Rotasi

ROTASI

Analogi Gerak Linear-Rotasi

Gerak Linear

Gerak Rotasi

SUBSTITUSIKAN

Gerak Rotasi dengan Percepatan Angular Konstan Perpindahan Kecepatan

Percepatan

Ringkasan (dengan perbandingan terhadap kinematika 1-D)

Untuk sebuah titik pada jarak R dari sumbu rotasi :

Hubungan antara Besaran Angular dan Linear

Kecepatan linear, v, merupakan garis singgung lintasan. Laju perubahan panjang busur

Tiap-tiap titik mempunyai kecepatan angular yang sama, ω. Akan tetapi, tidak semua titik mempunyai kecepatan linear yang sama.

Hubungan antara Besaran Angular dan Linear Perubahan besar kecepatan linear, v,

Perubahan arah kecepatan linear, v,

Percepatan linear total, a,

Contoh Seorang kontestan memutar roda pada saat tiba gilirannya. Kontestan tersebut memberikan kecepatan awal 3,40 rad/s pada roda. Kemudian, roda tersebut berputar 1,25 putaran dan berhenti di tulisan “bangkrut”. * Berapakah α, bila dianggap konstan? * Berapa lama roda berputar sebelum berhenti?

Contoh Seorang kontestan memutar roda pada saat tiba gilirannya. Kontestan tersebut memberikan kecepatan awal 3,40 rad/s pada roda. Kemudian, roda tersebut berputar 1,25 putaran dan berhenti di tulisan “bangkrut”. * Berapakah α, bila dianggap konstan? * Berapa lama roda berputar sebelum berhenti?

Contoh Seorang kontestan memutar roda pada saat tiba gilirannya. Kontestan tersebut memberikan kecepatan awal 3,40 rad/s pada roda. Kemudian, roda tersebut berputar 1,25 putaran dan berhenti di tulisan “bangkrut”. Jika diameter roda = 2m, * Berapa jarak yang ditempuh oleh sebuah titik pada pinggir roda, s? * Berapa perpindahan titik tersebut, ?

Rotasi Benda Tegar Benda tegar : - tidak berubah bentuk - jarak antar partikel tetap konstan Gerak rotasi murni : rotasi benda tegar dengan sumbu tetap

Rotasi Benda Tegar Dalam waktu Δt, titik pada roda bergerak dari P ke Q dengan sudut

Perpindahan angular :

Semua partikel dalam benda mengalami perpindahan angular yang sama.

Rotasi Benda Tegar Perpindahan angular :

Kecepatan angular rata-rata :

Kecepatan angular sesaat :

Semua partikel dalam benda mengalami perpindahan angular yang sama.

Rotasi Benda Tegar Pernyataan tentang nilai, bukan arah ω bernilai positif ketika θ meningkat (berlawanan arah jarum jam) ω bernilai negatif ketika θ menurun (searah jarum jam)

Rotasi Benda Tegar Percepatan angular rata-rata :

Percepatan angular sesaat :

Rotasi Benda Tegar Jika ω dan α mempunyai tanda yang berlawanan, maka laju rotasi menurun.

Jika ω dan α mempunyai tanda yang sama, maka laju rotasi meningkat.

Rotasi Benda Tegar Untuk rotasi pada sumbu tetap, tiap partikel mempunyai ω dan α yang sama. ω dan α memberikan ciri pada rotasi seluruh bagian benda.

Rotasi Benda Tegar : Arah ω Satu-satunya arah yang secara khusus menentukan gerak rotasi adalah arah di sepanjang sumbu gerak. Aturan tangan kanan : Ketika jari-jari tangan kanan melengkung mengikuti arah rotasi, maka ibu jari akan menunjuk ke arah vektor rotasi ω.

Rotasi Benda Tegar : Arah ω

ω mengarah ke z positif untuk rotasi berlawanan arah jarum jam ω mengarah ke z negatif untuk rotasi searah jarum jam Dalam rotasi murni, sebuah vektor menunjukkan sumbu rotasi, bukan arah gerak.

Rotasi Benda Tegar : Arah α

Cakram dipercepat

Cakram diperlambat

α searah dengan ω jika ω meningkat seiring waktu. α berlawanan arah dengan ω jika ω menurun seiring waktu.

