Antwoorden Hoofdstuk 10

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

32

10 Muziek 10.1 Inleiding 2 Trillingen en geluid a Geluid ontstaat door een trillend voorwerp. Om het geluid te horen moeten de trillingen ons oor bereiken. Daarvoor moet er een tussenstof aanwezig zijn tussen het voorwerp en ons oor. Lucht is de meest voorkomende tussenstof. De trillingen van het voorwerp worden overgedragen op de moleculen van de tussenstof. Zij gaan ook trillen. Ze geven hun trillingen door in alle richtingen. Sommige van die trillingen bereiken ons oor. b Een trilling is een periodieke beweging om een evenwichtsstand. In de figuur hiernaast is de beweging van zo’n trilling weergegeven in een (uitwijking,tijd)-diagram. De amplitude is de grootste afstand die het trillend voorwerp heeft tot aan de evenwichtsstand. In de figuur dus 12,5 cm. De trillingstijd is de tijd die het voorwerp voor één complete trilling nodig heeft. Hier dus ca. 4,4 s. Daarna begint een nieuwe trilling.

15 10

uitwijking (cm) 5 0

0

1

2

3

4

-5

5

6

7

8

9

10

tijd t (s)

- 10 - 15

De frequentie is het aantal trillingen dat per seconde wordt uitgevoerd. Verband: De trillingstijd is het omgekeerde van de frequentie. De frequentie is dus ook het omgekeerde 1 1 van de trillingstijd. In het voorbeeld is de frequentie f = = = 0,23 Hz. T 4,4 c Hoe groter de amplitude, des te groter is de geluidssterkte. Hoe groter de frequentie, des te hoger is de toon. d Een microfoon zet de geluidstrillingen om in elektrische trillingen. Deze kunnen op een oscilloscoop zichtbaar worden gemaakt. 3 Muziekinstrumenten a Snaarinstrumenten: het geluid komt van een trillende snaar. Blaasinstrumenten: het geluid komt van een trillende luchtkolom. Slaginstrumenten: het geluid komt van een trillend vlies of trillende plaat. b Snaren kun je stemmen door de spankracht in de snaar aan te passen: hoe groter de spankracht, des te hoger de toon. Bij de meeste snaarinstrumenten worden verschillende snaren gebruikt voor de verschillende tonen. Hoe korter (het trillende deel van) de snaar en hoe dunner de snaar en hoe strakker gespannen, des te hoger de toon. Tijdens het bespelen van een viool of gitaar kan de toonhoogte ook worden veranderd door de lengte van het trillende deel van de snaar aan te passen. Daarbij wordt de snaar tegen de hals van de viool of gitaar aangedrukt. c Bij een blaasinstrument wordt de lengte van de trillende luchtkolom veranderd: hoe korter de luchtkolom, des te hoger de toon. 4 Geluidshinder Geluidsbronnen: Maatregelen:

laag overkomende vliegtuigen, drilboor, cirkelzaag. vliegtuiglawaai: dubbele beglazing; drilboor, cirkelzaag: oordoppen.

5 Geluid opnemen en weergeven a Opnemen doe je met een microfoon. In een microfoon wordt een vliesje in trilling gebracht door de geluidstrillingen. Aan het vliesje zit bijvoorbeeld een spoeltje vast dat om een magneetje zit. In het spoeltje ontstaat nu een wisselstroom, die gelijk op gaat met de trillingen van het geluid. b Weergeven doe je met een luidspreker. Dit werkt op dezelfde manier als bij a, alleen andersom. Je stuurt de wisselende elektrische stroompjes door een spoeltje. Het spoeltje wordt hierdoor afwisselend aangetrokken en afgestoten door de magneet die zich bij de spoel bevindt. Het spoeltje gaat bewegen (trillen). De luidsprekerconus die aan het spoeltje vastzit, gaat meebewegen en brengt de trillingen over op de luchtmoleculen.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

33

10.2 Trillingen Verwerken 8 Ga er van uit dat de instellingen van de oscilloscoop steeds hetzelfde zijn. a D heeft de grootste amplitude, want de maximale uitwijking ten opzichte van de evenwichtsstand is 2,4 hokje. b B heeft de grootste frequentie (kleinste trillingstijd). In dezelfde tijd worden bij B de meeste trillingen uitgevoerd. 9 f =

1 1 1 3 ⇒ 1,5 ⋅ 10 = ⇒T = = 6,67·10-4 s 1,5 ⋅ 10 3 T T

Afgerond: T = 6,7·10–4 s = 0,67 ms

10 a Horizontale as: 0,50 ms/cm betekent dat één hokje naar links/rechts 0,50·10-3 s voorstelt. In de figuur passen precies 10 trillingen in 10 hokjes. 10 trillingen 1 trilling duurt dus = 1,0 hokje T = 0,50·10-3 s 10 hokjes Verticale as: 2,0 V/cm betekent dat één hokje naar boven/beneden 2,0 V voorstelt. Tussen de ‘top’ en het ‘dal’ van de trilling zitten 4,0 hokjes. De amplitude is dus 2,0 hokjes (de maximale uitwijking ten opzichte van het midden, de evenwichtsstand). 2,0 hokjes · 2,0 V per hokje = 4,0 V Amplitude A = 4,0 V b f =

1 1 = = 2000 Hz T 5,0 ⋅ 10 −4

Afgerond: f = 2,0·103 Hz

11 a Om de amplitude A van de trillingen te vergelijken, bepaal je eerst de verticale uitslag in volt: • AA = 2,0 V • AC = 400 mV = 0,40 V • AB = 4,0 V • AD = 24 mV = 0,024 V Conclusie: B heeft de grootste amplitude. b Om de frequenties te vergelijken, bepaal je eerst de frequentie van de vier verschillende trillingen: 1 1 8,0 A: 4,0 trillingen in 8,0 hokjes. 1 trilling is = 2,0 hokjes = 0,40 ms ⇒ f = = = 2,5·103 Hz. T 0,40 ⋅ 10 −3 4,0 1 1 9,5 = 0,95 hokje = 0,475 ms ⇒ f = = = 2,1·103 Hz. T 0,475 ⋅ 10 −3 10 8,8 1 1 C: 2,0 trillingen in 8,8 hokjes. 1 trilling is = 4,4 hokjes = 88 µs ⇒ f = = = 11·103 Hz. 2,0 T 88 ⋅ 10 −6 1 1 D: 1 trillingen in 7,8 hokjes. 1 trilling duurt 7,8 · 5,0 = 39 µs ⇒ f = = = 26·103 Hz. T 39 ⋅ 10 −6 Conclusie: de trilling van diagram D heeft de kleinste trillingstijd en dus de grootste frequentie. B: 10 trillingen in 9,5 hokjes. 1 trilling is

12 a Hoe groter de amplitude, hoe groter de geluidssterkte. Bij vraag 5a bleek dat trilling B de grootste amplitude heeft. Bij B is dus de geluidssterkte het grootst. b Hoe kleiner de frequentie, hoe lager de toon klinkt. Bij vraag 5b bleek dat de frequentie van trilling B het kleinst is. Bij B klinkt de toon dus het laagst.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

13 a Alleen C: een harmonische trilling ziet er uit als een sinusfunctie. Je noemt zo’n geluidstrilling een zuivere toon (met een ‘ronde’ klank). b Bij B en D kun je de amplitude en trillingstijd niet aangeven: er is geen periode (= vaste trillingstijd). c Bij B en D. Bij diagram B is er geen sprake van een trilling: er beweegt niets periodiek om een evenwichtsstand (het is een zogenaamde ‘kritisch gedempte’ trilling). Het is een korte puls die klinkt als een tik of een knal. Bij diagram D hoor je ruis. 14 a De fase is het aantal trillingen dat is uitgevoerd. De fase heeft geen eenheid. Je kunt de fase op twee manieren bepalen: 1. Je kunt het aantal trillingen dat voorbij is tellen. 2. Je kunt ook bepalen hoeveel tijd verstreken is sinds het tijdstip t = 0 s (waarop de trilling door de evenwichtsstand gaat en met een nieuwe trilling begint) en die tijdsduur t delen door de trillingstijd T: t ϕ= T De gereduceerde fase is de fase min het aantal hele trillingen (je kunt dus gewoon de hele getallen weglaten). De gereduceerde fase zegt iets over in welk stadium de trilling zich bevindt. tijdstip t1 t2

tijd (s) 1,60 2,20

t3

2,80

t4

3,60

t5

4,00

fase

ϕ = 1,00 t ϕ= = T t ϕ= = T t ϕ= = T t ϕ= = T

b u = A ⋅ sin( 2π ⋅ f ⋅ t ) waarbij f =

1 T

2,20 = 1,38 1,60 2,80 = 1,75 1,60

ϕr = 0,75

3,60 = 2,25 1,60

ϕr = 0,25

4,00 = 2,50 1,6

ϕr = 0,50

BINAS tabel 35.3.

t  t    u = A ⋅ sin 2π ⋅  ⇒ u = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  T 1,60    u ( t 1 ) = u (1,60 ) = 0,0 cm 2,20   u ( t 2 ) = u ( 2,20 ) = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  = 1,8 cm 1,60   2,80   u ( t 3 ) = u ( 2,80 ) = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  = –2,5 cm 1,60   3,60   u ( t 4 ) = u ( 3,60 ) = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  = 2,5 cm 1,60   4,00   u ( t 5 ) = u ( 4,00 ) = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  = 0,0 cm 1,60   Vervolg op de volgende bladzijde

gereduceerde fase ϕr = 0,00 ϕr = 0,38

Zet je rekenmachine op radialen: MODE Radian.

34

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

35

c Je kunt dit aflezen uit de grafiek. Hieronder wordt uitgelegd hoe je dit kunt berekenen. t  t    u = A ⋅ sin 2π ⋅  ⇒ u = 2,5 ⋅ sin 2π ⋅  waarbij u = 1,0 cm. T 1,60    Druk op Y= en voer de vergelijkingen in uit onderstaande afbeelding (links):

Stel het scherm in onder WINDOW (zie de afbeelding) en druk op GRAPH. De grafiek van de trilling wordt zichtbaar, evenals de lijn bij 1,0 cm. Bij de snijpunten heeft de trilling een uitwijking van 1,0 cm. Toets in 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER, beweeg de cursor naar een punt in de buurt van het eerste snijpunt en toets weer ENTER. Je ziet het resultaat in het scherm (zie de afbeelding): op het tijdstip t = 0,10 s (=X) is de uitwijking 1,0 cm (=Y). De overige punten kun je op dezelfde manier berekenen, als je de cursor op het scherm er in de buurt zet. Dit levert op: t = 0,10 S; t = 0,70 S; t = 1,70 s; t = 2,30 s; t = 3,30 s en t = 3,90 s. 15 a Het gereduceerde faseverschil is inderdaad constant, want de trillingstijden van beide trillingen zijn gelijk. Als de ene een trilling verder is, is de ander ook precies een trilling verder. Het verschil tussen de gereduceerde fases van de twee trillingen blijft voortdurend even groot: de één blijft continu even ver voor lopen op de ander. b Omdat je niet weet hoeveel trillingen aan de grafiek vooraf zijn gegaan, weet je niet precies in welke fase de trillingen zijn, maar wel in welke gereduceerde fase. Vandaar dat gesproken wordt van het gereduceerde faseverschil. Om het gereduceerde faseverschil te berekenen, kijk je op welk tijdstip beide trillingen zich in dezelfde gereduceerde fase bevinden. Hieronder is gekozen voor het begin van een trilling (de gereduceerde fase is daar nul). ∆t 1,00 − 0,00 4,0 ∆ϕ = = = 0,625 (T = = 1,60 s) T 1,60 2,5 Je kunt eventueel ook eerst de gereduceerde fase van de twee trillingen bepalen en daarna het verschil.  (zie BINAS tabel 35.3). Als de klok achterloopt, dan is g de slingertijd dus te groot. De slingertijd moet kleiner worden. Hiervoor is het nodig dat de lengte ℓ van de slinger kleiner wordt. Het gewicht moet omhoog verplaatst worden.

