussées.

Remark 2.8 L'importance du volume des transactions à court terme est

souvent accordée à tort à la spéculation. Comme le remarque Bouleau (1997), une grande partie de ce volume n'est pas de la spéculation mais de la couverture d'options, stratégie d'investissement qui permet de réduire le risque et que nous introduirons dans la suite. Après cette rapide introduction aux marchés nanciers, nous pouvons aborder la nance de marché, et plus particulièrement le rôle des mathématiques pour la couverture du risque.

3 Mathématiques et gestion du risque 3.1 Risque et rendement Le principe fondamental de la nance est qu'un risque doit être rémunérateur. Une action, qui est un titre risqué, doit rapporter en moyenne plus que le taux sans risque. On remarque que le cours de l'action étant risqué (ou aléatoire), le rendement réel peut être nettement inférieur au rendement espéré. Cette notion de risque, fondamentale sur les marchés primaires et dérivés, ne se résout pas de la même manière dans les deux endroits. En eet, les clients dans le marché primaire prennent position par rapport au risque en espérant un rendement élevé. La banque joue seulement le rôle d'intermédiaire pour acheter les titres. Par contre, sur les marchés dérivés, les clients s'assurent contre un risque. La banque prend donc un risque qu'elle doit couvrir pour conserver son seul rôle d'intermédiaire.

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3.2 Théorie du portefeuille 3.2.1 Un portefeuille Denition 3.1 Un portefeuille est un ensemble de titres (actions, obliga-

tions, ...) détenu par un investisseur.

Les principales problématiques de la gestion d'un portefeuille sont: ˆ Comment minimiser le risque et maximiser le rendement? ˆ Comment calculer le rendement espéré associé à un risque? ˆ Quelle est la performance d'un portefeuille? Pour simplier l'analyse, nous prenons les hypothèses de marché suivantes: ˆ Le marché est ecient et sans arbitrage. ˆ Les brokers ont un comportement rationnel. ˆ Il existe une unique loi de probabilité qui explique les comportements futurs des marchés nanciers. On peut considérer que les marchés en dehors de ces hypothèses sont des cas particuliers.

3.2.2 Diversication: le portefeuille ecient de Markowitz Le principe fondamental du portefeuille ecient de Markowitz (1959) est la diversication. Il prouva en eet qu'investir son argent dans diérents titres est moins risqué que tout investir dans le même titre. Ce résultat intuitif est un simple problème d'optimisation quadratique. Un portefeuille ecient est un portefeuille qui a un rendement espéré supérieur aux autres portefeuilles pour le même niveau de risque. Si l'on suppose que les risques proviennent uniquement de la variance d'un titre, alors il s'agit d'optimiser le couple (moyenne - variance) pour chaque valeur de variance. L'ensemble des portefeuilles ecients forment la frontière eciente. Si l'on peut également investir dans l'actif sans risque (comme les bons du trésor), la frontière eciente devient une droite. La diversication permet de supprimer uniquement le risque spécique, ou risque diversiable, et non le risque systématique, ou risque du portefeuille ecient. Le risque systématique est le risque rémunéré. 10

3.2.3 Modèle de prix d'une action Le but d'un modèle de pricing d'action est d'évaluer le rendement futur d'une action. Nous introduisons rapidement le modèle le plus connu, le modèle du CAPM (Capital Asset Pricing Model ou Medaf en français). Le modèle du CAPM permet de déterminer le rendement espéré d'une action. Ce rendement se calcule par rapport à la rentabilité du risque de marché. Sharpe introduisit ce modèle en 1964. Soit ˆ Ri le rendement futur d'une action Si et RM le rendement futur du marché. ˆ r le taux sans risque, ˆ E(RM ) l'espérance de rendement du marché. i ,RM ) ˆ βi,M = Cov(R la corrélation entre le risque non diversiable de V ar(RM ) l'action et le marché.

Alors le rendement espéré de l'action est donné par la formule suivante:

E(Ri ) = r + βi,M (E(RM ) − r) Les principales hypothèses de ce modèle sont: ˆ Les rendements ont une distribution gaussienne. ˆ Il existe deux types de risque: le risque de marché (non diversiable) et le risque spécique (diversiable). Ce modèle permet ainsi de calculer la rentabilité exigée d'une action pour un niveau de risque donné. La faiblesse de ce modèle vient de l'estimation du β . Alors que le futur est supposé aléatoire et en grande partie indépendant du passé, l'estimation du β se fait grâce aux données historiques. Il en découle que le rendement espéré ainsi calculé est uniquement une estimation. Il doit être vu plus comme une indication que comme le 'vrai' rendement espéré d'un titre. Les décisions nales d'investissements d'un manager sont basées sur ce type de modèles et complétées par des raisonnements économiques et ses propres intuitions sur l'évolution du marché. Il existe des généralisations du modèle du CAPM soit en supposant les rendements non gaussiens, soit en supposant qu'il existe plusieurs types de risques systématiques. 11

Les mathématiques utilisées dans ces théories économiques sont simples. D'ailleurs ces résultats ont été introduits en général par des économistes et non par des mathématiciens.

