Antwoorden Hoofdstuk 18

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

18 Modelleren 1 Inleiding 1.2 Voorkennis 1

Modellen Voorbeelden uit de natuurkunde: molecuulmodel (een vereenvoudigde voorstelling van een molecuul), modelvliegtuig in een windtunnel. Andere voorbeelden: schaalmodel, automodel, economisch model, fotomodel.

2 Kracht en beweging Voorspellingen: computermodel voor atoombommen. Simulaties: vluchtsimulator voor het trainen van piloten. Berekeningen: het verloop van de val van een parachutist.

2 Processen 2.2 Verwerking 4 Valbeweging • Op een steen wordt één kracht uitgeoefend die de beweging beïnvloedt: de zwaartekracht. • Hierdoor krijgt de steen een versnelling. • Hierdoor neemt de snelheid van de steen (in 1 s) toe. • Hierdoor neemt de plaats van de steen (in 1 s) toe. • De kracht op de steen blijft gelijk. • Hierdoor krijgt de steen een gelijke versnelling. • Hierdoor neemt de snelheid van de steen (in 1 s) toe met een gelijke waarde. • Hierdoor neemt de plaats van de steen (in 1 s) toe met een andere waarde. 5 Harmonische trilling • Van deze twee krachten is de veerkracht het grootst. • Hierdoor is de nettokracht positief. • Hierdoor krijgt de massa een versnelling. • Hierdoor neemt de snelheid van de massa (in 1 s) toe. • Hierdoor neemt de plaats van de massa (in 1 s) toe. • Hierdoor krijgt de veerkracht een kleinere waarde. • De nettokracht op de massa krijgt een kleinere positieve waarde. • Hierdoor krijgt de massa een kleinere versnelling. • Hierdoor neemt de snelheid van de massa (in 1 s) met een kleinere waarde toe. • Hierdoor neemt de plaats van de massa (in 1 s) met een grotere waarde toe. Na enige tijd heeft de nettokracht op de massa de waarde nul. • De massa bevindt zich dan in de evenwichtsstand en beweegt omhoog. • Hierdoor wordt de veerkracht kleiner dan de zwaartekracht. • Hierdoor is de nettokracht negatief. • Hierdoor krijgt de massa een vertraging. • Hierdoor neemt de snelheid van de massa (in 1 s) af. • Hierdoor neemt de plaats van de massa (in 1 s) toe. • De nettokracht op de massa krijgt een grotere negatieve waarde. • Hierdoor krijgt de massa een grotere vertraging. • Hierdoor neemt de snelheid van de massa (in 1 s) met een grotere waarde af. • Hierdoor neemt plaats van de massa (in 1 s) met een kleinere waarde toe. Na enige tijd heeft de nettokracht op de massa dezelfde waarde als aan het beging van de beweging. • De massa bevindt zich dan in de uiterste stand (bovenin) en heeft een snelheid nul. • De veerkracht is dan kleiner dan de zwaartekracht. • Hierdoor is de nettokracht negatief. • Even later beweegt de massa omlaag.

68

Newton vwo deel 2

•

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

69

De beweging van de massa wordt periodiek, omdat de beweging omlaag op een vergelijkbare manier verloopt als de beweging omhoog. De twee tegengestelde bewegingen wisselen elkaar af.

6 Radioactief verval • De kans dat er een instabiele kern vervalt, wordt groter als dit aantal groot is. • De kans dat er een instabiele kern vervalt wordt groter als de halveringstijd kleiner is. • Dit aantal (∆N) wordt bepaald door het aantal instabiele kernen (N) en de halveringstijd (t½ ). • Het aantal instabiele kernen is hierdoor kleiner geworden. • De kans dat er een instabiele kern vervalt is nu kleiner geworden. • In de volgende tijdstap neemt het aantal instabiele kernen minder af. • Het verval van de instabiele kernen gaat door totdat alle instabiele kernen vervallen zijn. 7 Condensator opladen • Deze lading is groter als de condensatorspanning groter is. • Deze lading is groter als de capaciteit groter is. • Op het moment dat de schakelaar gesloten wordt, is de lading op de condensatorplaten nul, en daardoor is de condensatorspanning nul. • De stroom wordt groter als de batterijspanning groter is. • De stroom wordt kleiner als de condensatorspanning groter is. • De stroom wordt groter als de weerstand kleiner is. • Op het moment dat de schakelaar gesloten wordt, is de stroom het grootst omdat de condensatorspanning (nog) nul is. • In een gekozen tijdstap (bijvoorbeeld 1 s) neemt hierdoor de lading op de condensatorplaten toe, en neemt de condensatorspanning toe. • De condensatorspanning werkt de stroom wel tegen. • In de volgende tijdstap is de stroom hierdoor kleiner geworden. • De lading op de condensatorplaten neemt hierdoor toe. Deze toename is kleiner dan hiervoor. • De condensatorspanning wordt hierdoor groter. • De condensator wordt opgeladen, totdat de condensatorspanning even groot is als de batterijspanning. De stroom is dan nul geworden.