16 Voor een slinger geldt het verband: T = 2π

17 Voor een slinger geldt het verband: T = 2π T = 2π

  ⇒ 1,0 = 2π ⇒ g 9,81

 (zie BINAS tabel 35.3). g

 1,0   1,0  = = ⇒  9,81 2π 9,81  2π 

2

⇒

2

 1,0  =   ⋅ 9,81 = 0,1592 · 9,81 = 0,248 m  2π  18 Voor een massa-veersysteem geldt het verband: T = 2π

Afgerond: ℓ = 0,25 m m (zie BINAS tabel 35.3). C

A Bij een stuggere veer moet je meer kracht uitoefenen om de veer evenveel uit te rekken. Uit de formule Fv = C · u volgt dat de veerconstante C dan groter is. T is dus kleiner. B Als de massa m groter wordt, wordt de trillingstijd T ook groter. C De amplitude staat niet in bovenstaande formule. De amplitude heeft dus geen invloed op de trillingstijd. 19 a Fv = C · u ⇒ C =

b T = 2π

Fv 4,9 ⋅ 10 −3 = = 0,49 N/m u 1,0 ⋅ 10 −2

1 1 m 50 ⋅ 10 −3 = 2,001 s ⇒ f = = = 0,498 Hz = 2π T 2,001 C 0,49

Afgerond: Fv = 0,49 N/m

Afgerond: f = 0,50 Hz

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

36

Controleren 27 Snaartrilling a Zie vergelijking Y1 op nevenstaande schermafbeelding. Zet je rekenmachine op radialen: MODE Radian. Druk op GRAPH om de grafiek zichtbaar te maken. Let op de scherminstellingen (WINDOW). N.B. 8π radialen = 4 ⋅ 2 π ⇒ 4 volledige 'trillingen' ( = 4 ⋅ 360° als je in graden zou werken). b Zie vergelijking Y2 op nevenstaande schermafbeelding. c Zie vergelijking Y3 op de schermafbeelding. Om de variabele Y1 in te voeren druk je op VARS, Y-VARS, 1:Function, 1:Y1. Druk op Y=. Activeer alleen vergelijking Y3 en druk op GRAPH om de grafiek zichtbaar te maken. d Ja, als de frequenties van de trillingen verschillen is de som van twee of meer sinusfuncties geen sinusvorm meer. 28 Gitaarsnaar stemmen a De grondtoon (de a-toon) is de trilling met de grootste trillingstijd. Als je vanaf links begint te tellen, 6,7 zie je 4,5 trillingen ⇒ 4,5 trillingen in 6,7 hokjes ⇒ 1 trilling is = 1,49 hokje ⇒ T = 14,9 ms 4,5 1 1 f = = = 67,2 Hz Afgerond: f = 67 Hz T 14,9 ⋅ 10 −3 b De frequentie is nu 110 Hz, dus er zullen meer trillingen te zien zijn. 1 1 T = = = 0,009091 s = 9,091 ms. f 110 Het scherm is 7 hokjes breed, dat komt overeen met een tijdsduur van 70 ms. 70 In die 70 ms passen = 7,7 trillingen. 9,091 Verder zie figuur hiernaast. 29 Hartslagfrequentie a Een trilling is een periodieke beweging om een evenwichtsstand. Het periodieke zit hem in het feit dat het patroon zich regelmatig herhaalt. Het doet er niet toe dat het patroon zelf wat onregelmatig is. b De trillingstijd is de tijd waarin zich één complete periodieke beweging voordoet (inclusief tussenliggende ‘pauze’). Na die tijd begint de beweging opnieuw. In het begin duurt een periode tamelijk lang. Aan het eind van de grafiek zie je dat er een aantal trillingen snel achter elkaar komen. De oorzaak zou kunnen zijn dat de persoon een inspanning is gaan verrichten waardoor het hart sneller is gaan pompen. c In het begin is de trillingstijd ongeveer 1 s. De frequentie is dan f = Aan het eind is de trillingstijd ongeveer 0,5 s. f =

1 1 = = 1 Hz (60 slagen per minuut). T 1

1 1 = = 2 Hz (120 slagen per minuut). T 0,5

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

37

30 Wisselspanning a De spanning is niet de hele tijd gelijk, zoals bij een gelijkspanning van een batterij. De grootte van de spanning wisselt voortdurend, waarbij de spanning afwisselend positief en negatief is. Een wisselspanning veroorzaakt een wisselstroom die voortdurend van stroomsterkte en stroomrichting wisselt. b 4,0 trillingen in 8,0 hokjes. 1 trilling is

8,0 1 1 = 2,0 hokjes ⇒ T = 20 ms ⇒ f = = = 50 Hz 4,0 T 20 ⋅ 10 −3

c De amplitude is 2,2 hokje hoog. De (verticale) gevoeligheid is 150 V/cm. De maximale waarde Umax is dus: Umax = 2,2 · 150 = 330 V Afgerond: Umax = 3,3·102 V d De genoemde 230 V is niet de amplitude, maar de effectieve waarde van de wisselspanning. Dit wil zeggen dat de wisselspanning gemiddeld per seconde evenveel energie levert als een gelijkspanning van 230 V. De spanning varieert van laag (0 V) tot hoog. Om hetzelfde effect te hebben als 230 V gelijkspanning moet de hoogste waarde van de wisselspanning dus boven de 230 V liggen. 31 Trillende bladveer a Als je met de hand een grafiek gaat tekenen, maak je eerst een extra tabelkolom met de waarden van T2. Vervolgens zet je T2 uit tegen mr. Het resultaat staat in het onderstaande diagram. 0,60 0,50

T2 2

(s )

0 ,4 0 0,30 0,20 0,10

- 40 - 20 - 16 - 14

0,020

0 0

20

40

60

80

mr

100

120

(gram)

Op je grafische rekenmachine teken je de punten als volgt in een grafiek: Toets in: STAT 1:Edit… Je krijgt dan het eerste afgebeelde schermpje te zien. Voer de getallen in. • Je kunt de getallen voor lijst L3 (T2) zelf berekenen, maar je kunt L3 ook automatisch door je rekenmachine laten invullen (zie het tweede afgebeelde schermpje). Ga naar het basisscherm (2nd [QUIT]) en tik in: ALPHA " 2nd [L2] x2 ALPHA " STO→ 2nd [L3] ENTER. • Toets in: 2nd [STAT PLOT] 1:Plot1… Maak de instellingen zoals in het derde afgebeelde schermpje. Om achter Xlist de juiste lijstnaam in te vullen zet je de cursor achter Xlist en toets je in: 2nd [L1]. Voor andere namen dan L1, …, L6 toets je in 2nd [LIST] en kies je de juiste lijstnaam. • Toets in: ZOOM 9:ZoomStat om de scherminstellingen automatisch aan te passen. De punten van de grafiek worden nu getekend. Om de onderkant beter in beeld te krijgen, toets je WINDOW zodat je de scherminstellingen handmatig kunt aanpassen (zie het afgebeelde schermpje voor de juiste instellingen). Om een lijn door de punten te trekken, doe je het volgende: • Toets in: STAT → (om het CALC-menu te kiezen) en kies 4:LinReg(ax+b) om de lijn van de beste (lineaire) eerste graads vergelijking door de punten te laten berekenen. • Toets achter LinReg(ax+b): 2nd [L1] , 2nd [L3] , VARS → 1:Function… 1:Y1. (Je geeft hiermee op dat de tabellijsten L1 en L3 gebruikt moeten worden en dat de bij de kromme lijn berekende functie aan de variabele Y1 toegekend moet worden.) • Druk tenslotte op ENTER en op GRAPH. b De grafiek gaat door nul bij –15,3 gram. Dit kun je berekenen met: 2nd [CALC] 1:zero (zie de vijfde schermafbeelding hierboven). Blijkbaar is de bladveer samen met de schroefas 15,3 g. De trillingstijd van 0,30 s (zonder ringen) hoort immers bij een massa van 15,3 g. De massa van de bladveer kun je bepalen uit de waarde voor de trillingstijd zonder schroefas. Je moet dus weten bij welke massa de trillingstijd 0,14 is. Je kunt dit aflezen uit de grafiek bij T2 = 0,142 = 0,0196 s2, of je kunt het als volgt bepalen: Druk op Y= en voer in Y2 = 0,142. Toets in: 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

38

De massa van de bladveer is dus 15,3 – 11,8 = 3,5 g. De massa van de schroefas is dus 11,8 g. Afgerond: mschroefas = 12 g c De lijn in de grafiek is te beschrijven als T 2 = c1 ⋅ m + b De constante c1 (de helling ofwel de richtingscoëfficiënt) geeft aan hoe sterk T2 toeneemt als de massa toeneemt. Het theoretische verband tussen T en m luidt: T = 2π

m 4π 2 ⇒ T2 = ⋅m C C

4π 2 4π 2 ⇒ de veerconstante C = . c1 C De constante c1 (de helling) kun je uiteraard uit de grafiek halen. Als je op drukt, zie je achter Y1 ∆T 2 de formule voor de rechte lijn staan: c1 = = 0,00557 s2/g (dit is de toename van T2 per gram!). ∆m Per kilogram is het 1000 ⋅ 0,00557 = 5,57 s2/kg.

De constante c1 is dus gelijk aan c1 =

C=

4π 2 4π 2 = = 7,09 N/m c1 5,57

Afgerond: C = 7,1 N/m

10.3 Lopende golven Verwerken 33 Een trilling is een periodieke beweging om een evenwichtsstand van één enkel punt, bijvoorbeeld het uiteinde van een stemvork. Er is sprake van een golf als de trilbeweging van een punt in de ruimte aan nabijgelegen punten wordt doorgegeven. Deze punten gaan dan ook een trilling uitvoeren. 34 Overeenkomsten: Zowel bij transversale als longitudinale lopende golven wordt een trilling doorgegeven. Er is bij beide sprake van een frequentie, een golflengte en een golfsnelheid. Verschil: Bij transversale lopende golven trillen de deeltjes in een richting die loodrecht op de voortplantingsrichting staat. Als de golf van links naar rechts beweegt, trillen de deeltjes dus heen en weer van boven naar beneden of van voor naar achter. Bij longitudinale lopende golven trillen de deeltjes heen en weer in de voortplantingsrichting van de golf. Als de golf van links naar rechts beweegt, trillen de deeltjes dus ook heen en weer van links naar rechts (en van rechts naar links). 35 De golf is longitudinaal. De golf wordt doorgegeven in verticale richting, van boven naar onder. De bovenste moleculen bewegen door de klap eerst naar beneden. Door de veerkracht van de heipaal en de ondergrond bewegen ze weer naar boven en gaan zo trillen. De moleculen trillen dus in verticale richting. De voortplantingsrichting en de trillingsrichting zijn dus gelijk, dus is de golf longitudinaal. In de praktijk ontstaat er ook meestal enige transversale golfbeweging in de heipaal. Dit kan bijvoorbeeld gebeuren doordat het heiblok niet in perfect horizontale stand op de paal valt. Dan ontstaat er ook een zijwaartse trilling van moleculen. 36 Luchtmoleculen kunnen wel tegen elkaar duwen (botsen), maar niet aan elkaar trekken. De aantrekkende vanderwaalskrachten zijn immers verwaarloosbaar klein. De trilling kan dus alleen doorgegeven worden door te botsen, niet door andere moleculen mee te trekken (zoals in een touw). In nevenstaande figuur trilt het molecuul in het midden in horizontale richting en botst daarbij tegen de buren links en rechts. Die gaan daardoor ook trillen. De horizontale trilling wordt dus in horizontale richting doorgegeven. Er ontstaat dus een longitudinale golf (de richting van de trilling is gelijk aan de voortplantingsrichting). De moleculen boven en onder het trillende molecuul merken niets van de beweging van het middelste molecuul en gaan dus ook niet trillen. De trilling wordt dus niet in verticale richting doorgegeven. Er ontstaat dus geen transversale golf (waarbij de moleculen zouden trillen in een richting loodrecht op de voortplantingsrichting). 37 Bij geluid wordt een trilling via de moleculen doorgegeven: de moleculen maken een golfbeweging. In vacuüm zijn geen moleculen en kan dus geen geluid worden doorgegeven.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

39

v f Als de frequentie f toeneemt (bij gelijke golfsnelheid v), neemt de golflengte λ af. Als de golfsnelheid v toeneemt (bij gelijke frequentie f ), neemt de golflengte λ ook toe.

38 v = f ⋅ λ ⇒ λ =

39 s = vgeluid · t = 332 · 5,0 = 1660 m (vgeluid uit BINAS tabel 16A bij 0º C = 273 K) Afgerond: s = 1,7·103 m N.B. In het algemeen geldt: hoe hoger in de atmosfeer, hoe lager de temperatuur. Voor een zomerdag is de gekozen temperatuur van 0 °C wellicht toch wat aan de lage kant. Voor de berekende waarde van de afstand maakt het echter weinig uit. 40 v = f ⋅ λ ⇒ f =

v 10 = = 4,0 Hz λ 2,5

41 a De ‘kop’ van de golf die van links naar rechts beweegt, bevindt zich bij x5. Dit punt bevindt zich dus in het begin van een trilling. De fase (= het aantal uitgevoerde trillingen) is bij x5 dus 0,00. Het punt x4 bevindt zich op een kwart golflengte van x5. Dit punt heeft in het ‘voorbijgaan’ van de golf dus een kwart trilling uitgevoerd (vanuit de evenwichtsstand naar boven). De fase is bij x4 dus 0,25, etc.