3.3 Produits dérivés et prix Contrairement au pricing d'actions, le pricing d'options fait appel à des mathématiques complexes. Par conséquent, les produits dérivés fournissent de nombreux sujets de recherche aux mathématiciens avec une utilisation rapide des résultats théoriques. C'est aussi pourquoi la nance est devenue un débouché naturel pour les lières de maths. Nous expliquons ce lien entre mathématiques et nance dans cette partie.

3.3.1 Introduction des maths en nance Bachelier, dans sa thèse soutenue en 1900, fut un précurseur en terme de modélisation nancière. En eet, il donna les bases du mouvement Brownien an de décrire la dynamique des actions. Mais son travail est resté inconnu pendant très longtemps. Néanmoins, pour les besoins de la physique, Einstein décrivit à son tour le mouvement Brownien et ses propriétés mathématiques (1905). Wiener, Levy et Kolmogorov peuvent être considérés comme les fondateurs de la théorie moderne des probabilités et du calcul stochastique. Ito décrivit ensuite l'évolution de fonction d'un processus stochastique (formule d'Ito). Cette formule est maintenant le principal outil utilisé par les traders pour les produits dérivés. La réunion entre calcul stochastique et nance, qui s'est faite 70 ans après Bachelier, fut initiée par Black, Scholes et Merton. En 1973, ils introduisirent un nouveau modèle de pricing d'option. Grâce au calcul stochastique, ils développèrent le concept de couverture, concept qui fut une révolution sur les marchés nanciers. La couverture d'une option permet de couvrir parfaitement le risque d'une option, contrat par contrat. Scholes et Merton ont reçu le prix nobel d'économie en 1997 pour ce modèle (Black est mort en 1995). Nous revenons maintenant sur le concept de couverture.

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3.3.2 Strategie de couverture d'une option Dans le cas des options, les banques prennent le risque du client, alors que pour des portefeuilles, elles proposent des investissements mais laissent le risque au client. Ainsi, si toutes les options sont échangées à terme et que la banque n'est pas couverte contre ce risque, cela peut la mener à la faillite. Les premiers produits dérivés étaient pricés selon le principe de diversication. Les banques recevaient une prime pour chaque contrat. Ensuite, elles attendaient le terme du contrat pour constater si elles avaient perdu ou gagné de l'argent. La prime était calculée grâce à des analyses économiques (CAPM,...) et augmentée d'une marge importante an de limiter le risque pris. De plus le principe d'indépendance des individus, qui permet aux assurances de se couvrir en moyenne, ne s'adapte pas aux marchés nanciers où les actions sont fortement corrélées. Pour éviter cette situation, la banque devait proposer des prix très élevés pour les options an de couvrir la plupart des pertes possibles mais aussi limiter le nombre de contrats. Depuis 1973, les banques couvrent chaque option, contrat par contrat, grâce à des stratégies de couverture. La prime d'une option est déterminée comme le montant initial nécessaire pour obtenir exactement le payo nal de l'option, quelque soit l'évolution de l'actif. La prime est investie dans l'action ou le taux sans risque selon une stratégie déterminée par le modèle d'évolution aléatoire de l'actif, appelé stratégie de couverture. La prime est en fait une conséquence de la stratégie de couverture. Par exemple, dans le modèle de Black-Scholes, où le sous-jacent est modélisé par un mouvement Brownien géométrique, le prix d'un call Européen est donné par la formule suivante:

C BS (S0 ; r, σ; K, T ) = S0 N (d1 ) − Ke−rT N (d2 ) où: ˆ d1 (S0 ; r, σ; K, T ) = ˆ N (x) = réduite.