2.3 Oefenopgaven 8 Remmen • Op de auto wordt (vrijwel) alleen een remkracht uitgeoefend. • Deze kracht werkt tegen de bewegingsrichting van de auto in. • Hierdoor krijgt de auto een vertraging; deze vertraging wordt bepaald door de massa van de auto. • In een gekozen tijdstap (bijvoorbeeld 0,1 s) neemt de snelheid van de auto af. • In die tijdstap legt de auto een bepaalde afstand af. • De remkracht op de auto blijft gelijk. • Hierdoor krijgt de auto een gelijke vertraging. • In de tijdstap neemt de snelheid van de auto met dezelfde waarde af. • In de tijdstap legt de auto een kleinere afstand af. • De auto rijdt door totdat de snelheid is afgenomen tot nul. 9 Afzet bij hoogspringen • Op de hoogspringer worden twee krachten uitgeoefend: de zwaartekracht en de afzetkracht. • De zwaartekracht is omlaag gericht en blijft constant. • De afzetkracht is omhoog gericht en wordt, naarmate het zwaartepunt zich meer heeft verplaatst, steeds kleiner. • Bij het begin van de afzet is de afzetkracht groter dan de zwaartekracht. • Hierdoor is er een omhoog gerichte nettokracht. • Hierdoor krijgt de hoogspringer een versnelling. • Hierdoor neemt de snelheid van de hoogspringer in een gekozen tijdstap (bijvoorbeeld 0,01 s) toe. • Hierdoor neemt de plaats van de hoogspringer in de tijdstap toe. • De afzetkracht is nu kleiner geworden (maar nog steeds grotere dan de zwaartekracht). • Hierdoor is er een omhoog gerichte nettokracht, maar kleiner dan na de vorige tijdstap. • Hierdoor krijgt de hoogspringer een versnelling, maar kleiner dan na de vorige tijdstap. • Hierdoor neemt de snelheid van de hoogspringer in de tijdstap toe, maar minder dan hiervoor.

Newton vwo deel 2

• •

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

70

Hierdoor neemt de plaats van de hoogspringer in de tijdstap toe, maar meer dan in de vorige tijdstap. De afzetkracht neemt af tot nul als de hoogspringer loskomt van de grond.

10 Verwarmen • Er zijn twee factoren die de temperatuur beïnvloeden: de toegevoerde warmte en de afgestane warmte (oorzaken van temperatuurverandering). • Door het vermogen van de radiator wordt in de gekozen tijdstap (bijvoorbeeld 1 minuut) warmte toegevoerd. • Door het temperatuurverschil tussen binnen en buiten wordt in de tijdstap warmte afgestaan. • Het verschil tussen de toegevoerde en de afgestane warmte veroorzaakt een temperatuurtoename in de tijdstap. • De temperatuur neemt niet verder toe als de afgestane warmte gelijk is aan de toegevoerde warmte. 11 Weerballon • Het volume van de ballon wordt beïnvloed door de druk en de temperatuur. • De ballon stijgt. • Hierdoor dalen de druk en de temperatuur van de ballon. • Door de drukdaling wordt het volume van de ballon groter. • Door de temperatuurdaling wordt het volume van de ballon kleiner. • De ballon stijgt verder. • Hierdoor dalen de druk en de temperatuur van de ballon verder. • Door de drukdaling wordt het volume van de ballon nog groter. • Door de temperatuurdaling wordt het volume van de ballon nog kleiner. • Als de volumetoename per meter door de drukdaling groter is dan de volumeafname per meter door de temperatuurdaling wordt de ballon groter, totdat hij kapot klapt. • Als de drukdaling per meter kleiner is dan de temperatuurdaling per meter, is de volumetoename (door de drukdaling) kleiner dan de volumeafname (door de temperatuurdaling) en wordt de ballon kleiner.

3 Modellen 3.2 Verwerking 13 De wet van Boyle b Het is een analytisch model. Bij de modelvergelijkingen staat de formule voor de wet van Boyle. Hiermee is de waarde van de druk (p) bij verschillende volumes exact te berekenen. Bij het berekenen van de nieuwe druk wordt niet uitgegaan van de druk die is berekend bij de vorige tijdstap. Er is geen sprake van een benadering. c De grafiek is een dalende kromme, waarbij geldt: als V twee keer zo groot wordt, wordt P twee keer zo klein. V (m3) 0,10 0,50

p (Pa) 50 10

p · V (Pa · m3) 5,0 5,0

14 Eenparige beweging 1 a Een analytisch model. Bij de modelvergelijkingen staat de formule voor een eenparige beweging. De plaats wordt berekend aan de hand van het tijdstip. Bij het berekenen van de nieuwe plaats wordt niet uitgegaan van de plaats die is berekend bij de vorige tijdstap. b In het x,t-diagram is een schuine rechte lijn te zien. c Het veranderen van de tijdstap heeft geen invloed. De formule voor de eenparige beweging legt de plaats op ieder tijdstip vast. Je krijgt alleen meer punten in de grafiek als je de tijdstap verkleint. De grafiek kan zowel met een lijn als met afzonderlijke punten worden weergegeven. Klik met de rechtermuisknop op de grafiek en kies ‘Weergave’ in het contextmenu.

