Aplikasi Dari Polinomial Legendre

Tugas Pertama NASAB 25 Oktober 2009

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

Dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor

and dan

masing-masing

dan γ adalah sudut antara kedua vektor. Seri menyatu ketika r> r '. Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi,

, Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan

metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Di mana simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan solusi potensial akan

adalah sumbu

sumbu (sudut puncak),

dan

harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah.

Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

Gambar 2 Yang muncul secara alami di multipole ekspansi. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

Di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di

atas, tetapi dengan a dan r bertukar. Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.

Sem/Kelas : VII/B Jurusan : Pend. Matematika Anggota Kelompok : 1. Ade Kurniawati (060482) 2. Heni Dhofwatul A (060504) 3. Lia Amalia