Antwoorden Hoofdstuk 6

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

85

6 Verkeersveiligheid 6.1 Inleiding 2 Verkeersveiligheid a Gebruik gordels, kreukelzone, kooiconstructie, airbag, snelheidsbeperkingen. b Gebruik van helm, snelheid lager. c Meer en betere fietspaden, verkeerslichten, verkeersdrempels, scheiding verkeerssoorten. d Zebrapaden met verkeerslichten, voetgangersgebied, scheiding verkeerssoorten. 3 Veiligheidsmaatregelen a Autogordel voorkomt botsing met voorruit en vangt door uitrekken de klap op. b Alcoholcontrole vermindert gevaarlijk rijgedrag. c Valhelm beschermt het hoofd bij een val of botsing. d Door de fietspaden hoeven fietsers niet op de rijweg. e Verkeersdrempels zorgen ervoor dat auto’s vaart verminderen. 4 Kracht en beweging a Bij constante snelheid is de nettokracht (resultante, resulterende kracht) gelijk aan nul. De krachten die op het voertuig werken zijn in evenwicht. Dit volgt ook uit de formule Fres = m · a. Als de versnelling a = 0, is de resulterende kracht ook nul. s s . Als de snelheid constant is, geldt: v = . t t 1000 m 1 = m/s ), respectievelijk vermenigvuldigen met 3,6. Delen door 3,6 (want 1 km/h = 3600 s 3,6

b Altijd geldt: v gem =

c De snelheid neemt gelijkmatig toe: eenparig versnelde beweging (de versnelling a is positief). d De snelheid neemt gelijkmatig af: eenparig vertraagde beweging (de versnelling a is negatief). 5 Remmen en botsen a Snelheid groter: grotere remweg. Reactietijd groter: grotere remweg. Remkracht groter: kleinere remweg. De reactietijd wordt beïnvloed door: concentratie, uitzicht, conditie. De remkracht wordt beïnvloed door: kwaliteit weg, banden, kwaliteit rem. b Wat betreft het gedrag: lage snelheid, gordel dragen. Wat betreft het ontwerp: kooiconstructie, autogordels, kreukelzone, airbag, antiblokkeersysteem.

6.2 Versnelde en vertraagde beweging Verwerken 8 a Eenparig versneld, want de snelheid neemt gelijkmatig toe met de tijd. b Eenparig vertraagd, want de snelheid neemt gelijkmatig af met de tijd. c Eenparig, want de snelheid blijft steeds hetzelfde (is dus constant). d Eerst versneld en daarna eenparig. In de figuur zie je dat de snelheid eerst toeneemt, maar steeds minder snel (het is geen eenparig versnelde beweging). Na een zekere tijd blijft de snelheid constant en is de beweging eenparig geworden (horizontale lijn). e Eenparig versneld, want de snelheid neemt gelijkmatig toe. In dit geval heeft het voertuig al snelheid op het tijdstip t = 0. Dus er is sprake van een beginsnelheid. f Vertraagde beweging, want de snelheid neemt af met de tijd. De snelheid neemt niet gelijkmatig af (geen rechte, schuine lijn). De snelheid neemt dus niet elke seconde met hetzelfde bedrag af. Er is geen sprake van een eenparig vertraagde beweging. De snelheid neemt steeds minder snel af en lijkt uiteindelijk constant te (zullen) blijven.

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

86

9 De versnelling is de snelheidsverandering per seconde: ∆v v e − v b a= = ∆t t e − tb De gemiddelde snelheid geeft aan hoe groot je snelheid zou zijn geweest, als je de gegeven afgelegde weg in de gegeven tijd met een constante snelheid zou hebben afgelegd: ∆s s e − s b = = v gem = ∆t t e − tb Het maakt niet uit hoe die afstand in werkelijkheid is afgelegd (of tussendoor is versneld, afgeremd of stilgestaan). De gemiddelde snelheid zegt dus niets over de ‘echte snelheid’ die je elk moment had. Als de snelheid gelijkmatig toe- of afneemt (eenparig versnelde beweging), mag je de gemiddelde snelheid berekenen door het gemiddelde nemen van de beginsnelheid en de eindsnelheid: v + ve v gem = b 2 25 10 a Uit figuur 3 blijkt: v = 20 km/u = 5,6 m/s op t = 1 s v = 40 km/u = 11,1 m/s op t = 2 s v = 60 km/u = 16,7 m/s op t = 3 s In nevenstaand diagram zie je een schuine rechte lijn, die duidt op een eenparig versnelde beweging.