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

71

15 Eenparige beweging 2 a Een numeriek model. Bij het berekenen van de nieuwe plaats wordt nu wél uitgegaan van de plaats die is berekend bij de vorige tijdstap. b Uit figuur 4 kun je de volgende gegevens halen: x(0) = 20 m t(0) = 0 s dt = 1,0 s v = 10 m/s (helling van de grafiek) Klik op de knop ‘Modelvenster’ om de startwaarden van het computermodel te bekijken. Hier staat ook de massa (m = 1,0 kg). c Eerste stap

Tweede stap

t=0+1=1

t=1+1=2

Fr = 0

Fr = 0

a=0

a=0

dv = 0

dv = 0

v := 10 + 0 = 10

v := 10 + 0 = 10

dx = 10

dx = 10

x := 20 + 10 = 30

x := 30 + 10 = 40

d Geen invloed. De plaats neemt door de constante snelheid gelijkmatig toe. Hierdoor is de verplaatsing (dx) bij elke gekozen tijdstap dt even groot. e In het x,t-diagram gaat de lijn steiler (of minder steil) lopen. In het v,t-diagram komt de horizontale lijn hoger (of lager) te liggen. 16 Eenparig versnelde beweging 1 a Een analytisch model. Bij de modelvergelijkingen staat de formule voor een eenparige beweging. De plaats wordt berekend aan de hand van het tijdstip. Bij het berekenen van de nieuwe plaats wordt niet uitgegaan van de plaats die is berekend bij de vorige tijdstap. b In het x,t-diagram is een stijgende parabool te zien. In het v,t-diagram is een stijgende rechte lijn te zien. c Het veranderen van de tijdstap heeft geen invloed. De formule voor de eenparig versnelde beweging legt de plaats op ieder tijdstip vast. Je krijgt alleen meer punten in de grafiek als je de tijdstap verkleint.

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

72

17 Eenparig versnelde beweging 1 a Een numeriek model. Bij het berekenen van de nieuwe plaats wordt uitgegaan van de plaats die is berekend bij de vorige tijdstap. b Uit het x,t-diagram van figuur 5 kun je de volgende gegevens halen: x(0) = 0 m t(0) = 0 s dt = 1,0 s v = 10 m/s (helling van de grafiek) Uit het v,t-diagram van figuur 5 kun je de volgende gegevens halen: v(0) = 0 m/s a(0) = 4,0 m/s2 Klik op de knop ‘Modelvenster’ om de startwaarden van het computermodel te bekijken. Hier staat ook de massa (m = 1,0 kg), de voorwaartse kracht (= 6,0 N) en de achterwaartse kracht (= 2,0 N). c Eerste stap

Tweede stap

t=0+1=1

t=1+1=2

Fr = 4

Fr = 4

a=4

a=4

dv = 4

dv = 4

v := 0 + 4 = 4

v := 4 + 4 = 8

dx = 4

dx = 8

x := 0 + 4 = 4

x := 4 + 8 = 12

d Het x,t-diagram verandert. Bij de berekening van de verplaatsing dx wordt ervan uitgegaan dat de snelheid constant is. In werkelijkheid neemt de snelheid toe. Door de tijdstap dItI klein te keizen wordt de invloed van de veranderende snelheid steeds kleiner. Nadeel is dat er (veel) meer berekeningen uitgevoerd moeten worden. Het v,t-diagram verandert niet. De versnelling verandert niet gedurende de tijdstap, waardoor de berekende snelheidsverandering bij elke tijdstap exact klopt. e In het x,t-diagram schuift de grafiek omhoog. Het v,t-diagram blijft hetzelfde. f Als de voorwaartse kracht groter wordt, loopt de parabool in het x,t-diagram steiler omhoog. In het v,t-diagram loopt de rechte lijn steiler omhoog. Als de voorwaartse kracht kleiner wordt, gebeurt het omgekeerde. Als de achterwaartse kracht kleiner wordt dan de voorwaartse kracht gaat de lijn steeds steiler aflopen. 18 Harmonische trilling a Een numeriek model. Bij het berekenen van de nieuwe plaats wordt uitgegaan van de plaats die is berekend bij de vorige tijdstap. b T = 2π ⋅