Rotasi Benda Tegar :

Hukum 2 Newton untuk Rotasi dalam Bentuk Angular

Gerak Rotasi Murni Titik pada roda bergerak dari sumbu x ke P

 r konstan  θ menunjukkan perubahan posisi titik terhadap waktu

Gerak Rotasi Murni Titik pada roda bergerak dari sumbu x ke P melalui panjang busur s

Gerak Rotasi Murni

Satuan θ ialah radian.

Konversi dari derajat ke radian :

Contoh :

Momen Inersia

* Semakin jauh letak sebuah massa dari sumbu rotasi, maka semakin besar momen inersianya. * Untuk sebuah benda, momen inersia akan tergantung pada letak sumbu rotasi yang dipilih (tidak seperti pusat massa). * Momen inersia I pada dinamika rotasi akan berperan sama dengan massa m pada dinamika linear. * Momen inersia bergantung pada massa dan distribusinya. * Momen inersia bernilai konstan untuk suatu benda dengan sumbu rotasi tertentu. * Satuan momen inersia ialah kg m2

Menghitung Momen Inersia Untuk N massa titik yang terdistribusi di sekitar sumbu, momen inersianya adalah : Di mana r ialah jarak dari massa ke sumbu rotasi.

Contoh : Hitung momen inersia dari 4 massa titik (m) di sudut-sudut persegi dengan panjang sisi L yang berputar dengan sumbu rotasi tegak lurus terhadap pusat persegi tersebut :

Menghitung Momen Inersia Kuadrat jarak dari tiap massa titik ke sumbu :

Menghitung Momen Inersia Hitung objek yang sama yang berputar dengan sumbu melalui pusat dan sejajar terhadap bidang :

Menghitung Momen Inersia Untuk benda tunggal, I hanya bergantung pada sumbu rotasi.

Pertanyaan : Momen Inersia Sebuah segitiga dibuat dari bola-bola identik dan batang-batang kaku ringan identik seperti terlihat pada gambar. Momen inersia di sekitar sumbu a, b dan c adalah Ia, Ib dan Ic. Pernyataan manakah di bawah ini yang benar?

Jawaban : Momen Inersia I bergantung pada : * Bentuk benda * Jarak dari sumbu rotasi ke benda * Orientasi benda terhadap sumbu rotasi

Menghitung Momen Inersia Untuk sejumlah massa titik :

Untuk benda padat kontinyu, kita harus menambahkan mr2 untuk tiap elemen massa yang sangat kecil dm. Kita harus mengerjakan integral untuk mengetahui nilai I

Momen Inersia untuk Benda Padat Beberapa contoh I untuk benda padat: Cincin tipis dengan massa M dan jari-jari R mempunyai sumbu putar yang melalui pusatnya, tegak lurus terhadap penampang cincin.

Cincin tipis dengan massa M dan jari-jari R mempunyai sumbu putar yang melalui diameternya.

Momen Inersia untuk Benda Padat Beberapa contoh I untuk benda padat: Bola pejal dengan massa M dan jari-jari R mempunyai sumbu putar yang melalui pusatnya.

Cakram atau silinder pejal dengan massa M dan jari-jari R mempunyai sumbu putar yang melalui pusatnya, tegak lurus terhadap penampang.

Momen Inersia Contoh : Dua buah bola mempunyai jari-jari dan massa yang sama. Salahsatunya terbuat dari aluminium padat sedangkan yang lain terbuat dari emas (berongga). Manakah yang mempunyai momen inersia terbesar jika sumbu putarnya melalui pusat bola ? (a) Aluminium padat

(b) emas berongga

padat

berongga

Massa & jari-jari sama

(c) sama

Momen Inersia Jawab : Momen inersia tergantung pada massa (sama untuk kedua bola) dan kuadrat jarak dari sumbu di mana nilainya lebih besar untuk kulit karena massanya terletak lebih jauh dari pusat. Kulit bola (emas) mempunyai momen inersia yang lebih besar

padat

berongga

Massa & jari-jari sama

Momen Inersia

Teorema Sumbu Sejajar Jika kita mengetahui momen inersia sebuah benda dengan sumbu putar yang melalui pusat massanya, kita juga dapat mengetahui momen inersia dengan sumbu putar lain yang sejajar dengan sumbu tersebut.