v (t)

20

(m/s) 15 10 5

b Om de versnelling te bepalen, bepaal je de helling van de lijn door twee punten op de lijn te kiezen (‘begin’ en ‘eind’): ∆v v e − v b 16,7 − 5,6 a= = = = 5,6 m/s2. ∆t t e − tb 3,0 − 1,0

0 0

1

2

3

4 t (s)

5

11 a Voertuig B heeft de grootste eindsnelheid want de lijn eindigt hoger. Voertuig A heeft slechts de eerste drie seconden een eenparig versnelde beweging, daarna is de snelheid constant. Voertuig A heeft (zolang het duurt) de hoogste versnelling: de grafiek loopt steiler (de snelheid neemt sneller toe). vb + ve 0 + 15 ⋅ ∆t = ⋅ 3 = 22,5 m 2 2 v + ve 0 + 17,3 ⋅ ∆t = ⋅ 6 = 51,9 m Voertuig B: ∆s = vgem · ∆t = b 2 2

b Voertuig A: ∆s = vgem · ∆t =

Je kunt ook de formule s =

1 2

∆s ∆t

want: v gem =

⋅ a ⋅ t 2 gebruiken, maar die geldt alleen als vb = 0 of als ve = 0. De hier

gebruikte formule met de gemiddelde snelheid geldt ook bij eenparig versnelde of vertraagde bewegingen waarbij de beginsnelheid en de eindsnelheid geen van beide nul zijn. 90 = 25 m/s; a = 2,5 m/s2 3,6 Voor een eenparig versnelde beweging (zonder beginsnelheid) geldt: ∆v v e − v b = ve = a · ∆t (want: a = en vb = 0) ∆t ∆t

12 Gegeven: vb =

s=

1 2

35 v(t) 30 (m/s) 25 20

⋅a⋅t2

Met bovenstaande formules kun je voor een aantal tijdstippen de (‘eind’)snelheid en de afgelegde weg berekenen: t (s) ve (m/s) s (m) 0 0 0 2 5 5 4 10 20 6 15 45 8 20 80 10 25 125 Zie nevenstaande diagrammen. Je kunt ook je grafische rekenmachine gebruiken om de diagrammen te tekenen (zie onderstaande schermafbeeldingen). Gebruik de knoppen Y=, WINDOW en GRAPH.

15 10 5 0

0

2

4

6

8

10 t (s)

12

0

2

4

6

8

10 t (s)

12

140

s(t) 120 (m) 100 80 60 40 20 0

Newton vwo deel 1a

13 a =

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

∆v v e − v b 20,0 − 7,5 = = = 2,083 m/s2 ∆t t e − tb 6,0 − 0

87

Afgerond: a = 2,1 m/s2

v b + v e 7,5 + 20,0 = = 13,75 m/s Afgerond: v = 14 m/s 2 2 ∆s = vgem · ∆t = 13,75 · 6,0 = 82,5 m Afgerond: s = 83 m Je kunt de verplaatsing ook bepalen door het oppervlak onder de grafiek te bepalen. Verder kun je de verplaatsing ook berekenen met: s = v b ⋅ t + 21 ⋅ a ⋅ t 2 (de beginsnelheid is niet nul!) v gem =