m 1,00 = 2π ⋅ = 4,44 s C 2,00

c Uit het diagram volgt: T = 4,45 s. Dat komt goed overeen met het antwoord bij opgave 18b. d Hoe kleiner de tijdstap, hoe beter de grafiek een harmonische trilling (sinusfunctie) benadert. Als de tijdstap te groot is, kun je de sinusvorm niet meer herkennen en wordt de afwijking erg groot. e Als de massa groter wordt, wordt de trillingstijd ook groter (en omgekeerd). f Als de veerconstante groter wordt, wordt de trillingstijd kleiner (en omgekeerd). 19 Radioactief verval a dN = λ ⋅ N ⋅ dt . De afname is dus evenredig met λ en N. b Dit is de halveringstijd t½. Volgens de grafiek bedraagt die in beide gevallen 19,8 dagen. In beide gevallen halveert het aantal instabiele kernen. c De grafiek komt hoger (of lager) te liggen. De halveringstijd blijft gelijk. d De grafiek daalt sneller (of langzamer). De halveringstijd wordt kleiner (of groter).

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

73

20 Condensator opladen −t   a U (t ) = U eind ⋅ 1 − e R ⋅C   

(zie hoofdstuk 16)

(

)

U (R ⋅ C ) = U eind ⋅ 1 − e −1 = U (0) ⋅ 0,63 Als t = R · C wordt de spanning: De spanning is dan dus 63% van de eindspanning. b Klik met de rechtermuisknop op de grafiek en kies ‘Lees uit’ in het contextmenu. De spanning is 6,3 V, dus 63% van de eindspanning (= 10 V). Dit klopt met het antwoord van opgave 20a. Klik opnieuw met rechts om het uitlezen te beëindigen. c Als de weerstand groter (of kleiner) wordt, stijgt de condensatorspanning langzamer (of sneller). d Als de capaciteit groter (of kleiner) wordt, stijgt de condensatorspanning langzamer (of sneller). 21 Kamer verwarmen b De temperatuur stijgt sneller (of langzamer) naar een hogere (of lagere) eindtemperatuur. c Bij een kleinere (grotere) k-factor is de isolatie beter (of slechter). In het begin, als het warmteverlies nog klein is, stijgt de temperatuur even sterk; later stijgt de temperatuur sneller (of langzamer) totdat een hogere (of lagere) eindtemperatuur is bereikt. d Bij een lagere (of hogere) omgevingstemperatuur is het warmteverlies groter (of kleiner). De temperatuur stijgt langzamer (of sneller) totdat een lagere (of hogere) eindtemperatuur is bereikt. e Bij een grotere (kleinere) warmtecapaciteit stijgt de temperatuur langzamer (of sneller) tot dezelfde eindtemperatuur. 22 Spaarrekening c De tijd t wordt in maanden berekend. Door deze tijd door 12 te delen, krijg je de tijd in jaren. 23 Afkoelen a Het vermogen van de radiator moet op nul gezet worden en de kamertemperatuur moet hoger dan de omgevingstemperatuur gemaakt worden. b Bij een kleinere (of grotere) k-factor is de isolatie beter (of slechter). De temperatuur daalt dan langzamer (of sneller) tot een eindtemperatuur bereikt wordt die gelijk is aan de omgevingstemperatuur. Je kunt ook de omgevingstemperatuur hoger instellen dan de begintemperatuur van de kamer. De temperatuur stijgt nu tot deze hogere omgevingstemperatuur, zoals ’s zomers het geval is. c Bij een hogere (of lagere) omgevingstemperatuur daalt de temperatuur langzamer (of sneller) tot een eindtemperatuur die gelijk is aan de omgevingstemperatuur. d Bij een grotere (of kleinere) warmtecapaciteit daalt de temperatuur langzamer (of sneller) tot dezelfde eindtemperatuur. 24 Condensator opladen a De batterijspanning moet op nul gezet worden en de condensatorlading moet op 0,010 C worden gezet. Deze waarde bereken je met Q = C · U met C = 0,0010 F en U = 10 V. b R · C = 1000 · 0,0010 = 1,0 s c De condensatorspanning moet gedaald zijn tot 3,7 V. Dit is volgens de grafiek na 1,0 s. Dit klopt met het antwoord van opgave 24b. d Als de weerstand groter (of kleiner) wordt, daalt de condensatorspanning langzamer (of sneller). e Als de capaciteit groter (of kleiner) wordt, daalt de condensatorspanning langzamer (of sneller). 25 Ongedempte trilling c De trillingstijd van het model is kleiner dan die van het experiment. m C Hieruit volgt dat de massa groter gemaakt moet worden. Je vindt (na enig uitproberen) m = 0,088 kg.

d T = 2π ⋅

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

74

26 Gedempte trilling a De wrijvingskracht is kwadratisch evenredig met de snelheid. b Als de dempingsfactor kleiner (ca. 0,070) wordt gekozen, valt het begin van de modelgrafiek samen met het begin van de meetgrafiek. Na enige tijd wordt de amplitude van de modelgrafiek groter dan die van de meetgrafiek. De beide grafieken kunnen dus niet volledig samenvallen. c De wrijvingskracht is evenredig met de snelheid. Als de dempingsfactor kleiner (ca. 0,010) wordt gekozen vallen beide grafieken volledig samen.