Contoh : Hitung momen inersia sebuah batang seragam tipis dengan massa M dan panjang L yang sumbu putarnya berada pada ujung batang.

Momen Inersia Momen Inersia, I, muncul sebagai massa rotasi

Bagaimana dengan Hukum 2 Newton ?

Torsi Torsi,

, analog dengan Gaya.

Torsi,

, disebabkan oleh F.

Kemampuan gaya untuk memutar sebuah benda tidak hanya tergantung pada besarnya gaya, tetapi juga pada - di mana gaya tersebut bekerja - arah gaya bekerja

Torsi

Satuan Torsi : Nm Sama dengan satuan Kerja, tetapi secara fisik berbeda. Untuk Kerja : Nm = J. Jangan gunakan J untuk Torsi !

Komponen radial dari gaya yang dikerjakan pada benda tidak dapat menyebabkan rotasi karena gaya tersebut bekerja di sepanjang garis yang melalui sumbu rotasi. Komponen tangensial atau tegak lurus dari gaya yang dikerjakan pada benda dapat menyebabkan rotasi karena gaya tersebut bekerja di sepanjang lengan momen. Kemampuan untuk memutar benda : Pengerjaan gaya yang terbaik Tidak dapat memutar Φ kecil : Pengerjaan gaya kurang baik

Torsi

Torsi merupakan sebuah vektor Arah torsi : tegak lurus bidang yang terdiri dari r dan F Dengan ketentuan : berlawanan arah jarum jam = torsi positif searah jarum jam = torsi negatif

Energi Kinetik Rotasi Bagaimana menghitung energi kinetik untuk benda yang berputar ketika v berubah-ubah sebagai fungsi r ? Contoh : * Perhatikan sistem sederhana yang berputar di bawah ini. (Asumsikan massa-massa diikat ke sumbu rotasi oleh batangbatang kaku ringan). * Energi kinetik sistem ini merupakan jumlah energi kinetik dari tiap-tiap bagian.

Energi Kinetik Rotasi

Perlakukan sebagai kumpulan partikel-partikel :

tapi

ω sama untuk semua partikel

Energi Kinetik Rotasi ω sama untuk semua partikel

Momen Inersia

* Momen inersia bergantung pada massa dan distribusinya. * Momen inersia bernilai konstan untuk suatu benda dengan sumbu rotasi tertentu. * Harus selalu menentukan sumbu rotasi untuk I * Satuan momen inersia ialah kg m2

Energi Kinetik Rotasi Jadi

Energi Kinetik Rotasi

Energi Kinetik Translasi

Keduanya menyatakan Energi Kinetik yang berhubungan dengan gerak. Secara umum :

Energi Kinetik Rotasi Secara umum :

Inersia

Laju Energi Kinetik

adalahmassa massa mmadalah v adalah kecepatan linear

I adalah momen inersia di sekitar sumbu rotasi. ω adalah kecepatan angular

Menggelinding

Menggelinding (yang berarti tidak terjadi selip/gelincir) merupakan kombinasi dari rotasi murni dan translasi murni.

Menggelinding Gerak benda yang menggelinding dapat dipisah menjadi gerak rotasi dan gerak translasi.

Akan muncul energi kinetik yang berhubungan dengan gerak rotasi dan translasi tersebut.

(a) Rotasi murni

Rotasi murni berpusat di O : * Tiap titik pada benda mempunyai laju

* Arah vcm berubahubah * Semua titik berputar dengan pusat O dengan ω yang sama

(b) Translasi murni

Translasi murni : * Tiap titik pada benda mempunyai laju

* Arah vcm menunjuk pada arah translasi

(c) Gerak menggelinding

Gerak menggelinding : * Tiap titik merupakan jumlah vektor dari rotasi murni dan translasi murni * Titik P tetap * Pada titik T, v = 2 vcm yang berarti lebih cepat dari titik-titik lain pada roda.

Energi Kinetik Benda Menggelinding Menggelinding dapat dianggap sebagai rotasi murni dengan sumbu rotasi pada titik P Energi kinetik untuk rotasi murni :

di mana Ip ialah momen inersia dengan sumbu pada titik P dan ω ialah laju angular roda.