Afgerond: f = 4,0 Hz x5 x4 x3 x2 x1

ϕ = 0,00 ϕ = 0,25 ϕ = 0,75 ϕ = 1,125 ϕ = 1,50

ϕr = 0,00 ϕr = 0,25 ϕr = 0,75 ϕr = 0,125 ϕr = 0,50

b Δϕ = ϕ A − ϕ B = 2,00 − 0,25 =1,75 42 a In de tijdsduur ∆t = 12,5 – 12,0 = 0,50 s is de golf in de tekening 1,6 cm naar rechts bewogen. Gezien de schaal van 1:10 is de verplaatsing in werkelijkheid ∆s = 16 cm. Δs 16 = De snelheid waarmee de golf voortbeweegt is dus: v golf = = 32 cm/s Δt 0,5 b Bepaal eerst waar de kop van de golf zich bevindt: het tijdstip t = 13 s is 0,5 s na het tijdstip t = 12,5 s. 2 De kop van de golf legt in 0,5 s 1,6 cm af (in de tekening). Op het tijdstip t = 13 s bevindt de kop van de golf zich dus 1,6 cm naar rechts u 1 ten opzichte van het tijdstip t = 12,5 s. Aan de hand van de golflengte bepaal je waar 0 de golf door de evenwichtstand gaat (links van de kop van de golf): -1 De golflengte λ = 21 cm (afgelezen uit het u,x-diagram), dus 2,1 cm in de tekening. -2 De golf gaat in de tekening elke 1,05 cm links 1 2 3 4 5 6 7 8 0 van de kop van de golf door de evenwichtsstand. x (cm) Zie diagram hiernaast. 43 In de tekening kun je de golflengte en de amplitude van de golf zien op een bepaald punt boven de zeebodem. Als deze golf dichter bij het strand komen veranderen zowel de golflengte als de amplitude. Golflengte v is te beredeneren hoe de golflengte verandert: f De golfsnelheid v is de snelheid waarmee de trilling aan naburige deeltjes wordt doorgegeven. Deze neemt Aan de hand van de formule λ =

volgens de gegeven formule v = g ⋅ d af als de diepte afneemt. De frequentie f blijft gelijk, want de trillingstijd waarin de waterdeeltjes op en neer bewegen verandert niet. Conclusie: De golflengte λ wordt dus kleiner, want v wordt kleiner. Amplitude De amplitude van de golf wordt hoger, zeebodem omdat dezelfde hoeveelheid trillingsenergie in een kortere golf moet zitten. Is de diepte van de zee ongeveer gelijk aan de hoogte van de golven, dan is de golfsnelheid van een top beduidend groter dan die van een dal: de golftop stort over het voorafgaande golfdal. Dit noem je de branding.

strand

Newton vwo deel 1b

44 a

f w = fb ⋅

v v − vb

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

vb is positief als de bron de waarnemer nadert.

40

f (Hz)

waarnemer opg. b

540

343 f w, voor = 500 ⋅ = 540 Hz 343 − 25 343 f w, na = 500 ⋅ = 466 Hz 343 + 25

500 466

waarnemer opg. c

b Omdat de waarnemer vlak langs de weg staat, beweegt de motorfiets recht naar de waarnemer toe en van de waarnemer af. Bij het rakelings passeren neemt de frequentie plotseling af. Zie nevenstaande grafiek.

t (s)

c Uit nevenstaande waarnemer opg. b figuur blijkt het volgende: Als de bron vmotorfiets de waarnemer op enige afstand vmotorfiets passeert, neemt de t.o.v. waarnemer opg. c snelheid van de bron ten opzichte van de waarnemer (= het schuine pijltje) eerst geleidelijk af en waarnemer opg. c vervolgens geleidelijk toe. De frequentie neemt daardoor geleidelijk af. Dit levert de kromme lijn op in bovenstaande grafiek. 45 a f w = fb ⋅

v Dit levert twee vergelijkingen met twee onbekenden (fb en vb): v − vb

3 Situatie vóór passeren: 1,04 ⋅ 10 = fb ⋅

343 343 − v b

(vergelijking 1)

343 (vergelijking 2) 343 + v b Eerste oplosmethode (m.b.v. grafische rekenmachine): Werk de vergelijkingen om, zodat je ze in je GR kunt invoeren (zie de afbeelding links). Bij beide vergelijkingen moet dezelfde variabele in z’n eentje voor het isgelijkteken staan: 343 − v b fb = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ (vergelijking 1*) 343 343 + v b fb = 0,64 ⋅ 10 3 ⋅ (vergelijking 2*) 343 In het snijpunt van de grafieken zijn de waarden voor fb en vb van deze twee vergelijkingen gelijk. 3 Situatie ná passeren: 0,64 ⋅ 10 = fb ⋅

Stel met ZOOM of WINDOW het scherm zo in dat je het snijpunt van de twee vergelijkingen in beeld hebt (zie afbeelding). Je kunt het snijpunt berekenen met 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER. Lees af: (X=) vb = 81,7 m/s = 294 km/h Afgerond: vb = 2,9·102 km/h Vervolg (tweede oplosmethode) op de volgende bladzijde.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

41

Vervolg van opgave 45a. Tweede oplosmethode: Substitueer vergelijking 1* in vergelijking 2. (Voordat je de ene vergelijking in de ander kunt invullen, moet je één van beide eerst omwerken in een handige vorm. Hier is vergelijking 1 omgewerkt tot vergelijking 1*.) 343 − v b 343 0,64 ⋅ 10 3 = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ ⋅ 343 343 + v b 0,64 ⋅ 10 3 = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅

343 − v b 343 ⋅ 343 + v b 343

0,64 ⋅ 10 3 ⋅ (343 + v b ) = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ (343 − v b ) 0,64 ⋅ 10 3 ⋅ 343 + 0,64 ⋅ 10 3 ⋅ v b = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ 343 − 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ v b 0,64 ⋅ 10 3 ⋅ v b + 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ v b = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ 343 − 0,64 ⋅ 10 3 ⋅ 343 (0,64 + 1,04) ⋅ 10 3 ⋅ v b = 1,372 ⋅ 10 5 vb =

1,372 ⋅ 10 5 1,68 ⋅ 10 3

= 81,7 m/s = 294 km/h

Afgerond: vb = 2,9·102 km/h

b De coureur heeft dezelfde snelheid als de racewagen. De (relatieve) snelheid van de bron ten opzichte van de coureur is nul. Hij neemt dus gewoon de toonhoogte waar van de bron. Je kunt de frequentie van de bron fb (=Y) tegelijk met de oplossing van opgave a op het scherm van je grafische rekenmachine aflezen. Het was immers een van de twee onbekenden bij opgave a: (Y=) fb = 792 Hz Afgerond: fb = 0,79 kHz Andere manier: v v − vb 343 − 81,7 f w = fb ⋅ = 1,04 ⋅ 10 3 ⋅ ⇒ fb = f w ⋅ = 792 Hz v − vb v 343

Afgerond: fb = 0,79 kHz

Controleren 47 Golf in een snaar a Piek P ontstaat door de trilling die van rechts naar links loopt (van A naar B). Bij B kaatst de golf terug. Vervolgens ontstaat piek Q, als de golf van B naar A beweegt. Deze piek is negatief (naar beneden). Bij het terugkaatsen op een vast uiteinde (B) gebeurt namelijk het volgende: Als de golf B bereikt, trekt de snaar de klem naar boven (actiekracht). De klem kan niet meebewegen en trekt de snaar op zijn beurt naar beneden (reactiekracht). Daardoor gaat er in de snaar een golf met de piek naar beneden vanuit B naar A. Kortom: bij een vast uiteinde kaatst een golf terug. Daarbij verandert een golfberg in een golfdal en omgekeerd. We zeggen ook wel dat de fase met een ½ verandert. De omgekeerde, negatieve piek kaatst bij A terug. Je krijgt dan weer een positieve piek. Die passeert even later het element (de positieve piek rechts naast P). b Bij de eerste positieve piek passeert de trilling het element E. Dat is op tijdstip t = 1,0 ms. De vierde positieve piek passeert E op het tijdstip t = 14,5 ms = 14,5⋅10–3 s. In die tijdsduur gaat de trilling dus driemaal heen en weer. Daarbij legt de trilling zes keer 25 cm af: s = 6 ⋅ 0,25 = 1,5 m. ∆s 1,5 v= = = 111,1 m/s Afgerond: v = 1,1⋅102 m/s ∆t (14,5 − 1,0) ⋅ 10 −3 c Bij een grotere golfsnelheid komen de pieken vaker langs het element. De pieken liggen dus op onderling kortere afstanden van elkaar. Als de golfsnelheid tweemaal zo groot wordt, liggen de pieken allemaal twee keer zo dicht op elkaar. Zie de figuur hiernaast.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

42

48 Sonar a

s v Als de diepte (s) twee keer zo groot wordt, wordt de tijdsduur (t) ook twee keer zo groot. s = v ⋅t ⇒ t =

b Tussen de puls (de linker piek) en de echo (de kleine piek) zit 7,2 cm. Dit komt overeen met 7,2 ms ⇒ t = 7,2⋅10–3 m/s. BINAS (tabel 16A): v = 1,51⋅103 m/s in zeewater. s = v · t = 1,51⋅103 ⋅ 7,2⋅10–3 = 10,87 m 10,87 Dit is heen en terug, dus de afstand tot de zeebodem is = 5,44 m 2

Afgerond: diepte = 5,4 m

c Hoe dieper, hoe langer de tijdsduur tussen puls en echo. De echo moet terug zijn voordat de volgende puls wordt uitgezonden, anders weet je niet bij welke puls de echo hoort. De pulsen worden om de 10 ms uitgezonden (10 hokjes op het computerscherm). In die tijd legt het geluid een afstand af van s = v ⋅ t = 1,51⋅103 ⋅ 10⋅10–3 = 15,1 m. 15,1 De maximale diepte is dus kleiner dan = 7,55 m Afgerond: maximale diepte = 7,6 m 2 d De tijdsduur tussen de pulsen moet je groter maken. Het is dan ook nodig om het scherm in te stellen op 10 ms per cm, anders valt de echo buiten beeld. 49 Vleermuizen a De golflengte moet kleiner zijn dan 3 mm (= 3⋅10–3 m), anders ‘ziet’ de vleermuis het insect niet. v v = f ⋅ λ ⇒ f = . BINAS (tabel 16A): v = 343 m/s bij 20º C = 293 K. λ 343 v = f = = 1,14·105 Hz (= 114 kHz) Afgerond: f = 1·105 Hz λ 3 ⋅ 10 −3 Als de frequentie kleiner is, is de golflengte groter dan 3 mm en ‘ziet’ de vleermuis het insect niet. (Het geluid buigt dan om het insect heen in plaats van er tegen te weerkaatsen.) De frequentie moet dus gelijk zijn aan of groter zijn dan 1·105 Hz. b Ultrasoon geluid is geluid dat je niet kunt horen omdat de frequentie boven het hoorbare gebied ligt. Mensen kunnen horen tot hoogstens 20 kHz = 2·104 Hz. De toon die de vleermuis uitzendt, is beduidend hoger. c Als de vleermuis continu geluid zou uitzenden, zou het uitgezonden geluid de echo overstemmen. Omdat er continu een echo terugkomt, zou hij bovendien niet kunnen bepalen op welke afstand het insect zich bevindt. Ook de richting waaruit de echo komt is dan niet goed te bepalen, want die is (mede) te bepalen door het verschil in aankomsttijd van de echo bij beide oren. d Hoe korter de tijd tussen een uitgezonden geluidspuls en de ontvangen echo, hoe kleiner de afstand is. 50 Aardbevingsgolven a BINAS (tabel 31): Raarde = 6,378⋅106 m ∆s AS v= = (t = omlooptijd) ∆t t P-golven Uit het diagram is af te lezen dat bij α = 90° de looptijd gelijk is aan 0,70⋅103 s. Pythagoras: AS 2 = AM 2 + MS 2 AS = AM 2 + MS 2 =

(6,378 ⋅ 10 ) + (6,378 ⋅ 10 ) 6 2

6 2

= 9,02⋅106 m

A

M

S

∆s 9,02 ⋅ 10 6 = = 1,29·104 m/s Afgerond: v = 1,3⋅104 m/s ∆t 0,70 ⋅ 10 3 S-golven Uit het diagram is af te lezen dat bij α = 90° de looptijd gelijk is aan 1,35⋅103 s. ∆s 9,02 ⋅ 10 6 v= = = 6,68⋅103 m/s Afgerond: v = 6,7⋅103 m/s ∆t 1,35 ⋅ 10 3 v=

b De transversale S-golven kunnen zich niet voortplanten in een vloeistof of gas, omdat de moleculen niet voldoende trekkracht op elkaar kunnen uitoefenen om de trilling door te geven. De longitudinale golven worden door botsingen van de moleculen doorgegeven. De kern kan dus geen vaste stof zijn. De kern van de aarde bestaat uit vloeibaar ijzer. De aarde is nog van haar ontstaan erg heet. Bovendien komt energie vrij bij het verval van instabiele atoomkernen (waarbij massa wordt omgezet in energie).