N.B. De hierboven gebruikte formule voor de versnelling kun je gebruiken om de helling (=versnelling) van een bepaald punt in de grafiek te bepalen. Als de lijn krom loopt, is de versnelling niet eenparig. Dan teken je eerst een raaklijn voor het tijdstip waarbij je de versnelling wilt bepalen. Bovenstaande formules voor de gemiddelde snelheid en de verplaatsing mogen alleen gebruikt worden bij een eenparig versnelde beweging. 14 a Voertuig A heeft de grootste beginsnelheid omdat de lijn begint op 20 m/s en die van B op 15 m/s. Voertuig A heeft ook de grootste vertraging omdat de lijn van de snelheid van A steiler naar beneden gaat dan die van B. b De verplaatsing is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek in het (v,t)-diagram. Voor de driehoekige vorm geldt: verplaatsing = ½ · hoogte · breedte Voor A: s = ½ · 20 · 3 = 30 m Voor B: s = ½ · 15 · 6 = 45 m Conclusie: Voertuig B heeft de grootste verplaatsing. v + ve ⋅ ∆t . Let op dat je dit toepast op elk stuk N.B. Je kunt ook gebruik maken van: ∆s = vgem · ∆t = b 2 waarvoor de versnelling constant is. Als de versnelling verandert (bij een knik) moet je voor het volgende stuk een aparte berekening uitvoeren. 15 s = 36 m s=

1 2

⋅a⋅t2 ⇒ a =

s 1 2

⋅t2

=

2⋅s t2

=

2 ⋅ 36 52

=2,88 m/s2

vb = a · t = 2,88 · 5 = 14,4 m/s

Afgerond: a = 2,9 m/s2 Afgerond: vb = 14 m/s

Tweede manier: Je kunt ook eerst de gemiddelde snelheid berekenen: ∆s 36 v gem = = = 7,2 m/s ∆t 5 De beginsnelheid is 2 keer zo groot als de gemiddelde snelheid (want de eindsnelheid is nul): vb = 14,4 m/s Afgerond: vb = 14 m/s ∆v 14,4 a= = = 2,88 m/s2 Afgerond: a = 2,9 m/s2 ∆t 5 70 = 19,4 m/s ; a = –4,5 m/s2 3,6 Voor de snelheid op het tijdstip t geldt: v(t) = vb + ∆v = vb + a · t = 19,4 − 4,5 ⋅ t Je kunt dit bijvoorbeeld voor t = 1, t = 2 en t = 3 s uitrekenen en uitzetten in een v,t-diagram. Je kunt deze formule ook invoeren in je grafische rekenmachine (zie bovenstaande schermafbeeldingen).

16 Gegeven: vb =

70

∆v v b 3,6 = 4,32 s. = = a a 4,5 Om het scherm van je grafische rekenmachine in te stellen druk je op WINDOW en voer je in: Xmax = 4,32. De grafiek loopt niet verder dan t = 4,32 s, want de beweging stopt op het tijdstip t =

Voor de verplaatsing vanaf het tijdstip dat de auto begint te remmen tot het tijdstip t geldt: s(t) = vgem · t De gemiddelde snelheid is het gemiddelde van de beginsnelheid en de snelheid op tijdstip t. Je kunt s voor verschillende tijdstippen uitrekenen en uitzetten in een s,t-diagram. Je moet deze formule omwerken om met je grafische rekenmachine een grafiek te kunnen tekenen (zie ook vergelijking Y2 in bovenstaande schermafbeelding): v b + v (t ) v + (v b + a ⋅ t )  v + vb a ⋅ t  ⋅t = b ⋅ t =  b +  ⋅ t = (v b + 21 ⋅ a ⋅ t ) ⋅ t s(t) = vgem · t = 2 2 2   2 2 2 2 s(t) = v b ⋅ t + 21 ⋅ a ⋅ t = 19,4 ⋅ t + 21 ⋅ (-4,5) ⋅ t = 19,4 ⋅ t − 21 ⋅ 4,5 ⋅ t

Zie nevenstaande schermafbeelding.