Energi Kinetik Benda Menggelinding Gunakan Teorema Sumbu Sejajar untuk menghitung Ip

Substitusikan Ip :

Sehingga : tapi : Jadi :

Energi Kinetik Benda Menggelinding Jadi :

K yang berhubungan K yang berhubungan dengan rotasi yang dengan translasi pusat berpusat di pusat massa massa

Energi Kinetik Benda Menggelinding Tabel : Persentase K yang berhubungan dengan gerak rotasi dan translasi

* Massa semakin dekat dengan sumbu pusat massa * Energi translasi semakin besar

Gesekan & Menggelinding Apa yang menyebabkan benda menggelinding ? Jika tidak ada gesekan, maka benda akan tergelincir tanpa menggelinding.

mg bekerja pada pusat massa :

f bekerja untuk menghambat gerakan :

Tidak ada lengan momen Tidak ada torsi Tidak ada rotasi

Lengan momen adalah R Menghasilkan torsi Benda berputar pada sumbu

Gaya-gaya Dinamika & Torsi Hitung acm dan vcm pada arah gerakan dari bola yang menggelinding dengan keadaan awal diam. Asumsikan N dan W bekerja pada pusat massa.

Gaya translasi :

Torsi rotasi :

Gaya translasi :

Torsi rotasi :

Gaya-gaya Dinamika & Torsi

Metode Energi

Untuk bola

Percepatan Gerak Menggelinding Bentuk umum : Pernyataan ini menunjukkan bahwa percepatan tidak tergantung pada massa benda (hanya kecepatan yang berpengaruh)

Semua benda seperti cakram, cincin, silinder, bola, dll mempunyai momen inersia Icm = c MR2 (c = konstan)

Percepatan Gerak Menggelinding Bentuk umum :

Dengan memperhitungkan gaya-gaya

Dengan memperhitungkan kekekalan energi

Gaya dan energi memberikan hasil yang sama

Momentum : Momentum linear :

Momentum angular :

* kaidah tangan kanan * besar l = mvrsinΦ * harus ditentukan berdasarkan titik asal * partikel tidak harus berputar mengelilingi titik asal (misalnya dapat bergerak pada bidang x-y di sepanjang garis lurus.

Momentum : Apa yang mengubah momentum ? Sistem linear :

Sistem angular : Benar hanya jika dan l mempunyai titik asal yang sama.

Torsi yang bekerja pada sebuah partikel sama dengan laju perubahan momentum angular partikel tersebut.

Contoh :

Momentum angular :

Kinematika :

Berapakah torsi dari benda yang jatuh dengan titik asal O ?

Torsi :

Sistem partikel : Momentum angular total dengan titik asal tertentu :

Momen dari sebuah partikel dapat berubah seiring waktu sehingga Ltot juga dapat berubah seiring waktu :

Sistem partikel : Momentum angular hanya dapat berubah-ubah jika ada torsi luar netto yang bekerja pada sistem. Hukum 2 Newton untuk rotasi dalam bentuk angular

Analog dalam sistem linear :

Hukum 2 Newton Hukum 2 Newton untuk rotasi dalam bentuk angular

Analog dalam sistem linear :

Hukum 2 Newton

Hukum 2 Newton

Kerja

Daya

Kekekalan momentum : Dalam sistem linear :

Kekekalan momentum linear

Kekekalan momentum angular : Dalam sistem rotasi :

Kekekalan momentum angular

Kekekalan momentum angular : Untuk rotasi dengan sumbu tetap

Jika I berubah maka ω akan berubah untuk mengimbangi.

Gerak Gyroscopic

Gerak Gyroscopic

Contoh : Kekekalan momentum (L) Seekor singa dengan massa m berjalan dari tepi menuju pusat komidi putar ketika komidi putar tersebut berputar dengan laju angular ω. Singa tersebut kemudian berhenti pada jarak r dari pusat komidi putar. Apakah ωf akan lebih besar, lebih kecil atau sama dengan ωi ?

Pengurangan inersia

Tidak ada torsi luar :

Contoh : Tumbukan Rotasional & ∆L = 0 Sebuah meja putar dengan momen inersia, It, berputar bebas dengan laju angular awal ω0. Sebuah piringan dengan momen inersia Ir (keadaan awal diam) dijatuhkan ke atas meja putar tersebut. Berapakah laju angular akhir dari sistem meja putarpiringan ?

Contoh : Tumbukan Rotasional