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

43

c Bij een hoek van 103° passeren de S-golven rakelings de vloeibare kern (zie nevenstaande figuur). De straal van de aardkern r deelt de hoek α doormidden. r Uit de figuur blijkt: cos 21 ⋅103° = R

(

r = R ⋅ cos

(

1 2

)

A

)

6

r 1

kern

⋅ 103° = 6,378 ⋅ 10 ⋅ 0,6225 = 3,970⋅10 m 6

/2 α R

Afgerond: r = 3,97⋅106 m d De golfsnelheid is in de kern kleiner dan in de mantel. De golven zijn langer onderweg dan je zou mogen verwachten als het binnenste van de aarde geheel uit hetzelfde materiaal zou bestaan als de mantel.

∆s s kern = ∆t t kern skern = 2 · r t kern = t tot − t mantel

e v kern =

mantel

Nieuwe onbekende: ∆tkern Nieuwe onbekende: tmantel

smantel Nieuwe onbekende: smantel v mantel smantel = 2 · (R – r) De P-golf passeert twee keer de dikte van de mantel. smantel = 2 · (6,378·106 – 3,970⋅106) = 4,816⋅106 m

t mantel =

t mantel =

smantel 4,816 ⋅ 10 6 = = 373,3 s v mantel 1,29 ⋅ 10 4

t kern = t tot − t mantel = 1,1·103 – 373,3 = 726,7 s v kern =

s kern 2⋅r 2 ⋅ 3,970 ⋅ 10 6 = = = 1,093⋅104 m/s t kern t kern 726,7

Afgerond: vkern = 1,1⋅104 m/s

51 Snelheidscontrole a ∆f = f w − fb v v − vb De radarstraling wordt door de auto teruggekaatst. De auto fungeert dus als ‘spiegel’. Doordat deze ‘spiegel’ naar de bron toe beweegt (met snelheid va), lijkt het alsof het ‘spiegelbeeld’ van de radarbron met een twee keer zo grote snelheid naar de detector beweegt (dus met een snelheid 2·va). c f w = fb ⋅ c − 2 ⋅va De waargenomen frequentie is te berekenen met de formule van het dopplereffect: f w = fb ⋅

    c c  − fb = f b ⋅   ∆f = f w − fb =  fb ⋅   c − 2 ⋅ v − 1 c − 2 ⋅ v a  a      c − 2 ⋅ v c a  ∆f = fb ⋅  − (gelijknamig maken)   c − 2 ⋅va c − 2 ⋅va 

 c − (c − 2 ⋅ v a )   + 2 ⋅va  = fb ⋅  ∆f = fb ⋅    c − 2⋅v c − 2 ⋅ v a a    ∆ f v a = 21 ⋅ c ⋅ fb

 2 ⋅va  = fb ⋅  c 

(2·va kun je verwaarlozen ten opzichte van c)

∆f 1 1,20 ⋅ 10 3 = 2 ⋅ 3,00 ⋅ 10 8 ⋅ = 20,0 m/s = 72,0 km/h fb 9,00 ⋅ 10 9 Conclusie: Er is geen sprake van een overschrijding van de maximumsnelheid.

b va =

1 2

⋅c ⋅

S

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

44

10.4 Staande golven Verwerken 53 Overeenkomsten: Alle punten voeren een (harmonische) trilling uit; alle punten trillen met dezelfde frequentie; er is sprake van een bepaalde golflengte. Verschillen: lopende golven alle punten trillen met gelijke amplitude alle punten trillen met verschillende fase punten gaan na elkaar door de evenwichtsstand

staande golven de punten trillen met verschillende amplitude het faseverschil tussen de punten is 0 of ½ punten gaan gelijktijdig door de evenwichtsstand

54 Overeenkomsten: Beide zijn staande golfbewegingen, dat betekent dat deeltjes op een vaste plaats heen en weer bewegen. Het golfpatroon (knopen en buiken) verandert daarbij niet van plaats omdat er meerdere lopende golven door elkaar heen bewegen. Verschillen: Bij de transversale trilling bewegen de deeltjes in een vlak dat loodrecht staat op de voortplantingsrichting (de richting waarin die trillingen aan buurdeeltjes worden doorgegeven). Bij de longitudinale trilling bewegen de deeltjes in dezelfde richting als de voortplantingsrichting. 55 Bij elke lengte ontstaat een staande golf als de snaar uit zijn evenwichtspositie wordt gebracht of de luchtkolom wordt ‘aangestoten’ door een turbulente luchtstroom. Als de lengte verandert, verandert echter ook de toonhoogte (frequentie). Bij een bepaalde frequentie (met bijbehorende golflengte) hoort dus een bepaalde lengte van een snaar of luchtkolom: Bij een snaar ontstaan aan de (vaste) uiteinden knopen. Aangezien de afstand van knoop tot knoop een halve golflengte bedraagt, moet de lengte van de snaar dus steeds een geheel aantal halve golflengten bedragen. Daarom is lengte ℓ = n ⋅ ½ λn met n = 1, 2, 3 enzovoorts. Bij een luchtkolom met twee open of twee gesloten uiteinden geldt dezelfde formule omdat bij een open uiteinde een buik ontstaat en bij een gesloten uiteinde een knoop. Daarom zal de lengte van de luchtkolom ook steeds een geheel aantal halve golflengten moeten bevatten. Dus ook daar is de lengte ℓ = n ⋅ ½ λn. Bij een snaar met een los en een vast uiteinde of een luchtkolom met een open en een gesloten uiteinde ontstaan aan de uiteinden een buik en een knoop. Aangezien de afstand van knoop naar buik ¼ λ bedraagt, geldt in dat geval dat de lengte ℓ gelijk moet zijn aan 1 ⋅¼ λ 1, 3 ⋅¼ λ2, 5 ⋅¼ λ3, 7 ⋅¼ λ4 enzovoorts. Algemeen kun je dit schrijven als ℓ = (2n - 1) ⋅ ¼ λn met n = 1, 2, 3 enzovoorts. 56 Bij twee vaste uiteinden (snaar) of twee dichte of twee open uiteinden (luchtkolom): v f1 = • grondfrequentie: 2 • hogere eigenfrequenties: fn = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3, …) Bij een vast en een los uiteinde (snaar) of bij een dicht en een open uiteinde (luchtkolom): v f1 = • grondfrequentie: 4 • hogere eigenfrequenties: fn = ( 2n - 1) ⋅ f1 (n = 1, 2, 3, …) (2n – 1) levert de reeks 1, 3, 5, 7, … etc. 57 Bij een snaar: • de lengte: een grotere lengte geeft een lagere toon. • de spankracht: een grotere spankracht geeft een hogere toon. • de massa per meter: een grotere massa per meter geeft een lagere toon. Bij een luchtkolom: • de lengte: • de geluidssnelheid:

een grotere lengte geeft een lagere toon. een grotere geluidssnelheid (temperatuur of luchtdruk hoger) geeft een hogere toon.

58 De overeenstemming is dat de grondtoon voor beide gelijk is namelijk de g. Het verschil zit in het aantal boventonen en in de amplitude van de boventonen. Bij de piano heeft de eerste boventoon een grotere amplitude dan de grondtoon, bij de viool is dat niet zo. Ook de andere boventonen hebben amplitudes die van elkaar verschillen. De viool heeft veel meer boventonen met een redelijk grote amplitudo dan de piano.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

45

v 220 = = 2,00 m. f 110 Bij de grondtoon is de lengte van de snaar gelijk aan de helft van de golflengte: ℓ = ½ λ = 1,00 m

59 a λ =

b fn = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3, …) f2 = 2 · 110 = 220 Hz Dit is de eerste boventoon (ook wel de tweede harmonische genoemd) f3 = 3 · 110 = 330 Hz; f4 = 4 · 110 = 440 Hz; f5 = 5 · 110 = 550 Hz. 60 a Je kunt dit op je grafische rekenmachine doen (zie nevenstaande schermafbeeldingen). De grondtoon (Y1) en de derde boventoon oftewel vierde harmonische (Y2) bij elkaar opgeteld, leveren de derde grafiek (Y3). Hier is gekozen voor een amplitude van de derde boventoon die de helft is van de amplitude van de grondtoon (dit is afhankelijk van het muziekinstrument). N.B. De Xmax is ingesteld op π radialen (= 180° ) d.w.z. een halve golf. Je kunt het ook zelf tekenen:

figuur a

In figuur a zie je een snaar getekend die alleen in de grondtoon trilt. In figuur b is een snaar getekend die alleen in de derde boventoon trilt. Boventonen van muziekinstrumenten hebben vaak een kleinere amplitude dan de grondtoon. Figuur c laat een momentopname zien als de snaar de beide tonen tegelijkertijd ten gehore brengt. De vorm van de snaar varieert van moment tot moment. Je krijgt deze figuur als je de amplitudo’s van hetzelfde punt van de snaar in figuur a en figuur b bij elkaar optelt.

figuur b

figuur c

b fn = n ⋅ f1 (n = 1, 2, 3, …) Voor de derde boventoon geldt: n = 4. f 500 fn = n ⋅ f1 ⇒ f1 = n = = 125 Hz n 4 f2 = 2 ⋅ 125 = 250 Hz Dit is de eerste boventoon (ook wel de tweede harmonische genoemd) f3 = 3 ⋅ 125 = 375 Hz f4 = 4 ⋅ 125 = 500 Hz Dit is de derde boventoon! f5 = 5 ⋅ 125 = 625 Hz c v = λ ⋅f De lengte van de snaar is gelijk aan de helft van de golflengte van de grondtoon. De golflengte van de grondtoon is dus 2 · ℓ = 2 ⋅ 1,2 = 2,4 m. v = λ ⋅ f = 2,4 ⋅ 125 = 300 m/s Afgerond: v = 3,0⋅102 m/s 61 a Kolom A, want die is aan beide uiteinden open. Kolom B is aan één kant gesloten en heet daarom gesloten. Met een gesloten luchtkolom wordt dus een aan één uiteinde gesloten luchtkolom bedoeld. N.B. Dit wordt ook wel een half gesloten luchtkolom genoemd. b Open kolom: Opmerking: In de figuren is de staande golf weergegeven alsof het een transversale golf is (zoals in een snaar). Met behulp van de gestippelde hulplijnen is goed te zien welk deel van een hele golf zich in de kolom bevindt. λ 2 Bij een open kolom geldt:  = n ⋅ n ⇒ λn = K B B 2 n e • Grondtoon (= 1 harmonische, n = 1): De lengte van de pijp is een halve golflengte, want aan de uiteinden moet een buik zitten. De eenvoudigste vorm die daar in past, is in bovenstaande figuur als een getrokken lijn weergegeven. v 340 λ =  = 1 ⇒ λ1 = 2 = 3,0 m ⇒ f1 = = 113 Hz Afgerond: f1 = 1,1⋅102 Hz λ 3,0 2 1 Vervolg op de volgende bladzijde.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

46

Vervolg van opgave 61. •

Eerste boventoon (= 2e harmonische, n = 2): λ 2  = 2 ⋅ 2 ⇒ λ2 = =  = 1,5 m 2 2 v 340 f2 = = = 226 Hz Afgerond: f2 = 2,3⋅102 Hz λ2 1,5

•

Tweede boventoon (= 3e harmonische, n = 3): 2 λ  = 3 ⋅ 3 ⇒ λ3 = = 1,0 m 3 2 v 340 f3 = = = 340 Hz Afgerond: f3 = 3,4⋅102 Hz λ3 1,0

B

B

K

K

B

B

K

K

B

B

K

B

(Half) gesloten kolom: Bij een (half) gesloten kolom geldt:  = ( 2n − 1) ⋅

4 λn ⇒ λn = ( 2n − 1) 4

•

Grondtoon (= 1e harmonische): De lengte van de pijp is een kwart golflengte, want aan het ene uiteinde moet een buik zitten en aan het andere uiteinde een knoop. De grondtoon is de eenvoudigste vorm die daar in past (zie nevenstaande tekening). K λ B  = 1 ⇒ λ1 = 4 = 6,0 m 4 v 340 f1 = = = 56,7 Hz Afgerond: f1 = 57 Hz λ1 6,0

•

Eerste boventoon (= 2e harmonische): λ 4  = 3 ⋅ 2 ⇒ λ2 = = 2,0 m 4 3 v 340 f2 = = = 170 Hz λ2 2,0

K

B

K

B

Afgerond: f2 = 1,7⋅102 Hz •

Tweede boventoon (= 3e harmonische): 4 λ  = 5 ⋅ 3 ⇒ λ3 = = 1,2 m 5 4 v 340 f3 = = = 283 Hz λ3 1,2

B

K

B

K

B

K

Afgerond: f3 = 2,8⋅102 Hz 62 a BINAS (tabel 16A): v = 343 m/s.