3.4 Oefenopgaven 33 Versnellen en vertragen a Eerst eenparig versneld met a = 2,0 m/s2; daarna eenparig versneld met a = 4,0 m/s2; dan eenparig en tenslotte eenparig vertraagd met a = –4,0 m/s2. b In regel 5, 6 en 7 moet de tijd met 2,0 s verhoogd worden. c Klik op automatisch herschalen in het contextmenu (rechtermuisknop) om de assen in te delen. 34 Optrekken met luchtwrijving a Kwadratisch evenredig. b In de modelvergelijkingen moet regel 3 veranderd worden in Fr = Fv. Het x,t-diagram wordt dan een stijgende parabool en het v,t-diagram een stijgende rechte lijn. c Bij de startwaarden moeten cw en Fw,rol op nul gezet worden. d Regel 2 wordt nu: Fw,lucht = cw · v. Het v,t-diagram stijgt nu sneller en er wordt een grotere eindsnelheid bereikt. 35 Vallen met luchtwrijving De richting naar beneden is positief gekozen. a Regel 2: Fr = Fz – Fw Regel 10: g = 9,81 Regel 10: Fz = m · g 36 Horizontale worp a• • b• • •

Er is sprake van een horizontale beginsnelheid, terwijl de verticale beginsnelheid nul is. Verder werkt in verticale richting de zwaartekracht. In horizontale richting is de resulterende kracht nul; in verticale richting is de resulterende kracht gelijk aan de zwaartekracht. Er is sprake van een horizontale beginsnelheid, terwijl de verticale beginsnelheid nul is. Verder werkt in verticale richting de zwaartekracht. De wrijvingskracht is kwadratisch evenredig met de snelheid. De cw-waarde is op 1,0 gezet.

d De snelheid in de x-richting neemt steeds meer af (de lijn buigt af naar beneden). De (negatieve) snelheid in de y-richting neemt steeds minder toe. 37 Verticale worp a• • • • • b• •

Omhoog. Op t = 0 heeft de bal een positieve snelheid. Dit is omhoog, aangezien de waarde van g negatief is (en naar beneden is gericht). 5,0 m/s. Fz = 9,81 N; Fw = cw · v2 = 0,22 · 5,02 = 5,5 N. De wrijvingskracht is dus kleiner dan de zwaartekracht, maar heeft wel dezelfde orde van grootte. In regel 2: Fw krijgt een positieve waarde als de snelheid negatief is en andersom. Dit gebeurt met ‘teken(v)’. Als de hoogte y negatief is, wordt de berekening gestopt. De hoogte kan in werkelijkheid immers niet negatief worden. Op t = 0,43 s. De snelheid is dan 0 m/s. Op t = 1,78 s. De snelheid is dan –0,644 m/s

c Bij een kleiner (of grotere) wrijvingsfactor is de hoogte groter (of kleiner) en de eindsnelheid groter (of kleiner).

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

75

38 Stuiterende bal a• •

In horizontale richting (met 30 m/s). De verticale snelheid vlak na het stuiteren is 80% van de verticale snelheid vlak voor het stuiteren.

c In regel 2 kun je de factor k verwijderen of je kunt bij de startwaarden k = 1,0 nemen. 39 Gedempte trilling a In regel 1 en 2. b Laat Fw weg in regel 1 en 2. De grafiek ziet er nu uit als een cosinus met constante amplitude. c Regel 11: cw = 0. 40 Remmen a De luchtwrijvingskracht is evenredig met de snelheid (regel 3 en 4). b Tijdens een tijdstap kun je van een positieve snelheid overgaan op een negatieve snelheid. De kans dat de snelheid na een bepaalde tijdstap precies op nul uitkomt, is klein. c Hoe kleiner de waarde van f, hoe langer het duurt voor de auto stilstaat. 41 Parachutist a• • •

h = 2000 m kwadratisch evenredig h = 1000 m, het frontaal oppervlak wordt dan 10 keer zo groot.

b v = 2,1 m/s c• • •

Groter frontaal oppervlak. Grotere wrijvingsfactor cw. Kleinere massa.

42 Weerballon a• • • • •

De druk hangt lineair af van de hoogte (regel 2). De druk daalt met de hoogte (regel 8) De temperatuur hangt lineair af van de hoogte (regel 3). De temperatuur daalt met de hoogte (regel 10). Door een lagere druk neemt het volume van de ballon toe (wet van Boyle: p · V = constant).

