Calcul Stochastique Finance 07 L1

Introduction à la modélisation stochastique en finance Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire Propriétés du mouvement brownien

CALCUL STOCHASTIQUE ET FINANCE IMFSE, Département de Mathématiques Appliquées Nizar TOUZI

SEANCE 1: 25 septembre 2007

Nizar TOUZI

Calcul stochastique & finance

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1

Introduction à la modélisation stochastique en finance

2

Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire

3

Propriétés du mouvement brownien

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Fig.: Wall Street, New York Nizar TOUZI

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Fig.: London Stock Exchange, Londres Nizar TOUZI

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Fig.: Salles de marchés Nizar TOUZI

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Fig.: Evolution du NASDAQ Nizar TOUZI

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Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire

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Propriétés du mouvement brownien

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Le modèle binomial : marché financier • On considère un marché financier constitué - d’un actif sans risque de rendement R 0 = e r sur chaque période (r est le taux d’intérêt) - d’un actif risqué de rendement R. Le modèle binomial suppose que P[R = u] = 1 − P[R = d ] = p où 0 < p < 1 • Les acteurs du marché peuvent faire des échanges en ces deux actifs à toute date t = 0, . . . T (soit T + 1 périodes) sans contraintes sur les volumes, sans coûts de transaction, sans taxes... • On notera pas St le prix de l’actif risqué à la date t, par définition St

= RSt−1 = · · · = R t S0

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Portefeuilles autofinancés • Allocation dynamique de la richesse : - Richesse initiale X0 = x répartie en θ0 S0 en actif risqué % & X0 − θ0 S0 en actif sans risque - Richesse à la date t : Xt répartie en θt St en actif risqué % & Xt − θt St en actif sans risque - Valeur de la richesse à la date t + 1 : Xt+1 = θt St+1 + (Xt − θt St ) R 0 Nizar TOUZI

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Portefeuilles autofinancés - suite

• On calcule alors simplement que : Xt R 0t

= X0 +

t X k=1

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 θk−1

Sk R 0k

−

Sk−1



R 0 k−1

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Portefeuilles et structure d’information • La valeur de la richesse : Xt R 0t

= X0 +

t X

 θk−1

k=1

Sk R 0k

−

Sk−1



R 0 k−1

est connue à la date t • La décision d’investissement est basée sur l’information disponible à la date d’investissement • Mathématiquement la structure de l’information est définie par la donnée d’une suite croissante de σ−algèbres (Ft )0≤t≤T , et les variables aléatoires θt , Xt

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sont Ft − mesurables

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Valeur actualisée, choix de numéraire • Les valeurs actualisées de la richesse et des cours de l’actif risqué : ˜t := Xt X R 0t

St et S˜t := 0 t R

i.e. valeur exprimée en termes de nombre d’unités d’actif sans risque • s’applique à toute variable représentant un montant financier • En termes de valeurs actualisée, la richesse s’exprime simplement X˜t

= X0 +

t X

  θk−1 S˜k − S˜k−1

k=1

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Valeur actualisée, choix de numéraire - suite

• On
peut aussi utiliser un autre actif de réference de prix St0 0≤t≤T : Xt , St0

St St0

Un tel actif est alors appelé numéraire

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Extension : taux d’intérêt stochastique, multi-actifs • Le rendement Rt0 = e rt sur la période [t − 1, t] peut varier de manière aléatoire. Comme il est rattaché à un actif sans risque Rt0 est une variable aléatoire Ft−1 − mesurable On dit que (Rt )1≤t≤T est un processus prévisible • Les valeurs actualisées sont alors définies par ˜t = X

Xt 0 R1 · · · Rt0

et S˜t =

St 0 R1 · · · Rt0

• Si le marché contient d actifs risqués, la richesse se généralise à X˜t

= X0 +

t X

  θk−1 · S˜k − S˜k−1

k=1

où les processus θ et S sont maintenant à valeurs dans Rd Nizar TOUZI

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Propriétés du mouvement brownien