B

b In de figuur is de ligging van de buiken en de knopen aangegeven zowel van de grondtoon, de eerste boventoon als de tweede boventoon. De laatste is in de rechterfiguur getekend.

λ c Bij een open kolom geldt:  = n ⋅ n . 2 Voor de tweede boventoon (n = 3) geldt:  = 3 ⋅

λ3 . 2

v 343 λ3 = = = 0,572 m. f3 600 = 3⋅

λ3 0,572 = 3⋅ = 0,858 m 2 2

Afgerond: ℓ = 0,86 m

B

B

K

K B

K

B K

K B K

B

B

B

grondtoon

1e boventoon

2e boventoon

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

47

63 a De grondtoon is 0,15 kHz. De eerste twee boventonen zijn oneven veelvouden daarvan, namelijk: 3 · 0,15 = 0,45 kHz 5 · 0,15 = 0,75 kHz Dit komt overeen met de reeks voor een (half) gesloten buis: fn = ( 2n - 1) ⋅ f1 (n = 1, 2, 3, …) N.B. De boventoon van 0,90 kHz volgt niet uit dit model. Misschien klopt dit gegeven niet en had dat 7 · 0,15 = 1,05 kHz moeten zijn. Mogelijk zijn er bij een instrument als de saxofoon andere factoren in het spel. b Het ene uiteinde van een saxofoon is open: dat is het uiteinde dat naar het publiek is gericht. Aan het andere uiteinde, bij de blaasopening, bevindt zich het trillende riet. Dat is blijkbaar een gesloten uiteinde, aangezien de frequentiekarakteristiek duidt op een half gesloten luchtkolom. In het uiteinde bij het riet bevindt zich dus een knoop. 64 Door de toename van de temperatuur, neemt ook de frequentie toe. v v v 3 ⋅v = = Voor een blaasinstrument geldt: f1 = (open) of f1 = (half gesloten). λ1 2 ⋅  λ1 4 ⋅  Dus de frequentie van de grondtoon f1 is recht evenredig met de geluidssnelheid v. De geluidssnelheid v neemt ongeveer 6 m/s toe per graad temperatuurstijging. Hierdoor stijgt de frequentie. N.B. De lengtetoename van het blaasinstrument tengevolge van de temperatuurstijging heeft een lagere frequentie tot gevolg. Dit effect is echter verwaarloosbaar klein ten opzichte van de verandering van de geluidssnelheid.

Controleren 73 Gemeenschappelijke boventonen a Gevraagd: toon aan dat f1 = 101 Hz bij a-snaar. Gegeven: v = 141 m/s; ℓ = 64,1⋅10–2 m. v f1 = . Nieuwe onbekende: λ1. λ1 Grondtoon:  = f1 =

1 2

⋅ λ1 ⇒ λ1 = 2 ⋅ 

v v 141 = = = 109,98 Hz λ1 2 ⋅  2 ⋅ 0,641

Afgerond: f1 = 110 Hz

b fn = n ⋅ f1 waarbij n = 1, 2, 3, … . De boventonen zijn dus veelvouden van de grondtoon. Als je de twee onderstaande reeksen vergelijkt, zie je dat er nogal wat boventonen gelijk zijn. a-snaar (harmonische) f (Hz) 1 110 2 3 4

220 330 440

5 6 7

550 660 770

8 9 10

880 990 1100

11 12

1210 1320 enz.

e-snaar (harmonische) f (Hz) 1

165

2

330

3

495

4

660

5

825

6

990

7

1155

8

1320 enz.

De eerste boventoon (= tweede harmonische) van de e-snaar valt samen met de tweede boventoon (= derde harmonische) van de a-snaar enz.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

48

74 Gitaarsnaren a Gevraagd: frequentie f1 Gegeven: Anylon = 1,00⋅10–6 m2; Aijzer = 0,20⋅10–6 m2; ℓ = 0,80 m; Fs = 35,3 N. v f1 = . Nieuwe onbekenden: v en λ1. λ1 v=

Fs . A⋅ ρ

v=

Fs 35,5 = = 175,97 m/s. A⋅ ρ 1,00 ⋅ 10 −6 ⋅ 1,14 ⋅ 10 3

BINAS (tabel 10): ρnylon =1,14⋅103 kg/m3 .

λ1 = 2 ⋅  = 2 · 0,80 = 1,6 m. f1 =

v 175,97 = = 109,98 Hz λ1 1,6

Afgerond: f1 = 110 Hz

v . λ1 De lengte van de snaar is hetzelfde als bij de nylon snaar en dus ook de golflengte van de grondtoon.

b Voor dezelfde grondtoon f1 zal de golfsnelheid v en de golflengte λ1 hetzelfde moeten zijn, want f1 =

Als de golfsnelheid in de snaren hetzelfde is, geldt dus: v = Fs,ijzer Aijzer ⋅ ρ ijzer Fs,ijzer Fs,nylon

=

=

Fs,nylon Anylon ⋅ ρ nylon

⇒

Fs,ijzer Fs,nyon

=

Aijzer ⋅ ρ ijzer Anylon ⋅ ρ nylon

=

Fs,ijzer Aijzer ⋅ ρ ijzer

=

Fs,nylon Anylon ⋅ ρ nylon

of

0,20 ⋅ 10 −6 ⋅ 7,87 ⋅ 10 3 ⇒ 1,00 ⋅ 10 − 6 ⋅ 1,14 ⋅ 10 3

1 6,90 ⋅ = 1,38 ⇒ de spankracht in ijzer moet dus 1,38 keer zo groot zijn. 5 1

Conclusie: De ijzeren snaar moet dus strakker gespannen worden. c Fs = 1,38 ⋅ 35,3 = 48,6 N

Afgerond: Fs = 49 N

75 Resonantie in constructies a Het rechter uiteinde zit in de muur vast, dát uiteinde is een knoop. Het linker uiteinde zit niet vast en kan op en neer bewegen. Bij een dergelijk los uiteinde vormt zich een buik.

grondfrequentie

b Zie de figuren hiernaast. In de tekeningen is de amplitude overdreven weergegeven. Als een stevige balk gaat trillen is de amplitude klein. In de tekeningen hebben de hogere eigenfrequenties (bijna) dezelfde amplitude als de grondfrequentie. In werkelijkheid geldt in het algemeen dat de eerste hogere eigenfrequentie een kleinere amplitude heeft dan de grondfrequentie. De tweede hogere eigenfrequentie heeft weer een kleinere amplitude dan de eerste hogere eigenfrequentie, enzovoorts.

eerste hogere eigenfrequentie tweede hogere eigenfrequentie

c De situatie is te vergelijken met een (half) gesloten luchtkolom (zie opgave 61). Grondfrequentie (= 1e harmonische): De lengte van de balk is een kwart golflengte, want aan het ene uiteinde moet een buik zitten en aan het andere uiteinde een knoop. De grondfrequentie is de eenvoudigste vorm die daar in past. Grondfrequentie: λ  = 1 ⇒ λ1 = 4 4 v v f1 = = λ1 4 d f1 =

Eerste hogere eigenfrequentie: λ 4  = 3 ⋅ 2 ⇒ λ2 = = 2,0 m 4 3 v 3v f2 = = = 3 · f1 λ 2 4

v v 4,3 = = = 0,512 Hz λ1 4 4 ⋅ 2,1

f2 = 3 ⋅ f1 = 3 ⋅ 0,512 = 1,54 Hz f3 = 5 ⋅ f1 = 5 ⋅ 0,512 = 2,56 Hz Vervolg op de volgende bladzijde.

(zie vraag c)

Tweede hogere eigenfrequentie: 4 λ  = 5 ⋅ 3 ⇒ λ3 = 5 4 v 5v f3 = = = 5 · f1 λ 3 4 Afgerond: f1 = 0,51 Hz Afgerond: f2 = 1,5 Hz Afgerond: f3 = 2,6 Hz

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

49

e Een balk raakt met een eigenfrequentie in trilling als er van buitenaf trillingen worden toegevoerd met (ongeveer) de frequentie van die eigentrilling. De balk gaat dan resonantie vertonen: de amplitude van de trillingen in de balk wordt steeds groter. De trilling van buitenaf voert steeds nieuwe energie aan de balk toe. De balk kan die energie alleen maar kwijtraken door de interne wrijving (binnen in de balk) en door de (geringe) wrijving aan de lucht. De steeds grotere amplitude zorgt in de balk voor toenemende spanningen. Als de krachten in de balk te groot worden, kan de balk zelfs breken. 76 Orgelpijpen a Bij een open orgelpijp vormt zich zowel bij de blaasopening als bovenin een buik. λ Bij een open kolom geldt:  = n ⋅ n . 2 λ Dus bij de grondtoon (= 1e harmonische, n = 1) geldt:  = 1 . Nieuwe onbekende: λ1. 2 v v f1 = ⇒ λ1 = . BINAS (tabel 16A): v = 343 m/s bij 20º C (= 293K). λ1 f1

λ1 = =

v 343 = = 0,7795 m. f1 440

λ1 0,7795 = = 0,3898 m 2 2

Afgerond: ℓ = 0,390 m

b Bij een (half) gesloten orgelpijp vormt zich bij de blaasopening een buik en bovenin een knoop. λ Bij een (half) gesloten kolom geldt:  = ( 2n − 1) ⋅ n . 4 λ e Dus bij de grondtoon (= 1 harmonische, n = 1) geldt:  = 1 . 4 v v 343 f1 = ⇒ λ1 = = = 0,7795 m. λ1 f1 440 =

λ1 0,7795 = = 0,1949 m 4 4

c Open orgelpijp: Voor de boventonen geldt: fn = n ⋅ f1 , waarbij n = 2, 3, 4, … Eerste boventoon: f2 = 2 ⋅ f1 = 2 ⋅ 440 = 880 Hz Tweede boventoon: f3 = 3 ⋅ f1 = 3 ⋅ 440 = 1320 Hz Gesloten orgelpijp: Voor de boventonen geldt: fn = ( 2n − 1) ⋅ f1 , waarbij n = 2, 3, 4, … Eerste boventoon: f2 = 3 ⋅ f1 = 3 · 440 = 1320 Hz Tweede boventoon: f3 = 5 ⋅ f1 = 5 · 440 = 2200 Hz

Afgerond: ℓ = 0,195 m

Afgerond: f2 = 880 Hz Afgerond: f3 = 1,32⋅103 Hz

Afgerond: f2 = 1,32⋅103 Hz Afgerond: f3 = 2,20⋅103 Hz

d De open orgelpijp heeft meer boventonen. De klank is dus anders dan bij een gesloten orgelpijp. En in de muziek gaat het nu juist om de klank. 77 Blokfluit stemmen Gegeven: zie hiernaast

d = 2,2 cm

λn 2 32,5 cm ⇒ λn = . B1 2 n Grondtoon (= 1e harmonische, n = 1): v f1 = . BINAS (tabel 16A): v = 343 m/s bij 20º C (= 293 K). Nieuwe onbekende: λ1. λ1

a Bij een open kolom geldt:  = n ⋅

λ1 = 2 = 2 ⋅ ( 32,5 + 0,30 ⋅ 2,2) = 2 · 33,16 = 66,32 cm = 0,6632 m. v 343 f1 = = = 517 Hz λ1 0,6632

Voor de boventonen geldt: fn = n ⋅ f1 , waarbij n = 2, 3, 4, … Eerste boventoon: f2 = 2 · f1 = 2 · 517 = 1034 Hz Tweede boventoon: f3 = 3 · f1 = 3 · 517 = 1551 Hz

Afgerond: f1 = 5,2·102 Hz

Afgerond: f2 = 1,0·103 Hz Afgerond: f3 = 1,6·103 Hz

B2 0,30 . d

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

50

Vervolg op de volgende bladzijde. v v = . λ1 2 Naarmate de temperatuur hoger wordt, neemt de geluidssnelheid v toe (zie BINAS tabel 16A). De frequentie wordt daardoor hoger. De fluit moet daarom langer gemaakt worden om dezelfde toonhoogte weer te geven als bij een lagere temperatuur.

b Voor de frequentie van de grondtoon van de fluit geldt: f1 =

Een ander effect is het uitzetten van het hout van de fluit bij temperatuurstijging. Dit effect is echter verwaarloosbaar (per meter lengte zet hout 5⋅10–6 m uit per graad temperatuurstijging). c•

Gevraagd: v bij 37 °C. waarbij T = 37 + 273 = 310 K. Nieuwe onbekende: c. v =c⋅ T c is te berekenen bij een andere temperatuur, waarbij v bekend is: v 343 ms –1 –0,5 = (N.B. de eenheid volgt uit: .) v =c⋅ T ⇒ c = ( 20 + 273 ) = 20,0 m·s ·K . T K v = c ⋅ T = 20,0 ⋅ 310 = 352 m/s. Je kunt aantonen dat de formule klopt door een temperatuur in te vullen waarvoor de geluidssnelheid bekend is, bijvoorbeeld bij T = 40 °C = 313 K : v = c ⋅ T = 20,0 ⋅ 313 = 354 m/s. Dit komt overeen met de waarde uit BINAS tabel 16A.