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

60 = 16,67 m/s 3,6 ∆s = vgem · ∆t v + v e 16,67 + 0 = vgem = b = 8,33 m/s 2 2 ∆v 16,67 = ∆t = = 2,31 s a 7,2 ∆s = vgem · ∆t = 8,33 · 2,31 = 19,3 m

88

17 a v b =

Afgerond: s = 19 m

120 = 33,33 m/s 3,6 ∆s = vgem · ∆t = 16,67 · 4,63 = 77,2 m vb =

b

Afgerond: s = 77 m

Uit opgave a blijkt: Als vb 2 keer zo groot wordt, wordt s 4 keer zo groot. Conclusie: s is kwadratisch evenredig met vb. 2

Dit volgt ook uit de formules: ∆s = vgem · ∆t = Dus s is evenredig met (vb)2: s =

v b + v e ∆v v b v b v b ⋅ = ⋅ = 2 a 2 a 2a

(ve = 0)

1 2 2 ⋅ v b = k ⋅ v b (Deze formule had je bij opgave a kunnen gebruiken.) 2a

100 = 27,8 m/s De berekeningen gaan hetzelfde als bij de vorige opgave. 3,6 ∆s = vgem · ∆t = 13,9 · 11,1 = 154 m Afgerond: s = 1,5·102 m

18 a v b =

∆s = vgem · ∆t = 13,9 · 5,56 = 77,2 m

Afgerond: s = 77 m

b Uit opgave a blijkt: Als a 2 keer zo groot wordt, wordt s 2 keer zo klein. Conclusie: s is omgekeerd evenredig met a. 2

Dit volgt ook uit de formules: ∆s = vgem · ∆t = Dus s is evenredig met

19 v b =

v b + v e ∆v v b v b v b ⋅ = ⋅ = 2 a 2 a 2a

(ve = 0)

2 1 v 1 1 : s= b ⋅ =k⋅ a 2 a a

70 = 19,4 m/s 3,6

∆v v e − v b −v b = = (ve = 0) ∆t ∆t ∆t ∆s 40 = ∆s = vgem · ∆t ⇒ ∆t = = 4,11 s v gem 9,72

a=

a=

−v b −19,4 = = – 4,7 m/s2 ∆t 4,11

Het minteken duidt op een afname van de snelheid.

60 100 ∆v v e − v b vb = ve = = = 16,7 m/s = 27,8 m/s 3 , 6 3,6 ∆t ∆t ∆v v e − v b 27,8 − 16,7 a= = = = 1,048 m/s2 Afgerond: a = 1,0 m/s2 ∆t t e − tb 16,9 − 6,3

20 a a =

b In de grafiek wordt de helling (= versnelling) steeds kleiner. De versnelling neemt af, doordat de (lucht)wrijvingskracht toeneemt: F F − Fw Fres = m · a ⇒ a = res = vw Uit deze formule volgt dat a afneemt, als Fw toeneemt (als je er van m m uitgaat dat de voorwaartse kracht en de massa constant blijven).

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

89

100 = 27,8 m/s 3,6 sstop = sreactie + srem = 95 m ∆v 27,8 ∆v = a= ⇒ ∆t = = 4,63 s a 6,0 ∆t 27,8 ⋅ 4,63 = 64,3 m safremmen = vgem · ∆t = 2 sreactie = 95 – 64,3 = 30,7 m Deze reactieafstand legt de auto af met de beginsnelheid. sreactie 30,7 = s = v · t ⇒ t reactie = = 1,1 s vb 27,8

21 v b =

22

Als je plotseling moet remmen, zorgt een langere reactietijd ervoor dat je een langere afstand aflegt voordat je stilstaat.

Controleren 24 Rem-testrapport 100 40 = 27,8 m/s; handrem: v b = = 11,1 m/s 3,6 3,6 ∆s 50 ∆v 27,8 = = Voetrem koud: ∆s = vgem · ∆t ⇒ ∆t = = 3,60 s; a = = 7,7 m/s2 v gem 13,9 ∆t 3,60

a Voetrem: v b =

Voetrem warm:

∆t =

∆s 55 ∆v 27,8 = = = 3,96 s; a = = 7,0 m/s2 v gem 13,9 ∆t 3,96

Handrem:

∆t =

∆s 17 ∆v 11,1 = = = 3,06 s; a = = 3,6 m/s2 v gem 5,56 ∆t 3,06

b De wettelijk voorgeschreven remvertraging bedraagt 6,2 m/s2 (zie informatieboek). De voetrem voldoet hieraan, de handrem niet. 25 Rijsnelheid bij mist Uitgaande van de wettelijk voorgeschreven remvertraging van 6,2 m/s2 en een reactiesnelheid van 1,0 s: ∆v v b ∆v = Minimale tijd nodig om te remmen: a = ⇒ ∆t = ∆t a 6,2 sreactie + srem = 50 m vb · treactie + vgem,rem · trem = 50 m vb v vb · 1,0 + b · = 50 2 6,2 2

vb 2 + 1,0 ⋅ v b − 50 = 0 ⇒ v b + 12,4 ⋅ v b − 620 = 0 12,4 Los deze vergelijking op met de ABC-formule of met de vergelijkingsoplosser van je grafische rekenmachine:

• • •

Toets in: MATH 0:Solver… Achter “eqn : 0 = ” toets je het volgende (zie het linkse schermpje): Druk op ENTER. Je ziet nu het middelste schermpje. Zet de cursor achter X= en toets in: 0 ALPHA [SOLVE] Achter X= staat het antwoord (zie het rechtse schermpje, rechts): vb = 19,46 m/s = 70,06 km/h Afgerond: vb = 70 km/h Dit is de snelheid waarbij je theoretisch net op tijd voor een stilstaand obstakel kunt stoppen. N.B. De andere oplossing die je met de ABC-formule kunt vinden (vb = –31,86 m/s) heeft geen natuurkundige betekenis.

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

90

26 Afstand houden 2

 120  a   = 144 m  10  120 = 33,3 m/s 3,6 sstop = sreactie + srem = vb · treactie + vgem,rem · trem

b vb =

Nieuwe onbekende: trem ∆v ∆v v b 33,3 = = Minimale tijd nodig om te remmen: a = ⇒ trem = = 5,38 s ∆t a a 6,2 33,3 sstop = vb · treactie + vgem,rem · trem = 33,3 · 1,0 + · 5,38 = 123 m 2 De waarde bij opgave a is dus nogal groot, want de voorligger heeft zelf ook nog een remweg. Als de remweg van je voorganger even groot is als je eigen remweg, dan hoef je alleen rekening te houden met de reactieafstand (33,3 m). Dit is uiteraard een wel erg minimale onderlinge afstand. De reactieafstand kan bijvoorbeeld best langer zijn dan 33,3 m. Ook kan de remweg van je voorligger korter zijn dan je eigen remweg. 27 Maximumsnelheid a 30 km/h respectievelijk 40 km/h. b sstop = sreactie + srem = vb · treactie + vgem,rem · trem sreactie = vb · treactie = vb · 1,0 2

srem = vgem,rem · trem =

2

2

v b + v e ∆v v b v b v b v v ⋅ = ⋅ = = b = b 2 a 2 a 2a 2 ⋅ 3,9 7,8 2

vb 7,8 Voer deze formule in op je grafische rekenmachine (zie onderstaande schermafbeeldingen). sstop = sreactie + srem = vb +

c Bij deze snelheid heeft de auto volgens de gegevens uit deze opgave een remweg van ongeveer 30 m. Bereken het snijpunt van de grafiek van opgave b en de lijn s = 30 m (zie onderstaande schermpjes). Snijpunt berekenen: • Druk op GRAPH. Het snijpunt van Y1 en Y2 moet zichtbaar zijn in het scherm wil je dat kunnen berekenen. Dit kun je instellen onder WINDOW. Je kunt ook de ZOOM-functie gebruiken om het snijpunt in beeld te krijgen. • Bereken het snijpunt van Y1 en Y2: toets in 2nd [CALC] 5:intersect ENTER ENTER ENTER. • Lees af: bij een remweg van srem = 30 m (Y) is de beginsnelheid van de brommer vb = 11,9 m/s (X) Dit komt overeen met een snelheid van 42,3 km/h Afgerond: vb = 42 km/h Deze snelheid is hoger dan de maximumsnelheid voor de brommer. d Nee, de brommer kan bij de maximumsnelheid van 30 km/h binnen een kortere afstand stilstaan dan de auto bij 50 km/h. De bromfietser is kwetsbaarder dan de automobilist. 28 Botsen a vb = 90 km/h = 25 m/s ∆v a= ∆t ∆v v b 25 = = personenauto: trem = = 4,17 s a a 6,0 vrachtwagen: trem =