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Les grands théorèmes en probabilité • Loi des grands nombres (LGN) Soit (Ui )i≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi (iid) intégrables ou positives. Alors n

1X Ui −→ E[U1 ] n

P − p.s.

i=1

• Théorème de la limite centrale (TCL) Soit (Ui )i≥1 une suite de variables aléatoires réelles iid et de carré intégrable. Alors ! n √ 1X n Ui − E[U1 ] −→ N (0, Var[U1 ]) en loi n i=1

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Les gaussiennes • X est distribué suivant N(0, 1) si P [X ∈ [x, x + dx]] =

1 √ exp 2π

• X est distribué suivant N(m, σ 2 ) si



−x 2 2

 dx

X −m est distribué suivant σ

N(0, 1) • Une variable aléatoire X à valeurs dans Rn est un vecteur gaussien si a.X est une gaussienne pour tout a ∈ Rn • Soit X à valeur dans Rn un vecteur gaussien N (m, V ), a ∈ Rp et b ∈ MR (p, n) de rang p. Alors   a + bX est distribué suivant N a + bm , bVbT

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Les gaussiennes - suite

• Transformée de Laplace d’un vecteur gaussien X suivant N(m, V ) h i 1 T E e λ·X = e λ·m+ 2 λ V λ (caractérise une gaussienne) • Soit (Xn )n≥1 une suite de gaussiennes qui converge en loi vers une variable aléatoire X . Alors X est une gaussienne • L’ensemble G des variables aléatoires gaussiennes, muni du produit scalaire hX , Y i = E[XY ], est un espace de Hilbert

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Limite en temps continu du modèle binomial • Le temps continu est une modélisation plus riche qui inclut le temps discret, puisqu’il suffit de se restreindre à des stratégies discrètes... • Que devient ce modèle très simple si le pas de temps tend vers zéro ? i.e. dates de transaction ti = i Tn , i = 0, . . . , n • On définit Yi := 1I{Sti =uSti −1 } − 1I{Sti =dSti −1 } pour i = 1, . . . , n, alors n u X ST n 1 ln = ln (ud ) + ln Yi où Yi iid ∼ (δ−1 + δ1 ) S0 2 d 2 i=1
Théorème de la limite centrale =⇒ ln du ≈ Cn−1/2 et
ln (ud ) = O n−1 (ici, on a supposé p = 1/2) Typiquement, si r est le taux d’intérêt par période unitaire u = e

r Tn +σ

q

T n

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et d = e

r Tn −σ

q

T n

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Marche aléatoire symétrique changée d’échelle • Fixons p = 12 , les variables aléatoires Yi , i = 1, . . . , n, sont indépendantes de même loi P[Yi = 1] = 1 − P[Yi = −1] = 12 Pk • M0 = 0 et pour tk := kn , Stk = j=1 Yj , k = 1, . . . , n : marche aléatoire =⇒ On étend à t ≥ 0 par interpollation linéaire, et on définit 1 Mtn := √ Snt , t ≥ 0 n ? Mtn` − Mtnk et Mtnj − Mtni indépendants, 0 ≤ i ≤ j ≤ k ≤ ` ≤ n ? E[Mtnk − Mtni ] = 0 et Var[Mntk − Mnti ] = tk − ti , 0 ≤ i ≤ k ? Propriété de martingale : Ei [Mtnk ] = Mtni ,

0≤i ≤k

? Variation quadratique :  2 [M n , M n ]tk = Σkj=1 Mtnj − Mtnj−1 = tk Nizar TOUZI

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Limite en temps continu de la marche aléatoire symétrique • On définitMtn pour tout t ∈ [0, 1] par interpolation linéaire • D’après le théorème de la limite centrale : Mtn −→ N(0, t) en loi. • En utilisant un théorème de la limite centrale fonctionnel, on obtient la convergence de la suite de processus {Mtn , t ∈ [0, 1]} vers le ... mouvement Brownien (Théorème de Donsker)