•

∆ℓ = ℓ37 ºC – ℓ20 ºC. ℓ37 ºC is de lengte van de fluit als die een grondtoon produceert van 517 Hz bij een geluidssnelheid van 352 m/s (bij 37 °C). v v v 352 f1 = = = ⇒ = = 0,3404 m. λ1 2 2 ⋅ f1 2 ⋅ 517 ∆ℓ = ℓnieuw – ℓoud = 34,04 – 33,16 = 0,88 cm Conclusie: de afstand B1B2 moet dus 0,88 cm toenemen (en dus ook de lengte van de fluit).

78 Resonantie in de gehoorgang a De gehoorgang omsluit een luchtkolom. Die luchtkolom is aan de ene kant open (bij de gehoorschelp) en aan de andere kant gesloten (bij het trommelvlies). Net als bij een half gesloten luchtkolom, treden er staande golven op in de gehoorgang. Er treedt dus resonantie op.

B b f1 =

v . λ1

K

Nieuwe onbekende: λ1.

De temperatuur is niet gegeven. We gaan uit van de geluidssnelheid bij 20 ºC (= 293 K) ⇒ v = 343 m/s. λ  = 1 (zie bovenstaande figuur). 4 λ1 = 4 = 4 ⋅ 25·10–3 = 0,10 m. f1 =

v 343 = = 3430 Hz λ1 0,10

Afgerond: f1 = 3,4⋅103 Hz

c De theorie geldt voor een cilindervormige luchtkolom, met een harde wand eromheen. De gehoorgang wijkt daarvan af: • De gehoorgang is niet overal even lang (de buis is als het ware schuin afgezaagd bij de ingang en bij het trommelvlies). • De gehoorgang is niet overal even dik. • De wand van de gehoorgang is niet hard, in het bijzonder bij het trommelvlies. d Door de resonantie (het meetrillen van de luchtkolom) in de gehoorgang wordt het geluidssignaal versterkt, net als bij de klankkast van een gitaar. Dit treedt vooral op in het voor spraak belangrijke frequentiegebied. Dit maakt het gehoor in dit frequentiegebied dus extra gevoelig.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

51

79 Resonantie in een ventilatiekanaal a De beide uiteinden van het kanaal zijn open. Trillende lucht zal hier proberen een buik te vormen. Er treedt resonantie op als zich in het geruis van de ventilator frequenties bevinden die even groot zijn als de grondfrequentie of één van de hogere eigenfrequenties van de betreffende luchtkolom.

λn 2 K ⇒ λn = . B B 2 n e Grondfrequentie (= 1 harmonische, n = 1): v f1 = . BINAS (tabel 16A): v = 343 m/s bij 20º C (= 293 K). Nieuwe onbekende: λ1. λ1

b Bij een open kolom geldt:  = n ⋅

λ1 = 2 = 2 · 12 = 24 m. f1 =

v 343 = = 14,3 Hz λ1 24

Afgerond: f1 = 14 Hz

Voor de boventonen geldt: fn = n ⋅ f1 , waarbij n = 2, 3, 4, … Eerste boventoon: f2 = 2 · f1 = 2 · 14,3 = 28,6 Hz Tweede boventoon: f3 = 3 · f1 = 3 · 14,3 = 42,9 Hz

Afgerond: f2 = 29 Hz Afgerond: f3 = 43 Hz

c Door de resonantie in het ventilatiekanaal ontstaan hinderlijke lage tonen. Dit klinkt als een constant daverend gedreun. Het is te vergelijken met de dreunende tonen die de wind in de schoorsteen kan opwekken. Verder krijgt ook de ventilator extra krachten te verwerken. De constructie van de ventilator moet dus stevig genoeg zijn.

10.5 Geluid Verwerken 81 Als het geluid p keer zo hard wordt (geluidsintensiteit I), komt er (10 · log p) dB bij (geluidsniveau Lp). Bijvoorbeeld: • Als het geluid bijvoorbeeld 35 keer zo hard wordt, komt er dus 10 · log 35 = 15,4 dB bij. Onthoud de volgende twee vuistregels: • Als het geluid 2 keer zo hard wordt, komt er 10 · log 2 = 10 · 0,30 = 3,0 dB bij. • Als het geluid 10 keer zo hard wordt, komt er 10 · log 10 = 10 dB bij. Omgekeerd geldt: Als er q dB bijkomt, wordt het geluid 10q/10 keer zo hard. Bijvoorbeeld: • Als er 1,0 dB bijkomt, wordt het geluid 100,10 • Als er 2,0 dB bijkomt, wordt het geluid 100,20 • Als er 3,0 dB bijkomt, wordt het geluid 100,30 • Als er 6,0 dB bijkomt, wordt het geluid 100,60 • Als er 10 dB bijkomt, wordt het geluid 101,0 = • Als er 20 dB bijkomt, wordt het geluid 102,0 = • Als er 23 dB bijkomt, wordt het geluid 102,3 =

= 1,26 keer zo hard. = 1,58 keer zo hard. = 2,00 keer zo hard. = 3,98 keer zo hard. 10 keer zo hard. 100 keer zo hard. 200 keer zo hard.

82 De geluidsintensiteit is de hoeveelheid geluidsenergie (trillingsenergie) die per seconde een oppervlak (m2) treft (of passeert). De trillingsenergie die een (puntvormige) geluidsbron uitzendt, verspreidt zich als een golf in de ruimte. Het front van deze golf vormt als het ware een steeds grotere bolschil. De energie van de oorspronkelijke trilling wordt verdeeld over het hele oppervlak van deze denkbeeldige bol. Even later is het golffront nog verder verwijderd van de bron en wordt dezelfde trillingsenergie dus verspreid over een nog groter boloppervlak. Per vierkante meter is dus steeds minder trillingsenergie beschikbaar. Conclusie: Hoe verder van de geluidsbron, hoe kleiner de geluidsintensiteit. 83 De geluidsintensiteit wordt twee keer zo groot, want er wordt nu twee keer zoveel geluidsenergie geproduceerd. Het geluidsniveau wordt gemeten in dB. Als het geluid 2 keer zo hard wordt, neemt het geluidsniveau toe met 10 · log 2,0 = 3,0 dB

Newton vwo deel 1b

84 I =

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

P P = ⇒ P = I ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 = 3,0 ⋅ 10 −4 ⋅ 4 ⋅ π ⋅ 10 2 = 0,377 W A 4⋅π⋅r 2

52

Afgerond: P = 0,38 W

P 1 85 Het oppervlak van een halve bol is 2 ⋅ π ⋅ r 2 . Er geldt dus: I = ⇒ I~ 2 . 2⋅π⋅r 2 r 86 I =

P

Nieuwe onbekende: P

4⋅π⋅r 2

E 0,020 = = 0,667 W t 30 ⋅ 10 −3 0,667 = = 0,108 W/m2 4 ⋅ π ⋅ 0,70 2

E = P ⋅t ⇒ P = I=

P 4⋅π⋅r 2

 I Lp = 10 ⋅ log  I0

Afgerond: I = 0,11 W/m2

 0,108   = 10 ⋅ log  −12 = 110 dB   10  

Afgerond: Lp = 1,1·102 dB

87 Gevraagd: r waarbij de persoon net iets waarneemt (dus bij de laagst mogelijke I) P Pbron I = bron2 ⇒ r = onbekend: Pbron 4πr 4π ⋅ I Pbron = I ⋅ 4πr 2 = 3,5·10–7 · 4 · π · 252 = 0,002749 W r =

Pbron = 4π ⋅ I

0,002749 4 ⋅ π ⋅ 2,0 ⋅ 10 −5

Snelle manier: het geluid moet Dan moet de afstand

= 3,307 m 2,0 ⋅ 10 −5 3,5 ⋅ 10 −7

Afgerond: r = 3,3 m

= 57,1 keer zo hard zijn.

57,1 keer zo klein worden: r =

25 57,1

= 3,3 m

88 Met het geluidsniveau Lp (in dB) wordt aangeven hoeveel keer harder het geluid is dan het zachtste nog net waarneembare geluid. Een geluidsniveau van 90 dB wil zeggen dat de geluidsintensiteit 109,0 keer zo groot is als de zachtste waarneembare geluidsintensiteit (= I0 = 10–12 W/m2). De oplossing van de opgave: Manier 1: 5,0 = 10 keer zo groot, dus wordt de geluidsintensiteit 102 = 100 keer zo klein. 0,50 (De geluidsintensiteit is immers omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand.) Een factor 100 komt overeen met 10 ⋅ ( 10 log100) = 10 · 2,0 = 20 dB. Er gaat dus 20 dB af (bij de logaritmische decibelschaal moet je niet vermenigvuldigen en delen, maar optellen en aftrekken). 90 dB – 20 dB = 70 dB 10 9,0 Je kunt ook zeggen dat de geluidsintensiteit = 107 keer zo groot is geworden als het zachtste hoorbare 10 2 De afstand wordt

geluid. Een factor 107 komt overeen met 10 ⋅ ( 10 log10 7 ) = 70 dB. Vervolg op de volgende bladzijde.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

53

Manier 2:  I 5,0 Lp = 10 ⋅ log  I0 P I 5,0 = bron2 4πr

   

Met deze formule bereken je het geluidsniveau op 5,0 m afstand. Onbekend: I5,0 Nieuwe onbekende: Pbron

Pbron = I 0,50 ⋅ 4πr 2

Pbron is te berekenen met de geluidsintensiteit op 0,50 m afstand

Lp  I  10 Lp = 10 ⋅ log  ⇒ I ⋅ I 0 de geluidsintensiteit is te berekenen uit het geluidsniveau 0,50 = 10 I  0 Het geluidsniveau op 5,0 m afstand bereken je dus als volgt (de hierboven beschreven stappen in omgekeerde volgorde): Lp

90

I 0,50 = 10 10 ⋅ I 0 = 10 10 ⋅ 10 −12 = 10

9,0

· 10–12 = 1,0·10–3 W/m2

Pbron = I 0,50 ⋅ 4πr 2 = 1,0·10–3 · 4 · π · 0,502 = 0,003142 W I 5,0 =

Pbron 4πr

2

=

 I Lp = 10 ⋅ log  I0

0,003142 4 π ⋅ 5,0 2

= 1,0·10–5 W/m2

 1,0 ⋅ 10 −5   = 10 ⋅ log   1,0 ⋅ 10 −12  

  = 70 dB  

89 Bij een zware muur wordt het grootste deel van de geluidsenergie weerkaatst. Vooral dáárdoor laat de dikke muur minder geluid door dan de dunne muur. De mate van absorptie verschilt niet veel. 90 a Het gordijn laat 100% – 15% = 85% door.

muur

muur 100%

100% absorptie

reflectie

b 85% wordt geabsorbeerd, vervolgens wordt daarvan 100% transmissie gereflecteerd en tenslotte wordt daarvan weer 85% geabsorbeerd bij het opnieuw passeren van het gordijn. Dit levert: 0,85 · 1,00 · 0,85 = 0,723 = 72,3% wordt uiteindelijk gereflecteerd.