•

Door een lagere temperatuur neemt het volume van de ballon af (volumewet van Gay-Lussac:

•

= constant). De druk daalt sneller met de hoogte dan de temperatuur daalt met de hoogte (a > b)

V T

b V(10) = 500 m3 V =

4 3

⋅π⋅r3 ⇒ r = 3

V = ⋅π

4 3

3

500 = 4,92 m 4 ⋅π 3

De straal (en de diameter) van de ballon is dus meer dan verdubbeld. 43 Temperatuurregeling a• •

Als de temperatuur van het water onder de 60 ºC komt (regel 2). P = 5000 W Bij 60 ºC moet de warmte die per seconde wordt afgestaan kleiner zijn dan de warmte die per seconde wordt toegevoerd. Qaf = k · (Tw – T0)· dt (regel 1) Qaf = 80 · (60 – 20) · 1,0 = 3200 J per seconde. Het verwarmingselement levert 5000 J per seconde, dus dat is voldoende om de afkoeling van de bak te compenseren.

b Hoe groter het vermogen, hoe sterker de bak wordt opgewarmd tijdens een tijdstap. Als het vermogen erg groot is, duurt het daarna meer tijdstappen om weer tot 60 ºC af te koelen. Als het vermogen (veel) kleiner wordt ingesteld dan 3200 W (zie vraag a), dan koelt het water af tot zich een evenwichtstemperatuur instelt. c Verwijder regel 2, 3, 4 en 6.

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

76

44 Radioactief verval: een toevalsproces a Kans = λ · dt = 0,035 · 0,030 = 0,00105 b De halveringstijd t½ = 19,7 dagen. c Bij het model met het toevalsproces ligt niet van te voren vast hoeveel kernen er per tijdstap zullen vervallen. Het aantal kernen dat vervalt hangt niet alleen af van het aantal, maar ook van het toeval. d Kies een grotere waarde voor λ. 45 Radioactief verval: moeder-dochter-kleindochter a Het aantal atomen S-38 dat vervalt, gaat er bij het aantal atomen S-38 af, bij het aantal atomen Cl-38 komt het erbij. Het aantal atomen Cl-38 dat vervalt, gaat er bij het aantal atomen Cl -38 af, bij het aantal atomen Ar-38 komt het erbij. b Het aantal atomen S-38 neemt exponentieel af. Het aantal atomen Cl-38 neemt eerst toe omdat het aantal atomen S-38 dat vervalt in het begin groter is dan het aantal atomen Cl-38 dat vervalt, later geldt het omgekeerde. Het aantal atomen Ar-38 neemt eerst steeds sneller toe, omdat het aantal vervallende Cl-38 atomen toeneemt. Vervolgens neemt het steeds minder snel toe, omdat het aantal atoomkernen dat vervalt steeds kleiner wordt. c Op het tijdstip t = 2,5 uur is het aantal atomen: 549,64 + 129,75 + 320,61 = 1000 Je kunt dit aflezen door met de rechtermuisknop op de grafiek te klikken en ‘Lees uit’ te kiezen (zie de afgebeelde grafiek). d In die modelvergelijking wordt het aantal uur berekend uit het aantal seconden. 46 Raketlancering a• • • • • b•

• c• • •

m = mr + mb + ms = 48635 kg Omdat er brandstof verbruikt (en uitgestoten) wordt. dm k ⋅ dt 200 ⋅ 0,5 Fv = c1 ⋅ = c1 ⋅ = 3000 ⋅ = 600 kN dt dt 0,5 De zwaartekracht; deze wordt in het model constant verondersteld. De luchtwrijvingskracht is nul omdat de wrijvingsfactor nul is. In het x,t-diagram is dit niet goed te zien. Je moet hiervoor het buigpunt bepalen. In het v,t-diagram gaat op t = 200 s de versnelde beweging over in een vertraagde beweging doordat de brandstof verbruikt is en de voorwaartse kracht nul wordt. In het a,t-diagram verandert op t = 200 s de versnelling van 59 m/s2 in –9,81 m/s2. De enige kracht die dan nog van invloed is, is de zwaartekracht. Omdat deze constant verondersteld wordt, levert deze een versneling van –9,81 m/s2. Op t = 904,5 s met een snelheid van –3708 m/s (naar beneden gericht). De zwaartekracht is niet meer constant. Ja, want in werkelijkheid neemt de zwaartekracht af met de hoogte. Er wordt echter nog geen rekening gehouden met wrijving. De raket komt hoger door de afnemende zwaartekracht. De maximale snelheid verandert nauwelijks. De snelheid waarmee de raket terugkeert op aarde is niet veel groter. De versnelling is niet constant tijdens de vertraagde beweging.

d Als je bij p 0 invult (of een negatief getal), rekent het model met een constante gravitatiekracht (m · g). Als je bij p een getal invult dat groter is dan 0, dan rekent het model met een veranderende gravitatiekracht. Als je dit gedaan hebt zijn de verschillen tussen de modellen in de grafieken goed te zien.