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De la marche aléatoire au brownien

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Le mouvement brownien • T = R+ ou [0, T ] • Un processus à valeurs dans Rn est une application de T × Ω dans Rn • Si X est un processus, X (., ω) est une trajectoire correspondant à l’état du monde ω ∈ Ω Définition W : (t, ω) ∈ T × Ω 7−→ W (t, ω) ∈ R est un mouvement brownien standard si • W0 = 0 et W est à trajectoires continues p.s. • W est à accroissements indépendants : Wt4 − Wt3 et Wt2 − Wt1 indépendants si 0 ≤ t1 ≤ t2 ≤ t3 ≤ t4 • Wt+h − Wt est distribué suivant N(0, h) pour t > s ≥ 0

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Distribution marginale du mouvement brownien

• Par définition Wt est distribué suivant N(0, t) : P [Wt ∈ [x, x + dx]] =

√

1 2 e −x /2t 2πt

vérifie l’équation de la chaleur ! ! √ Fig.: Une trajectoire brownienne et les courbes ±1.96 t

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Brève histoire du mouvement brownien

• Utilisé pour modéliser les phénomènes aux mouvements très erratiques en Physique, en Economie, en Finance et en Biologie • Première observation et description par Robert Brown (1773-1858), botaniste écossais, pour modéliser les mouvements des particules en suspension dans un liquide • En 1905, Albert Einstein construit un modèle pour décrire la trajectoire des atomes soumis à des chocs : la densité vérifie l’équation de la chaleur est de ce fait est gaussienne

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Brève histoire du mouvement brownien (suite) • Louis Bachelier (1870-1946) a soutenu en 1900 à la Sorbonne, sous la direction de Henri Poincaré, une thèse intitulée Théorie de la spéculation Il introduit le mouvement brownien et jette les bases de la finance

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Brève histoire du mouvement brownien (suite)

• Norbert Wiener (1894-1964) a donné en 1923 une construction rigoureuse du mouvement brownien, et produit de nombreuses publications en théorie du signal et des télécommunications • Paul Lévy, X1904 (1886-1971), Professeur a l’X, développe l’étude mathématique du mouvement brownien et montre des propriétés surprenantes de non différentiabilité, de grandes oscillations... • Kyioshi Itô (1915-) développe le calcul différentiel stochastique, les équations différentielles stochastiques et les processus de diffusion • Développement considérable en France, notamment en liaison avec la théorie des martingales J.L. Doob, P.A. Meyer

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Mouvement brownien et finance

• Louis Bachelier a été le premier à introduire le mouvement brownien dans la modélisation mathématique en finance, mais ses travaux n’ont pas eu le succès mérité... • Fisher Black, Myron Scholes, et Robert Merton (Prix Nobel d’Economie 1997) ont écrit les articles fondateurs entre 1969 et 1973 de la thérie moderne de la finance mathématique. Ils ont introduit la théorie de l’évaluation par arbitrage et de gestion de portefeuille.

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Intégration stochastique et finance • Rappelons que la valeur actualisée d’un portefeuille est X˜t

= X0 +

t X

  θk−1 · S˜k − S˜k−1

k=1

• Si on veut définir ce processus en temps continu, on doit être capable de passer à la limite quand le pas de temps tend vers zéro. Si tout se passe bien, on s’attend à obtenir Z t ˜ Xt = X0 + θu · d S˜t (intégrale stochastique) 0

• Ce passage à la limite n’est pas trivial car la variation totale k X Mt − Mt = √1 n −→ ∞ ! j j−1 n→∞ n

lim

j=1

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Le mouvement Brownien comme limite d’une marche aléatoire

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Propriétés du mouvement brownien

