Aplikasi Dari Polinomial Legendre Dalam Fisika

Aplikasi dari polinomial Legendre dalam fisika The Legendre polynomials were first introduced in 1782 by Adrien-Marie Legendre as the coefficients in the expansion of the Newtonian potential Para polinomial Legendre pertama kali diperkenalkan pada 1782 oleh Adrien-Marie Legendre sebagai koefisien dalam perluasan potensi Newtonian

where r and r ' are the lengths of the vectors dimana r dan r 'adalah panjang dari vektor and dan respectively and γ is the angle between those two vectors. masing-masing dan γ adalah sudut antara kedua vektor. The series converges when r > r ' . Seri menyatu ketika r> r '. The expression gives the gravitational potential associated to a point mass or the Coulomb potential associated to a point charge . Ekspresi memberikan potensial gravitasi dihubungkan ke titik massa atau potensial Coulomb terkait ke titik muatan. The expansion using Legendre polynomials might be useful, for instance, when integrating this expression over a continuous mass or charge distribution. Perluasan menggunakan polinomial Legendre mungkin berguna, misalnya, ketika mengintegrasikan ekspresi ini lebih dari massa yang kontinu atau distribusi muatan. Legendre polynomials occur in the solution of Laplace equation of the potential , Polinomial Legendre terjadi dalam pemecahan persamaan Laplace dari potensi, , in a charge-free region of space, using the method of separation of variables , where the boundary conditions have axial symmetry (no dependence on an azimuthal angle ). , Di daerah bebas biaya ruang, dengan menggunakan metode pemisahan variabel, di mana kondisi batas mempunyai simetri aksial (tidak ada ketergantungan pada sudut azimuthal). Where Di mana is the axis of symmetry and θ is the angle between the position of the observer and the adalah sumbu simetri dan θ adalah sudut antara posisi pengamat dan axis (the zenith angle), the solution for the potential will be sumbu (sudut puncak), solusi potensial akan

[2]

and dan are to be determined according to the boundary condition of each problem . harus ditentukan sesuai dengan kondisi batas setiap masalah [2].

Legendre polynomials in multipole expansions Polinomial Legendre dalam perluasan multipole

Figure 2 Gambar 2 Legendre polynomials are also useful in expanding functions of the form (this is the same as before, written a little differently): Polinomial Legendre juga bermanfaat dalam memperluas fungsi dari bentuk (ini adalah sama seperti sebelumnya, yang ditulis sedikit berbeda):

which arise naturally in multipole expansions . yang muncul secara alami di multipole ekspansi. The left-hand side of the equation is the generating function for the Legendre polynomials. Di sisi kiri dari persamaan adalah fungsi pembangkit untuk polinomial Legendre. As an example, the electric potential Φ( r ,θ) (in spherical coordinates ) due to a point charge located on the z -axis at z = a (Figure 2) varies like Sebagai contoh, potensi listrik Φ (r, θ) (dalam koordinat bola) akibat muatan titik yang terletak pada sumbu z pada z = a (Gambar 2) bervariasi seperti

If the radius r of the observation point P is greater than a , the potential may be expanded in the Legendre polynomials Jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih besar daripada seorang, yang potensial dapat dikembangkan dalam polinomial Legendre

where we have defined η = a / r < 1 and x = cos θ . di mana kita telah mendefinisikan η = a / r <1 dan x = cos θ. This expansion is used to develop the normal multipole expansion . Perluasan ini digunakan untuk mengembangkan normal multipole ekspansi. Conversely, if the radius r of the observation point P is smaller than a , the potential may still be expanded in the Legendre polynomials as above, but with a and r exchanged. Sebaliknya, jika jari-jari r dari titik pengamatan P adalah lebih kecil daripada, potensi masih dapat diperluas dalam polinomial Legendre seperti di atas, tetapi dengan a dan r bertukar. This expansion is the basis of interior multipole expansion . Perluasan ini adalah dasar dari interior multipole ekspansi.