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

77

47 Kamerverwarming met thermostaat a• • •

Uit: als T = 20 ºC (regel 2). Aan: als T = 19 ºC (regel 4). Regel 2 tot en met 5.

b Vermogen: Als het vermogen groter wordt, verloopt de temperatuurstijging sneller. Het dalen van de temperatuur verandert niet. Warmteverliesfactor: Als de warmteverliesfactor groter wordt, verloopt de temperatuurdaling sneller. De temperatuurstijging verloopt juist (iets) langzamer. Omgevingstemperatuur: Als de omgevingstemperatuur hoger wordt, verloopt de temperatuurdaling langzamer. De temperatuurstijging verloopt juist (iets) sneller.

5 Afsluiting 5.2 Oefenopgaven 50 Valbeweging Ontbrekende regels: Regel 4: a = (F[z] - F[w])/m Regel 11: v = 0 'snelheid Veranderen voor vrije val: Regel 10: c= 0 51 Trilling De tijdstap dt is te groot gekozen. Deze moet maximaal ongeveer een tiende van de trillingstijd zijn (dt = 0,3 s), liever nog wat kleiner (dt = 0,1 s). Je krijgt dan 10 tot 30 punten per periode. 52 Snaarinstrument Grondfrequentie: f[g] = 110 'frequentie grondtoon (regel 11) Aantal harmonischen: n[max] = 5 (regel 13) Het aantal boventonen is dus 4 (1 grondtoon + 4 boventonen = 5 harmonischen). Dit is in overeenstemming met het diagram. Dit kun je het beste zien door de waarde van n[max] te variëren van 1 tot 5. Je ziet dat er dan telkens een trilling meer te zien is gedurende de trillingstijd van de grondtoon. 53 Blaasinstrument Bij een blaasinstrument hebben de boventonen een 3, 5, 7, … keer zo grote frequentie als de grondtoon. Verander regel 5 in: f = (2*n - 1)*f[g]. Als voor n invult 1, 2, 3, … dan levert 2 · n + 1 levert immers de reeks 3, 5, 7, … op. Verder mag je aannemen dat het aantal (waarneembare) boventonen weer vijf bedraagt (n[max] = 5) en dat de amplitude van de grondtoon en de boventonen zich op dezelfde manier verhouden (r = r[g]/n). 54 Gaswetten Regel 2 wordt: p = C*T/V Regel 6 erbij: T = 200 (je kunt hier elke gewenste startwaarde voor de temperatuur invoeren) 55 Bewegingsmodel Modelvergelijkingen 'Opgave 55: Bewegingsmodel t := t + dt Als t<= 1,0 dan F[r] = 5,4 Anders F[r] = 0 Eindals a = F[r] / m dv = a*dt v := v + dv dx = v*dt x := x + dx

Startwaarden t=0 'tijd dt = 0,010 'tijdstap v=0 'snelheid x=0 'plaats m = 0,54 'massa

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

78

56 Op- en ontladen a Op t = 5,0 s. Dit klopt met regel 2: t = 5 · R1 · C = 5 · 1000 · 0,0010 = 5,0 s b Het Uc,t-diagram stijgt sneller dan het daalt. Dit klopt met regel 4, 15 en 16: Bij het opladen van de condensator is R gelijk aan R1, bij het ontladen wordt R gelijk aan R2. Omdat R2 groter is dan R1 is de RC-tijd tijdens het ontladen groter dan tijdens het opladen en verloopt het ontladen langzamer dan het opladen. c Door deze formulering beschrijft het model alleen het proces. De startwaarden definiëren de concrete situatie. Je kunt dan makkelijker getalswaarden laten variëren om verschillende situaties met elkaar te vergelijken. 57 Basketbal a

ay = (Fz + Fz)/m

oftewel:

a[y] = (F[z] + F[wy])/m

b v = 8,0 m/s (regel 15) c Uit de startwaarden: Regel 16: α = π / 3 (= 60º) Uit de modelvergelijkingen: Regel 3: α = arctan (vy / vx) Je moet eerst π / 3 (regel 16) invullen in regel 17 en 18. De berekende waarden van vy en vx vul je vervolgens in in regel 3. Hieruit is α te berekenen. Dit is echter een nogal omslachtige manier, waarbij je nog steeds de waarde uit regel 16 nodig hebt. De hoek waarmee de bal is weggegooid ga je dus niet op deze manier bepalen. d In regel 4 staat de formule Fw = c · v2. Hieruit volgt: c =

Fw v

2

⇒

[ c ] = [ Fw ]

v 2   

=

N 2 –2 m 2 /s 2 = N·s ·m (= kg/m).