ln

2 S0 +(r+ σ2 )T K √

σ T

√ et d2 (S0 ; r, σ; K, T ) = d1 − σ T

Rx

n(y)dy où n(y) = −∞

−y √1 e 2 2π

ˆ S0 est le prix de l'action à l'instant 0, ˆ r est le taux sans risque, 13

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est la loi normale centrée

ˆ σ est la volatilité annualisée de l'action, ˆ T est la date d'expiration du call (annualisée) et K est le strike. Dans cette formule, S0 et r sont donnés par le marché, T, K sont déterminés par le contrat. Il 'sut' d'estimer la volatilité pour trouver le prix (cf TD1-TD2). Que fait alors la banque à partir de cette prime pour obtenir exactement le payo nal? En fait, à chaque instant, elle achète une quantité N (d1 (St ; r, σ; K, T )) de sous-jacent et investit le reste de la prime dans l'actif sans risque. La fonction d1 dépend de la valeur de l'action à chaque instant, ie St . Comme le cours de l'action est aléatoire, la quantité N (d1 (St ; r, σ; K, T )) est diérente à chaque instant. La banque doit alors rebalancer son portefeuille. Cette stratégie d'investissement s'appelle une stratégie de couverture dynamique. Couverture puisqu'elle permet de couvrir le risque et dynamique puisque l'on doit eectuer en continu un rebalancement du portefeuille en fonction de l'évolution du sous-jacent. La preuve de ce résultat fait appel au calcul stochastique, théorie mathématique introduite dans ce cours. Le concept de couverture a permis immédiatement le développement des marchés dérivés. En eet, comme l'option est parfaitement couverte, sous l'hypothèse que l'évolution du sous-jacent est bien modélisée, les banques ne sont plus exposées au risque qu'elles ont acheté. Une conséquence directe sur les marchés nanciers a été de diminuer très fortement les prix des actions. Comme la demande potentielle était importante, il y a eu explosion des marchés de produits dérivés dans les années 70. Sur les marchés, de nouvelles options, plus complexes, ont été introduites. Au niveau de la recherche, la complexication des modèles mais aussi des options a engendré un grand nombre de problématiques. Toutefois, pour chaque nouvelle option, le principe est toujours le même: proposer une modélisation réaliste du sous-jacent puis trouver la stratégie de couverture et le prix associé à l'option. La couverture dynamique est la problématique centrale du cours. Un des outils nécessaires pour cette preuve est la notion d'arbitrage et de position neutre au risque. Nous donnons maintenant l'intuition de ce concept abordé aussi en td.

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3.4 Arbitrage et prix unique On revient rapidement sur la notion d'arbitrage. Dans le modèle de BlackScholes3 , le prix et la stratégie de couverture sont uniques. L'unicité est garantie par l'absence d'arbitrage sur les marchés. Illustrons ce résultat à travers le prix d'un call européen. Dans le modèle de Black-Scholes, une option est sans risque puisque la stratégie de couverture élimine complètement le risque de l'option. Notons C BS le prix Black-Scholes à l'instant 0. D'après le modèle de Black-Scholes, le payo d'un call européen, (ST − K)+ , est égal au prix initial plus la stratégie de couverture, notée H 4 : (ST − K)+ = C BS + H . Imaginons que l'on puisse vendre ou acheter sur le marché le même call européen à un prix C∗. Si C∗ > C BS , je vends le call à l'instant 0 (+C∗), je me couvre entre l'instant (+H ) et je paie le payo à l'instant nal (−(ST − K)+). Ma balance nale (prot and loss) est:C ∗ +H − (ST − K)+ = C ∗ −C BS > 0. Je gagne de l'argent sans prendre de risque. A vous de trouver l'arbitrage lorsque C > C BS . Contrairement aux produits primaires, le prix du risque (fair price) des produits dérivés (sous certaines hypothèses) est exactement connu grâce aux mathématiques. Les options ne sont plus des échanges de risque mais un échange de services et de compétences: la banque, qui sait comment faire, propose à ses clients de couvrir un risque pour eux. Le prix de l'option pour le client est alors composé de la prime de l'option, ie le montant initial pour mettre en place la stratégie de couverture, et de la marge de la banque.

4 Conclusion Le développement des mathématiques nancières commença avec l'article de Black and Scholes (1973) et l'introduction de la notion de couverture dynamique. Depuis, la nance fournit des sujets de recherche aux mathématiques, et les mathématiques améliorent la couverture des risques 3 Ce

résultat s'étend à tous les modèles en marché complet. Nous introduirons cette notion plus tard, et étudierons uniquement ce type de modèle dans le cours 4 L'équation explicite est: (ST − K)+ = C BS +

Z

N (d1 )dSt 0

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T

d'options. Les méthodes de pricing d'options intègrent rapidement les résultats théoriques. La base mathématique des produits dérivés sur les marchés nanciers est le calcul stochastique, que nous allons introduire dans ce cours. De nos jours, cette industrie est devenue une industrie de pointe et a besoin de personnes ayant de fortes compétences mathématiques et nancières.

References Black, F. and Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities, Journal of Political Economy 81: 635654. Bouleau, N. (1997). Financial Markets and Martingales, Springer. Karatzas, I. and Shreve, S. (1988). Brownian Motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag, New-York. Lamberton, D. and Lapeyre, R. (1997). Introduction au calcul stochastique pour la nance, Ellipses. Markowitz, H. (1959). Portfolio selection: Ecient diversication of investments, Yale University Press .

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