absorptie

reflectie transmissie

Afgerond: 72%

91 a Zie de bovenste grafiek (schermafbeelding) hieronder. Het nadeel van een ‘normale’, lineaire grafiek is dat deze niet goed laat zien dat het gehoor even goed onderscheid kan maken tussen 10 en 100 Hz als tussen 100 en 1000 Hz. Daardoor liggen de meetpunten links in de grafiek erg dicht bij elkaar en rechts erg ver uit elkaar. Hoe zit dat precies? Het gehoor heeft een groot frequentiebereik. Het opmerkelijke is dat een frequentietoename van bijvoorbeeld 100 Hz naar 200 Hz niet te vergelijken is met een toename van 1000 Hz naar 1100 Hz, maar met een toename van 1000 Hz naar 2000 Hz. Dezelfde frequentietoename heeft bij een lage frequentie dus veel meer effect dan bij een hoge frequentie. Het hangt van de frequentie (toonhoogte) af hoe groot het effect van een toename (met bijvoorbeeld 100 Hz) is. Je kunt ook zeggen dat het gehoor bij lage frequenties een veel groter onderscheidend vermogen heeft dan bij hogere frequenties. De verandering van de frequentie moet exponentieel toenemen om gehoormatig hetzelfde effect te sorteren. (Om bij elke verandering telkens hetzelfde effect te krijgen moet je van 100 naar 200 naar 400 naar 800 Hz enzovoorts en niet van 100 naar 200 naar 300 naar 400 enzovoorts.) Dit is dus beter weer te geven in een grafiek met een logaritmische schaalverdeling dan met een lineaire schaalverdeling. Een muziekinstrument, bijvoorbeeld een piano, is in feite ook ‘logaritmisch’ ingedeeld: als je een bepaalde a-toets indrukt, hoor je een toon met een frequentie van 220 Hz. Twaalf toetsen naar rechts zit weer een a, maar dan met een frequentie van 440 Hz. Nog een octaaf (twaalf toetsen) hoger zit een a van 880 Hz, enzovoorts. Het aantal hertz dat er bij moet komen wordt dus telkens twee keer zo groot. Overigens geldt ook voor de geluidsintensiteit dat deze exponentieel moet toenemen om gehoormatig hetzelfde effect te sorteren. Vandaar dat hiervoor de logaritmische eenheid dB (decibel) wordt gebruikt. De verticale schaalverdeling van de grafiek is dus in feite óók logaritmisch. Vervolg op de volgende bladzijde.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

54

De grafiek teken je als volgt op je grafische rekenmachine: • Toets in: STAT 1:Edit… Voer de getallen in onder L1 en L2. • Toets in: 2nd [STAT PLOT] 1:Plot1… Maak de instellingen zoals in het hieronder als eerste afgebeelde schermpje. Om achter Xlist (en Ylist) de juiste lijstnamen in te vullen zet je de cursor achter Xlist en toets je in: 2nd [L1]. (Voor andere namen dan L1, …, L6 toets je in 2nd [LIST] en kies je de juiste lijstnaam.) • Toets in: ZOOM 9:ZoomStat om de windowvariabelen automatisch aan te passen. Je kunt deze ook handmatig aanpassen als je op WINDOW drukt (zie de tweede schermafbeelding voor de juiste instellingen). De punten van de grafiek worden nu getekend, verbonden met (rechte) lijnstukken.

b Zie de laatste schermafbeelding hierboven (de grafiek rechtsonder). Een nadeel is dat de frequentie niet meer zo goed is af te lezen. Verder is de logaritmische grafiek bij de hoge tonen veel minder nauwkeurig dan bij de lineaire grafiek. Dat lijkt een nadeel, maar is wel overeenkomstig de werking van het gehoor. Het is dan ook gebruikelijk om de grafiek op deze manier weer te geven. Je kunt de grafiek tekenen op je grafische rekenmachine (zie de drie onderste schermpjes die hierboven staan afgebeeld). Om de horizontale as een logaritmische indeling te geven doe je het volgende: • Toets in: STAT 1:Edit… Ga met de cursor naar de cel met “L3“, in de kop van de tabel (zie de vierde schermafbeelding hierboven). Druk op ENTER en toets in: LOG 2nd [L1] ENTER. • Toets in: 2nd [STAT PLOT] 1:Plot1… Toets in achter Xlist: 2nd [L3]. 92 a Uit het diagram blijkt dat het gehoor het gevoeligst is in het frequentiegebied tussen 2 en 6 kHz (zie ook BINAS grafiek 85 B). In dat frequentiegebied resoneert de luchtkolom in de gehoorgang (zie opgave 78 van de vorige paragraaf). Dit frequentiegebied is van groot belang voor de verstaanbaarheid van spraak. b BINAS grafiek 85 B is nauwkeuriger dan de figuur in het informatieboek. Lees af bij de onderste lijn in de grafiek (waar “gehoordrempel” bij staat). Een toon met een frequentie van ongeveer 45 Hz is bij een geluidsniveau van 40 dB net te horen. Bij de hogere frequenties is deze waarde niet af te lezen in BINAS. Bij de hoge frequenties hangt het heel sterk van de leeftijd af waar de drempel ligt (zie ook de grafieken 85 C van BINAS). c De gehoordrempel ligt ongeveer bij 10 dB voor een toon van 200 Hz. Het geluidsniveau moet dus 5 dB toenemen. Dat betekent een toename met een factor 105/10 = 3,2. Afgerond: 3× d Bij 30 Hz ligt de gehoordrempel ongeveer bij 55 dB. De 30 Hz toon klinkt dus 80 – 55 = 25 dB harder dan de zachtste net hoorbare toon van 30 Hz. Bij 1,0 kHz ligt de gehoordrempel ongeveer bij 0 dB. De 30 Hz toon klinkt dus 80 dB harder dan de zachtste net hoorbare toon van 1,0 kHz. De toon van 1,0 kHz zal daarom beduidend harder (“doordringender”) klinken dan de toon van 30 Hz.

Controleren 93 Openluchtconcert Het geluid moet 135 – 95 = 40 dB zachter worden. De geluidsintensiteit moet dus 1040/10 = 104 keer zo zacht worden. De geluidsintensiteit neemt evenredig af met het kwadraat van de afstand, want I =

Pbron 4πr 2

.

Je moet de afstand tot de luidsprekers dus 10 4 = 100 keer zo groot maken. Je moet dus op een afstand gaan staan van 100 · 1,5 = 150 m Afgerond: minimale afstand = 1,5·102 m

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

55

94 Geluidsisolatie a Het geluidsniveau is lager achter muur B. Deze isoleert dus beter dan muur A. Muur B reflecteert en/of absorbeert het geluid blijkbaar beter dan muur A. Muur B is wellicht zwaarder of bestaat misschien uit meerdere lagen (waarbij het geluid vaker de overgang van lucht naar vaste stof moet passeren). b De muren isoleren beter bij hoge frequenties dan bij lage frequenties. Om lage tonen goed te reflecteren moet de muur zwaarder zijn dan nodig is bij hoge tonen. Verder worden lage tonen niet effectief geabsorbeerd in de kleine holtes van een poreus wandoppervlak. c De lage bastonen worden veel minder gedempt door de muren dan de hogere tonen. 95 Geluidslek a Het geluidsniveau neemt met 60 dB af. Dit betekent dat de geluidsintensiteit een factor 1060/10 = 106,0 keer 1,0 ⋅ 10 −2 kleiner wordt. De geluidsintensiteit wordt dus = 1,0·10–8 W/m2. 10 6 b De geluidsenergie die op het oppervlak van het gat valt, wordt ongehinderd doorgelaten. Het oppervlak van het gat is een honderdduizendste deel van het totale wandoppervlak: Agat 1,0 ⋅ 10 −4 = = 1,0·10-5 = één honderdduizendste A wand 10 c I=

Pgat

Het geluidsvermogen dat door het gat gaat is: Pgat = I · A = 1,0·10–2 · 1,0·10–4 = 1,0·10-6 W

2πr 2

Het geluid verspreidt zich over een half boloppervlak (2π·r2). I=

Pgat 2πr

2

=

1,0 ⋅ 10 −6 2π ⋅ 1,0 2

= 1,59·10-7 W/m2

Afgerond: I = 1,6·10-7 W/m2

d Itot = Iwand + Igat = 1,0·10–8 + 1,59·10-7 = 1,69·10-7 W/m2 1,69 ⋅ 10 −7 I is dus = 16,9 keer zo groot geworden tengevolge van het geluidslek. 1,0 ⋅ 10 −8 Dit betekent een toename van het geluidsniveau met 10 · log 16,9 = 12,3 dB

Afgerond: 12 dB

e Een kleine opening laat relatief veel geluid door. Het negatieve effect van een slechte afdichting kan net zo sterk zijn als het positieve effect van zware isolerende materialen. 96 Middenoor a 30 dB komt overeen met een factor 103,0. Slechts een duizendste van het geluidsvermogen wordt nog opgenomen. 99,9% gaat dus verloren. b De vloeistof in het slakkenhuis wordt door de geluidstrillingen die het ovale venster opvangt heen en weer bewogen. Als het ovale venster door de geluidstrilling naar binnen wordt geduwd, ‘stulpt’ het ronde venster dus naar buiten en andersom (de vloeistof kan niet worden samengedrukt). Als het ronde venster (nagenoeg) tegelijkertijd dezelfde geluidstrillingen opvangt, wordt het echter tegelijk met het ovale venster naar binnen toe geduwd. De beweging van het ronde venster werkt dus de beweging van het ovale venster tegen. De vloeistof in het slakkenhuis beweegt daardoor nauwelijks meer heen en weer. c Het gehoorverlies is na het aanbrengen van het tympanoplastiek minder ernstig, omdat het tympanoplastiek voorkomt dat de trillingen direct het ronde venster bereiken. De beweging van de vloeistof in het slakkenhuis wordt niet meer tegengewerkt. Hierdoor neemt het gehoorverlies af van 50 dB tot 30 dB. Het middenoor met de gehoorbeentjes heeft als voornaamste functie het versterken van het geluid dat het oor binnenkomt. Deze functie kan niet gecompenseerd worden door het tympanoplastiek, want dat dekt alleen het ronde venster af. Er is dus na het aanbrengen van het tympanoplastiek nog altijd sprake van minstens 30 dB gehoorverlies. 97 Verkeerslawaai a Een afname van (ongeveer) 3 dB komt overeen met een verzwakking van het geluid met een factor 2. Bij een lijnvormige geluidsbron, zoals een weg, is de geluidsintensiteit dus omgekeerd evenredig met de afstand (en niet met het kwadraat van de afstand). 15 =5 Het geluidsniveau moet 65 – 50 = 15 dB lager zijn dan op een afstand van 25 m. Er moet dus 3 keer 3 dB af. De afstand moet dus vijf keer verdubbelen: 25 · (2 · 2 · 2 · 2 · 2) = 25 · 25 = 8,0·102 m Nauwkeuriger: Het geluid moet 101,5 = 31,6 keer zachter worden. De weg moet dus op een afstand komen te liggen van 31,6 · 25 = 7,9·102 m Vervolg op de volgende bladzijde

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

56

b Met geluidswal hoeft de afstand nog maar voor een afname van het geluidsniveau te zorgen van 5 dB. 5 Dit komt overeen met = 1,7 keer verdubbelen: 25 · 21,67 = 25 · 3,17 = 79 m 3 Nauwkeuriger: Het geluid moet 100,5 = 3,16 keer zachter worden. De weg moet dus op een afstand komen te liggen van 3,16 · 25 = 79 m

10.7 Afsluiting Controleren 101 Gitaar stemmen Oriëntatie: Gevraagd: Welke snaar kun je stemmen met de flageoletmethode toegepast op de a-snaar? Gegeven: op eenderde van de a-snaar (met f1 = 110 Hz) zit een knoop; de grondfrequenties van gitaarsnaren in de tabel (zie verwerkingsboek). Planning: Door met de vinger de snaar op ⅓ afstand aan te raken, ontstaat op die plek een knoop. Daardoor zal de boventoon die op die plek een knoop heeft sterker klinken. Dat is het geval bij de tweede boventoon (derde harmonische) van de snaar (zie figuur). Voor de boventonen geldt: fn = n ⋅ f1 , waarbij n = 2, 3, 4, … Uitvoering: Voor de tweede boventoon geldt dus: f3 = 3 · f1 = 3 · 110 = 330 Hz. In de tabel is te zien dat de e’-snaar een grondtoon heeft van 330 Hz. Controle: Dus de e'-snaar is te stemmen met behulp van de flageoletmethode. 102 Geluidssnelheid Oriëntatie: Gevraagd: geluidssnelheid v Gegeven: zie figuur hiernaast Planning: v=f·λ Nieuwe onbekende: λ De afstanden tussen de opeenvolgende resonantiestanden is steeds een ½ λ omdat bij het wateroppervlak steeds een knoop moet ontstaan (zie het laatste deel van opgave 10 over de half gesloten kolom). λ is steeds even groot, want v en f veranderen niet. Tussen de zeven opeenvolgende gemeten standen zit zes keer een ½λ, samen dus 3λ. Uitvoering: 3λ = 543 - 33 = 510 mm. λ = 170 mm = 0,17 m v = f · λ = 2,0·103 · 0,17 = 340m/s

f = 2,0.103 Hz

f = 2,0.103 Hz

0 mm 33

0 mm 33

118

½λ

118

. 0 mm 33

½λ ½λ

118

203

203

288

288

288

373

373

373

458

458

458

543

543

543

Afgerond: v = 3,4·102 m/s

Controle: Dit klopt met de waarde die BINAS in tabel 16A vermeldt. N.B. De bovenste buik bevindt zich blijkbaar 10 mm boven de opening. De buik bevindt zich In de eerste situatie immers een kwart golflengte, dus 43 mm, boven het wateroppervlak.