De vierkante haken betekenen: “de eenheid van …”. e De wrijvingskracht is te groot. De waarde van c moet dus kleiner gekozen worden. 58 Stuiterende kogel a De luchtwrijvingskracht en de zwaartekracht (regel 6 tot en met 9). b Grootte:

2

v = vx +vy

2

vy Richting: α = arctan vx

= 30 2 + ( − 40 )

2

α

= 50 m/s

vx

  = arctan 40  = 53º   30  

c De stuitfactor k geeft alleen aan welk deel van de snelheid behouden wordt, dus k heeft geen eenheid. v y,2 Dit volgt ook uit de formule: v y,2 = −k ⋅ v y,1 ⇒ k = − v y,1 Hieruit volgt dat k geen eenheid heeft, want de eenheden van de snelheid vallen tegen elkaar weg.

vy v

De eenheid van c is op dezelfde manier te bepalen si bij opgave 57 d: In regel 6 staat de formule Fw = c · v · vx. Fw [ c ] = [Fw ] = 2N 2 = N·s2·m–2 (= kg/m) Hieruit volgt: c = ⇒ v 2  m /s v ⋅vx   d Uitspraak B is juist. In verticale richting keert de snelheid telkens om van richting (en dus van teken), zowel op de grond als in het hoogste punt. In horizontale richting beweegt de kogel voortdurend in dezelfde richting. e In regel 1 tot en met 3. Zodra de y-waarde onder nul komt (voorbij het laagste punt), keert de richting van de snelheid om, verliest de kogel snelheid en wordt de plaats in de x-as ‘gespiegeld’. f k = 0,80. De kinetische energie moet je dus met een factor (0,80)2 = 0,64 vermenigvuldigen. Er blijft dus 64% van de oorspronkelijke kinetische energie over. Zie de volgende bladzijde voor het vervolg van opgave 58.

Newton vwo deel 2

Uitwerkingen Hoofdstuk 18 – Modelleren

79

Vervolg van opgave 58. g Alleen uitspraak A is juist. Als de massa groter wordt, wordt de wrijvingskracht een kleiner deel van de resulterende kracht in de y- richting, waardoor de bal hoger komt: Fry = Fwy + m * g (regel 9) Als de horizontale component van de snelheid groter wordt, wordt de snelheid v zelf ook groter. De wrijvingskracht in verticale richting wordt daardoor groter en dus komt de bal minder hoog: Fwy = –c * v * vy (regel 7) h De massa m moet worden aangepast. De stuitfactor k waarschijnlijk ook, door de andere elastische eigenschappen van lood. De wrijvingsconstante c hoeft niet te worden aangepast, aangezien de kogel dezelfde vorm heeft en even glad is. i Kies de richting van de wind positief als die dezelfde (horizontale) richting heeft als de kogel. Regel 5: v = SQRT((vx – vw)^2 + v[y]^2) Deze snelheid v wordt alleen berekend ten behoeve van de berekening van de wrijvingskracht in regel 6. De snelheid (ten opzichte van de omringende lucht) wordt dus kleiner bij wind mee. Regel 6: Fwx = –c * v * (vx – vw) j In één tijdstap kan het teken van de plaats omklappen: de bal bevindt zich eerst net boven de grond en aan het eind van de rekenslag komt de bal net onder het nulniveau uit. De kans dat je precies op nul uitkomt na een bepaalde rekenslag is heel klein. 59 Golfbal a ax = Fwx/m v = SQRT(vx^2 + vy^2) b De juiste volgorde is: blok C, blok B, blok A. Grootheden die in blok C berekend worden, worden in blok B gebruikt en grootheden die in blok B berekend worden, worden in blok A gebruikt. c De schaal van de verticale as is anders dan die van de horizontale as. d Teken de raaklijn in punt P en bepaal hiermee de hoek α. ∆y tan α = = –1,1 ∆x α = –49º (ten opzichte van de horizontaal) 60 Hoogspringer a ∆s = 1,1 – 0,50 = 0,6 m (regel 17 en 18) b Regel 3: Fafzet = C * (x0 – x) Als x toeneemt, wordt Fafzet kleiner, doordat (x0 – x) kleiner wordt. c Regel 5 tot en met 7: Na de afzet wordt Fafzet nul en de resulterende kracht Fr gelijk aan –Fz. d Als dx < 0 worden de modelberekeningen gestopt (regel 13). Zonder deze modelvergelijking zou de hoogspringer tijdens de beweging omlaag opnieuw een afzetkracht naar boven gaan uitoefenen. Dat gebeurt in werkelijkheid niet. N.B. Wanneer is de verticale snelheid van de springer het grootst? A Op het moment dat x = x0. B Vlak ervoor. C Kort daarna. Het antwoord is: vlak ervoor. Voordat het zwaartepunt de hoogte x = x0 bereikt, zijn de zwaartekracht en de (steeds kleiner wordende) afzetkracht al met elkaar in evenwicht. Vanaf dat moment gaat de versnelde beweging over in een vertraagde.