∆v v b 25 = = = 6,25 s a a 4,0

25

v

20

(m/s) 15

vrachtauto

10 5

personenauto

0 0

1

2

3

4

5 tijd t (s)

6

7

8

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

91

b De remweg van de personenauto is: 25 srem = vgem,rem · trem = · 4,17 = 52,1 m 2 De stopafstand van de vrachtwagen is: sstop = sreactie + srem = vb · treactie + vgem,rem · trem 25 sstop = 25 · 0,75 + · 6,25 = 96,9 m 2 De personenwagen staat stil op een afstand van 52,1 + 40 = 92 m bij de beginpositie van de vrachtwagen vandaan. De vrachtwagen botst dus tegen de auto aan, want hij komt pas na 97 m (5 m verder dan de personenauto) tot stilstand.

6.3 Kracht en beweging Verwerken 30 Fres is het resultaat van alle krachten samen die op een voertuig werken: Fres = Fvw – (Fw,l + Fw,r). 31 Volgens de eerste wet van Newton beweegt een voorwerp met een constante snelheid (en verandert de snelheid dus niet) als de krachten die op een voorwerp werken in evenwicht zijn (en de resulterende kracht dus gelijk is aan nul). De snelheid kan ook nul blijven (rust). Dit volgt ook uit de tweede wet van Newton: Fres = m · a F 0 Als Fres = 0 geldt dus a = res = =0 Als er geen versnelling is (a = 0), verandert de snelheid niet. m m Fres Nieuwe onbekende: Fres m Fres = Fvw – (Fw,l + Fw,r) = 9,5 – (7,1 + 2,4) = 0 N F a = res = 0 m/s2 m

32 a Fres = m · a ⇒ a =

b Fres = Fvw – (Fw,l + Fw,r) = 11,8 – (7,1 + 2,4) = 2,3 N F 2,3 a = res = = 0,027 m/s2 m 85 c De fietser gaat steeds sneller. Hierdoor wordt de luchtweerstand steeds groter. De snelheid neemt niet meer toe (de versnelling wordt nul) als de wrijvingskrachten weer even groot zijn als de voorwaartse kracht. 33 Fres = Frem + Fw,l + Fw,r ⇒ Frem = Fres – (Fw,l + Fw,r) Fres = m · a = 85 · 0,45 = 38,25 N Frem = 38,25 – (5,0 + 2,4) = 30,85 N Afgerond: Frem = 31 N 34 vb = 20 km/h = 5,56 m/s srem = vgem · trem ∆v ∆v trem = want a = a ∆t v b + v e 5,56 + 0 = vgem = = 2,78 m/s 2 2 F 125 a = res = = 1,47 m/s2 m 85 ∆v 5,56 = trem = = 3,78 s a 1,47 srem = vgem · t = 2,78 · 3,78 = 10,5 m Afgerond: srem = 11 m

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

35 a Fres = m · a = 800 · 4,5 = 3600 N b Wrem = ∆Ek Frem · srem =

Afgerond: Fres = 3,6·103 N

De (negatieve) arbeid die de rem verricht, is gelijk aan de verandering van de kinetische energie. 1 2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

Frem · srem = − 21 ⋅ m ⋅ v b vb = −

92

2

2

De remkracht is negatief (tegen de bewegingsrichting in).

want ve = 0

2 ⋅ Frem ⋅ s rem 2 ⋅ −3600 ⋅ 55 =− = 22,2 m/s = 80,1 km/h 800 m

Afgerond: vb = 80 m/s

In plaats van de formule om te werken kun je ook eerst de getallen invullen: Frem · srem =

