Benda Tegar & Gerak Rotasi

Gerak rotasi

Benda tegar





Adalah kumpulan benda titik dengan bentuk yang tetap (jarak antar titik dalam benda tersebut tidak berubah) Gerak benda tegar dapat dipandang sebagai gerak suatu titik tertentu (misalkan titik pusat massa benda) dan gerak relatif titik-titik lain terhadap titik tertentu tersebut.

Gerak rotasi: besaran-besaran sudut





Seperti pada gerak translasi, besaran kinematika gerak rotasi adalah sudut, kecepatan sudut rata-rata, kecepatan sudut sesaat, percepatan sudut rata-rata, percepatan sudut sesaat yang dapat dianalogikan dengan besaran-besaran identik pada gerak translasi Sudut yang ditempuh benda yang bergerak rotasi terhadap suatu sumbu tertentu dinyatakan dengan radian

Vektor perpindahan sudut


Untuk gerak rotasi, perpindahan sudut infinitesimal dθ merupakan besaran vektor yang arahnya ditentukan secara spesifik (tangan kanan)

Kecepatan sudut rata-rata








Analogi dengan kecepatan rata-rata  ?? ∆θ ω = ∆t

Kecepatan sudut sesaat ∆θ dθ ω = lim ω = lim = ∆t →0 ∆t →0 ∆t dt

Arah??

Percepatan sudut


Percepatan sudut rata-rata ∆ω α = ∆t




Percepatan sudut sesaat ∆ω dω α = lim α = lim = ∆t →0 ∆t →0 ∆t dt

Energi kinetik gerak rotasi


Energi kinetik ketiga benda adalah 3

3

1 K = ∑ K i = ∑ m iv i2 i =1 i =1 2


Benda tegar  ketiga benda berrotasi dengan ω yang sama  v i = ωri




Jadi 1 1 3 2 2 2 K = ∑ m i (ωri ) =  ∑ m i ri ω 2  i =1 i =1 2  3

Momen inersia, I

Momen inersia





Momen inersia merupakan kuantitas yang menyatakan sulit tidaknya benda bergerak rotasi terhadap suatu sumbu putar tertentu Bandingannya dalam gerak translasi adalah kuantitas yang menyatakan sulit tidaknya benda bergerak translasi  massa (inersia)




Momen inersia suatu benda titik terhadap sumbu putar yang jaraknya r

I = mr 2


Momen inersia kumpulan benda titik terhadap suatu sumbu putar I = ∑ m i ri 2 i

Besar momen inersia suatu konfigurasi tergantung sumbu putarnya

Momen inersia benda kontinu





Benda kontinu dipandang sebagai kumpulan benda titik Momen inersia benda kontinu dihitung dengan integral I =

2 r ∫ dm seluruh benda

Teorema sumbu sejajar rcm adalah posisi pusat massa dari sumbu putar
rdm adalah posisi elemen massa dm dari titik pusat massa
r adalah posisi elemen massa dm dari sumbu putar


Momen gaya








Gaya  penyebab terjadinya perubahan gerak translasi Analoginya pada gerak rotasi adalah momen gaya Momen gaya  penyebab terjadinya perubahan gerak rotasi

Momen gaya momen gaya yang dihasilkan oleh gaya F terhadap titik O





τ = r ×F





Momen gaya


Jika ada sejumlah benda
titik
yang masing

F = m a masing bekerja gaya i i i dan a i = αr i maka

Momentum sudut


Benda bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v dan posisinya dari titik O adalah r, maka momentum sudut terhadap titik O adalah L = r × p = r × (mv ) = mr × v

Laju perubahan momentum sudut dL d  dr   dp  (r × p ) =  × p  +  r ×  = dt dt dt   dt   = (v × mv ) + (r × Ftotal )
= τ total Jika momen gaya total pada benda sama dengan nol maka momentum sudutnya konstan

Momen gaya total pada sistem sama dengan laju perubahan momentum sudut sistem




Untuk sistem partikel dapat diperoleh ungkapan yang mirip dengan yang diperoleh pada gerak translasi

∑τ







Karena

eksternal

dL = dt

Jika momen gaya eksternal total sama dengan nol, maka momentum sudut sistem kekal

L = mrv = mr (ωr ) = mr 2ω = Iω

Konsep Usaha-energi pada gerak rotasi


Energi kinetik total suatu benda tegar yang melakukan gerak translasi (titik pusat massanya) dan gerak rotasi terhadap titik pusat massa tersebut

K = K translasi + K rotasi

1 1 2 2 = Mv pm + Iω 2 2




Usaha yang dilakukan pada benda yang bergerak rotasi dengan perubahan dθ dapat juga dianalogikan dengan usaha pada gerak translasi


dW = τ .dθ


Jika τ // dθ maka





θf

t

dω 1 W = ∫ dW = ∫ τdθ = ∫ I ωdt = I (ω 2 − ωo2 ) = ∆K rotasi dt 2 0 θi

Gerak Translasi ↔ gerak rotasi Gerak translasi Gerak rotasi

x v a K=mv 2/2 m F P=Fv

θ ω α K=Iω 2/2 I τ P= τω

Gerak menggelinding (rolling)






Gerak menggelinding merupakan contoh gerak gabungan antara translasi dan rotasi Benda yang menggelinding pusat massanya mengalami gerak translasi dan bagian benda yang lainnya bergerak rotasi mengelilingi titik pusat massa tersebut Kasus khusus untuk gerak menggelinding adalah gerak menggelinding tanpa tergelincir (rolling without slipping) yang ditandai dengan tidak adanya gerak relatif antara titik sentuh benda dengan permukaan lintasannya

Gerak menggelinding


Untuk gerak menggelinding tanpa tergelincir, ada hubungan antara besaran-besaran gerak rotasi dengan besaran-besaran gerak translasi

Gerak menggelinding


Diagram benda bebas







Gaya gesek merupakan gaya yang menyebabkan benda bergerak rotasi (menggelinding) Jika tak ada gaya gesek, benda akan tergelincir

Gerak menggelinding


Untuk gerak menggelinding tanpa tergelincir, tidak ada gerak relatif antara titik sentuh pada benda dengan permukaan lintasan geraknya sehingga gaya gesek yang bekerja adalah gaya gesek statik

Dinamika gerak menggelinding


Gerak translasi titik pusat massa

∑F


= Ma pm

Gerak rotasi terhadap titik pusat massa

∑ τ = Iα


Untuk gerak menggelinding tanpa tergelincir, ada hubungan antara besaran translasi dengan rotasi

v pm = ωr

Kesetimbangan





Adanya gaya eksternal yang bekerja pada benda tegar menyebabkan terjadinya perubahan keadaan gerak benda  gerak translasi dan/ atau rotasi Dengan demikian kondisi statik suatu benda tegar ditandai dengan tidak adanya percepatan pusat massa dan juga tidak adanya percepatan sudut terhadap suatu sumbu putar