203

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

103 Basilair membraan Oriëntatie: Gevraagd: Hoe verandert de eigenfrequentie van het basilair membraan bij toenemende afstand tot het ovale venster? Gegeven: zie nevenstaande figuur Planning en uitvoering:

smal dik stug

57

breed dun slap

lengte = 35 mm

‘ovale’

toenemende afstand m venster . C • De trillingstijd wordt dus bepaald door de massa en veerconstante. Door een grotere massa en een kleinere veerconstante wordt de trillingstijd groter (en de frequentie dus lager).

Voor een massa-veersysteem geldt: T = 2π ⋅

• Bij het ovale venster is het membraan smal én dik, terwijl dit verderop breder én dunner wordt. Je zou daaruit kunnen concluderen dat de massa per mm lengte hetzelfde blijft. • Dicht bij het ovale venster is het membraan dik en stug: hier is de veerconstante groot. Verderop is het membraan dun en slap: hier wordt de veerconstante dus kleiner. • Als de massa gelijk blijft en de veerconstante kleiner wordt, wordt de trillingstijd groter (zie bovenstaande formule). Controle: Conclusie: Dichtbij het ovale venster heeft het basilair membraan een grote eigenfrequentie. Bij toenemende afstand tot het ovale venster neemt de eigenfrequentie van het basilair membraan af. 104 Aardbeving Oriëntatie: Gevraagd: Zijn de staande longitudinale golven de oorzaak van het instorten van gebouwen? Met andere woorden: hebben die golven dezelfde frequentie als de eigenfrequentie van de gebouwen? Gegeven:

• •

• •

‘Kom’: aan de rand zullen knopen ontstaan, dit zijn punten die 'vast' zitten. In de tekening zijn er van boven naar K B K B K B K B K B K B K beneden geteld 6 buiken. Dat zijn 3 λ λ λ golflengtes (zie nevenstaande figuur). In een 12 lengte van 12 km passen dus ongeveer drie golflengtes: λ = = 4 km. 3 De zachte bodem bevat veel water (90 volumeprocent). De longitudinale golfsnelheid (geluidssnelheid) in water is 1,5 km/s (BINAS tabel 16A). Met de eigenfrequentie van twee seconden (ongeveer halverwege het artikel genoemd) wordt de trillingstijd van de eigenfrequentie bedoeld: T = 2 s. 1 1 f = = = 0,5 Hz T 2

Planning en uitvoering: v 1,5 ⋅ 10 3 f = = = 0,375 Hz λ 4 ⋅ 10 3

Afgerond: f = 0,4 Hz

Controle: Conclusie: De berekende frequentie van de golven is wat lager dan de eigenfrequentie van de gebouwen die op basis van het artikel met T = 2 s te berekenen is. Maar dat is waarschijnlijk ook maar een globale schatting. Het ontstaan van staande longitudinale golven in de 'kom' kan dus een goede verklaring zijn voor het instorten van deze hoge gebouwen.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

58

105 Dopplerprobe Oriëntatie: Gevraagd: vbloed Gegeven:

• • •

fb = 5,0000 MHz fw = 5,0015 MHz De geluidssnelheid in bloed is ongeveer gelijk aan de geluidssnelheid in water: vg = 1,5·103 m/s (BINAS tabel 16A). Zie nevenstaande tekening.

•

vbloed→ probe

α vbloed

Planning: Eerst bereken je de snelheid ten opzichte van de dopplerprobe met de dopplerformule. De bron beweegt niet zelf. De uitgezonden ultrasone geluidsgolven worden door de bloedcellen weerkaatst. De bloedcellen fungeren dus als een ‘spiegel’. Het spiegelbeeld van de echte geluidsbron lijkt naar de ontvanger in de probe toe te bewegen. Het spiegelbeeld van een lampje lijkt immers ook naar het lampje toe te bewegen, als je de spiegel naar het lampje toe beweegt (en wel met een twee keer zo grote snelheid als waarmee je de spiegel beweegt). Vervolgens kun je de werkelijke snelheid van het bloed berekenen: Het spiegelbeeld van de geluidsbron beweegt niet in een rechte lijn richting de ontvanger, maar onder een hoek (zie de figuur rechtsboven). Hieruit volgt dat de werkelijke snelheid van het bloed (vbloed) groter is dan de gemeten snelheid (vbloed→probe). Je kunt de werkelijke snelheid van het bloed berekenen als je weet hoe groot de hoek (α) is. Uitvoering: Manier 1: v geluid f w = fb ⋅ v geluid − v bron 5,0015 ⋅ 10 6 = 5,0000 ⋅ 10 6 ⋅ 1,5 ⋅ 10 3 − v bron = − v bron =

1,5 ⋅ 10 3 1,5 ⋅ 10 3 − v bron

5,0000 ⋅ 10 6 5,0015 ⋅ 10 6

5,0000 ⋅ 10 6

5,0015 ⋅ 10 6 vbron = 0,45 m/s

⋅ 1,5 ⋅ 10 3

⋅ 1,5 ⋅ 10 3 − 1,5 ⋅ 10 3 = – 0,45 m/s

Dit is de snelheid waarmee de ‘bron’ naar de ontvanger in de probe toe lijkt te bewegen. In werkelijkheid bewegen de bloedcellen naar de probe toe. De ultrasone geluidsgolven worden door de bloedcellen teruggekaatst. Doordat de weerkaatsende bloedcel (‘spiegel’) in de richting van de echte bron beweegt (met snelheid vbloed→probe), lijkt het alsof het ‘spiegelbeeld’ van de ultrasone geluidsbron met een twee keer zo grote snelheid naar de detector beweegt (dus met een snelheid 2· vbloed→probe). De snelheid van het bloed in de richting van de probe is dus de helft van de berekende snelheid van (het spiegelbeeld van) de bron. v 0,45 v bloed→probe = bron = = 0,225 m/s 2 2 Manier 2: Je kunt ook de formule gebruiken die in opgave 51 van paragraaf 3 is gegeven. De dopplerprobe werkt namelijk volgens hetzelfde principe als de radarmeetapparatuur (alleen dan met hoogfrequente geluidsgolven in plaats van radargolven). De golfsnelheid in het medium is nu niet de lichtsnelheid, maar de geluidssnelheid in water. ∆f v bloed→probe = 21 ⋅ v geluid ⋅ fb v bloed→probe =

1 2

⋅ 1,5 ⋅ 10 3 ⋅

0,0015 ⋅ 10 6 5,0000 ⋅ 10 6

= 0,225 m/s

Uit bovenstaande figuur volgt: cos α =

v bloed→probe v bloed

⇒ v bloed =

v bloed→probe

0,225 = 0,2598 m/s = cos α cos 30° Afgerond: vbloed = 0,26 m/s

Controle: Conclusie: Dit lijkt een aannemelijke snelheid voor stromend bloed.

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

59 2

A = 4π ·r 106 Verkeerslawaai Een lijnvormige geluidsbron bestaat uit een lange, aaneengesloten reeks puntvormige geluidsbronnen. Een puntbron zendt de geluidsenergie in alle richtingen, waardoor de energie verspreid wordt over een bolvormig oppervlak (zie de linker figuur). De geluidsenergie die de lange rij puntbronnen van een lijnbron uitzendt, wordt verspreid over een cilindervormig oppervlak. In de rechter figuur zijn slechts vier puntbronnen weergegeven. Ten behoeve van de inzichtelijkheid van de tekening is de cilinder (met in het midden de lijnvormige geluidsbron) in nevenstaande tekening rechtop gezet. Een verkeersweg vormt uiteraard een horizontale lijnbron. Weliswaar zenden de puntbronnen waaruit de lijnbron bestaat de geluidsenergie niet alleen in de richting loodrecht naar het manteloppervlak van de cilinder, maar alle geluidsenergie moet wel dat manteloppervlak passeren. Als de lengte (h) van een lijnvormige geluidsbron groot is ten opzichte van de afstand (r) tot de geluidsbron, kun je het effect van de uiteinden verwaarlozen.

A = 2π ·r · h

r

Pbron A De geluidsintensiteit is het geluidsvermogen dat per vierkante meter door het cilinderoppervlak gaat. Als de lijn (verkeersweg) 2 keer zo lang is (dus als h 2 keer zo groot is), moet de energie over een 2 keer zo groot oppervlak verspreid worden. Dit effect wordt echter volledig gecompenseerd doordat het vermogen dat een 2 keer zo lange lijnbron uitzendt ook 2 keer zo groot is. Het manteloppervlak van een cilinder is gelijk aan A = 2 π · r · h. Je kunt dus de volgende formule opstellen voor de geluidsintensiteit bij een lijnbron: I=

I=

Pbron,totaal Acilinder

=

Pbron per meter ⋅ h 2π ⋅ r ⋅ h

=

Pbron per meter 2π ⋅ r

Als de afstand r tot de geluidsbron 2 keer zo groot wordt, wordt de geluidsintensiteit I twee keer zo klein. Bij een lijnbron is de geluidsintensiteit is dus omgekeerd evenredig met de afstand tot de lijnbron. N.B. Eigenlijk wordt het geluid over het halve cilinderoppervlak verspreid, omdat het geluid nauwelijks in neerwaartse richting verspreid wordt. Voor het verband maakt dat niet uit, in de formule van de geluidsintensiteit valt alleen de factor 2 onder de deelstreep weg. Als de afstand r tot de geluidsbron 2 keer zo groot wordt, wordt de geluidsintensiteit I twee keer zo klein. Een factor 2 komt overeen met 10 · log 2 = 3 dB. Het geluidsniveau (in dB) neemt dus 3 dB af, als de afstand tot een lijnbron 2 keer zo groot wordt.

h

Newton vwo deel 1b

Uitwerkingen Hoofdstuk 10 – Muziek

60

107 Resonantie Oriëntatie: Gevraagd: Hoe groot was de golflengte λ van de golven in het terrein? Gegeven: bovenstel m = 6,0⋅103 kg; inzakken van veren 2,0 cm (= 0,020 m) met ∆m = 1,0⋅103 kg; snelheid; v = 200 km/h = 55,56 m/s. Planning: Als de auto één golflengte in het terrein passeert, voert de auto één trilling uit. De trilling die door het terrein ‘werd opgelegd’ aan de auto, was immers ongeveer gelijk aan de eigenfrequentie. v v = f ⋅λ ⇒ λ = Nieuwe onbekende: f (alle formules komen uit BINAS tabel 35.3) f 1 f = Nieuwe onbekende: T T T = 2π ⋅

m C

(massa-veersysteem)

Fveer = C · u ⇒ C =

Fveer u

Nieuwe onbekende: C Nieuwe onbekende: F

Fveer = ∆m ⋅ g Uitvoering: Fveer = ∆m ⋅ g = 1,0 ⋅ 10 3 ⋅ 9,81 = 9810 N C= T = 2π ⋅

Fveer 9810 = = 4,905 ⋅ 10 5 N/m u 0,020 m 6,0 ⋅ 10 3 = 2π ⋅ = 0,6949 s C 4,905 ⋅ 10 5

1 1 = = 1,439 Hz T 0,6949 v 55,56 λ = = = 38,61 m f 1,439 f =

Controle: de golflengte moet dus ongeveer 39 m zijn geweest. Dit lijkt een aannemelijke afstand.