1 2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

–3600 · 55 = 0 − 21 ⋅ 800 ⋅ v b vb =

2

2

2 ⋅ 3600 ⋅ 55 = 22,2 m/s = 80,1 km/h 800

Afgerond: vb = 80 m/s

36 a vb = 50 km/h = 13,9 m/s Frem · srem =

1 2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

6,3 ⋅ 10 3 ⋅ s = 0 − 21 ⋅ 800 ⋅ 13,9 2 s= b s=

1 2

⋅ 800 ⋅ 13,9 2 6,3 ⋅ 10 3

1 2

= 12,3 m

Afgerond: srem = 12 m

⋅ 800 ⋅ 27,8 2

= 49,0 m Afgerond: srem = 49 m 6,3 ⋅ 10 3 Als de beginsnelheid 2 keer zo groot wordt, wordt de remweg wordt 22 = 4 keer zo lang (de remweg is kwadratisch evenredig met de beginsnelheid: srem ~ v b 2 of: s rem = k ⋅ v b 2 ).

c Twee keer zo groot: 24,6 m Afgerond: srem = 25 m Als de remkracht 2 keer zo klein wordt, wordt de remweg wordt 2 keer zo lang (de remweg is omgekeerd 1 1 evenredig met de remkracht: srem ~ of: s rem = k ⋅ ). Frem Frem 37 a Frem · srem = − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

De remweg is kwadratisch evenredig met de beginsnelheid: srem ~ v b 2 of: s rem = k ⋅ v b 2 . b 4 · 2,8 = 11,2 m (Als de beginsnelheid 2 keer zo groot wordt, wordt de remweg wordt 22 = 4 keer zo groot.) 16 · 2,8 = 44,8 m (Als de beginsnelheid 4 keer zo groot wordt, wordt de remweg wordt 42 = 16 keer zo groot.) 38 a Frem · srem = − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

⇒ srem =

− 21 ⋅ m ⋅ v b

2

Frem

De remweg is omgekeerd evenredig met de remkracht: srem ~

1 1 of: s rem = k ⋅ . Frem Frem

b 11 · 2 = 22 m (Als de remkracht 2 keer zo klein wordt, wordt de remweg wordt 2 keer zo groot.) 11 · 4 = 44 m (Als de remkracht 4 keer zo klein wordt, wordt de remweg wordt 4 keer zo groot.) 39 Door de botsing ondervindt de auto een tegenwerkende kracht, waardoor hij sterk wordt vertraagd. De persoon ondervindt pas een tegenwerkende kracht zodra hij tegen het stuur of de voorruit botst. Tot dat moment wordt hij niet vertraagd. Als de persoon een autogordel draagt, wordt hij tegelijkertijd met de auto vertraagd. 40 Als de bagage niet goed is vastgemaakt, zal er een te kleine kracht op worden uitgeoefend om de bagage dezelfde versnelde of vertraagde beweging te geven als de auto. Als de auto te snel optrekt blijft de bagage achter en valt aan de achterkant van het imperiaal. Als de auto te hard remt, schiet de bagage door en valt op de motorkap. De vertraging tijdens maximaal remmen is behoorlijk groot. Er is dan ook een tamelijk grote kracht nodig om de bagage op zijn plek te houden (en dus met de auto mee te vertragen).

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

93

41 a De kooi waar de inzittende in zit, krijgt door de kreukelzone een veel langere remweg: hoe langer de indeuking van de kreukelzone, hoe langer de remweg en hoe kleiner de kracht waarmee de kooi en de inzittende worden afgeremd. De autogordel rekt een stukje op, waardoor de inzittende binnen de kooi een stukje extra remweg krijgt. Ook hierdoor neemt de afremmende kracht op de inzittende dus af. b Nee. De inzittende wordt zonder autogordel niet tegelijk met de auto afgeremd. Pas als de auto al flink is afgeremd, zal de inzittende het stuur of de voorruit raken en zelf afgeremd worden. Zo profiteert de inzittende minder van het geleidelijke afremmen door de kreukelzone. Verder wordt de kracht op de inzittende door de gordel over een groter oppervlak van het lichaam verdeeld. Dit levert veel minder schade op dan het botsen van het hoofd en andere lichaamsdelen tegen het stuur, de voorruit en het dashboard. Tenslotte levert de autogordel door het oprekken een (mogelijk levensreddend) extra stuk remweg. 42 a Het hoofd botst tegen een schuimlaag, waardoor de remweg van het hoofd langer wordt en de remkracht dus kleiner. b De schuimlaag is ingedeukt. Dit materiaal veert niet terug. Ook kunnen niet of nauwelijks zichtbare (haar)scheurtje in de helm ontstaan zijn.