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Premières propriétés du mouvement brownien • Fonction de covariance : Cov (Wt , Ws ) = E [Wt Ws ] = t ∧ s = min{t, s} • Propriété de martingale : avec Fs := σ (Wu , u ≤ s), E [Wt |Fs ] = Ws pour 0 ≤ s ≤ t   2  • E Wt |Fs ≥ Ws2 , s ≤ t, et Wt2 − t, t ≥ 0 est martingale. n X
2 t • Avec ti := i n , (p.s.-) lim Wtj − Wtj−1 = t (LGN) n→∞

j=1

- Nous verrons que cette limite ne dépend pas du choix de la subdivision de [0, t], et qu’elle définit la variation quadratique - Pour f : R+ −→ R de classe C 1 , on a n X lim (f (tj ) − f (tj−1 ))2 = 0...

n→∞

j=1 Nizar TOUZI

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Premières propriétés du mouvement brownien

Soit W = {Wt , t ≥ 0} un mouvement brownien. Alors • Symétrie : −W est un MB • Propriété d’échelle (scaling) : pour tout c > 0, 1 c Wt := c Wc 2 t , t ≥ 0 est un MB • n Retournement du temps : pour o tout T > 0, T ˆ Wt := WT − Wt , t ∈ [0, T ] est un MB n o ˜ t := tW1/t , t > 0, W ˜ 0 = 0 est un MB • Inversion du temps : W (continuité en zéro !)

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Trajectoires du mouvement Brownien • A l’infini :

Loi des grands nombres Wt −→ 0 p.s. quand t −→ ∞ t

• En zéro : lim sup q t→0

Loi du logarithme itéré Wt 2t ln ln 1t

Wt

= 1 et lim inf q t→0

= −1 p.s.

2t ln ln 1t

• Non différentiabilité nulle part : pour tout t ≥ 0 : lim sup h→0

Wt+h − Wt Wt+h − Wt = +∞ et lim inf = −∞ p.s. t→0 h h

• La trajectoire du mouvement brownien est localement γ−hölderienne pour tout 0 < γ < 21 , nulle part δ−hölderienne pour tout δ > 12 Nizar TOUZI

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Temps d’arrêt • On utilise pour l’instant comme filtration Ft := σ (Ws , s ≤ t) Définition Un temps d’arrêt est une v.a. U à valeurs dans R+ ∪ {+∞} telle que {U ≤ t} ∈ Ft pour tout t ≥ 0 Exemple Premier temps de passage du brownien par le niveau 1 (surtout pas dernier temps de passage par 1 avant une maturité donnée) • Si U, V sont des temps d’arrêt et a ∈ R+ , ? U ∧ V , U ∨ V , U + V sont des temps d’arrêt ? mais U − a n’est pas un temps d’arrêt Définition Pour un temps d’arrêt U, FU := {A : A ∩ {U ≤ t} ∈ Ft }

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Propriété de Markov forte Définition Soit W un MB et X0 une v.a. indépendante de W . Le processus {Xt := X0 + Wt , t ∈ T} est appelé MB issu de X0 Proposition Soit U un temps d’arrêt. Le processus {Wt+U , t ≥ 0} est un mouvement brownien independant issu de WU • Propriété de Markov forte Comme conséquence de cette proposition, étant donnés deux temps d’arrêt 0 ≤ U ≤ V et une fonction borélienne bornée f : Rn −→ R, E [f (WV ) |FU ] = E [f (WU + (WV − WU )) |FU ] = E [E {f (WU + (WV − WU )) |WU } |FU ] = E {f (WU + (WV − WU )) |WU }

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Principe de réflexion (ou de symétrie) Ty := inf {t : Wt ≥ y } : 1er temps de passage au dessus de y • Première remarque : Ty ≤ t ⇐⇒ sup Wu ≥ y u≤t


d • Deuxième remarque :
WTy + Wt+Ty − WTy = WTy − Wt+Ty − WTy =⇒ Loi du maximum courant / du temps de passage :   P sup Wu ≥ y = P [Ty ≤ t] = P [|Wt | ≥ y ] u≤t

=⇒ Loi du brownien et de son maximum courant :   P WT ≤ x , sup Wu ≥ y = P [WT ≥ 2y − x] u≤t

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