Controleren 44 Optrekkende trein a 18 km/h = 5,0 m/s; 45 km/h = 12,5 m/s Eerste periode: Fres = m · a ∆v v e − v b 5,0 − 0 a= = = = 0,50 m/s2 ∆t t e − tb 10 − 0 Fres = m · a = 26·103 · 0,50 = 13·103 N Tweede periode: ∆v v e − v b 12,5 − 5,0 a= = = = 0,75 m/s2 ∆t t e − tb 20 − 10 Fres = m · a = 26·103 · 0,75 = 19,5·103 N b De tegenwerkende krachten (waaronder de luchtwrijvingskracht) zijn gedurende die periode gemiddeld meer dan 2 keer zo groot als gedurende de eerste periode. 45 Remmende auto a treactie = 1,2 s ∆v v e − v b 0,0 − 20 a= = = = 6,06 m/s2 ∆t t e − tb 4,5 − 1,2

Afgerond: a = 6,1 m/s2

b sstop = sreactie + srem = vb · treactie + vgem,rem · trem sreactie = vb · treactie = 20 · 1,2 = 24 20 ⋅ 3,3 = 33 m srem = vgem,rem · trem = 2 sstop = sreactie + srem = 24 + 33 = 57 m 800 + 400 = 1,5 keer zo groot, dus wordt de versnelling 1,5 keer zo 800 klein (bij gelijke kracht). ∆v ∆v srem = vgem · trem = vgem · want a = a ∆t De gemiddelde snelheid en de snelheidsverandering zijn even groot. De versnelling is 1,5 keer zo klein, dus de remweg wordt 1,5 keer zo groot. De totale stopafstand wordt dus: sstop = sreactie + srem = 24 + 1,5 · 33 = 73,5 m. Afgerond: sstop = 74 m

c Fres = m · a

De massa wordt

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

94

46 Fietsremmen a 25 km/h = 6,94 m/s ∆v a= ∆t srem = vgem,rem · trem ⇒ t = a=

s 5,5 = = 1,59 s v gem 3,47

∆v −6,94 = = – 4,38 m/s2 ∆t 1,59

Afgerond: a = – 4,4 m/s2

b De massa en de beginsnelheid. c De terugtraprem met velgrem vóór heeft volgens de gegevens bij nat weer hetzelfde effect als alleen een terugtraprem. Onder die omstandigheden heeft een terugtraprem bij een snelheid van 25 km/h een remweg van 9 m. De remweg bedraagt in de regenremtest ongeveer 4,1 m (te bepalen door de lengte van de tweede staaf op te meten en te vergelijken met de lengte van de schaal van de remweg). Bij de oorspronkelijke test is de remvertraging: ∆v a= ∆t s 9 t= = = 2,59 s v gem 3,47

∆v −6,94 = = – 2,68 m/s2 ∆t 2,59 Je mag aannemen dat de remvertraging bij de regenremtest hetzelfde is. ∆v a= ⇒ ∆v = a ⋅ ∆t ∆t a=

s = 21 ⋅ a ⋅ t 2 ⇒ t =

2⋅s = a

2 ⋅ 4,1 = 1,75 s 2,68

∆v = a ⋅ ∆t = 2,68 · 1,75 = 4,69 m/s Dus was de beginsnelheid 4,69 m/s = 16,9 km/h. Afgerond: vb = 17 km/h d Bij een velgrem komt er water tussen de velg en het remblokje, waardoor de wrijving tussen de velg en het blokje minder wordt. 25 e De remweg is kwadratisch evenredig met de snelheid. De snelheid wordt = 1,48 keer zo groot. 16,9 2 De remweg wordt dus (1,48) = 2,19 keer zo groot: • Trommelremmen: 2,7 · 2,19 = 5,9 m • Terugtraprem met velgrem voor: 4,1 · 2,19 = 9,0 m • Velgremmen voor en achter: 10 · 2,19 = 22 m Conclusie: zelfs de trommelremmen voldoen (net) niet aan de Duitse norm. 47 Proefbotsingen a 70 km/h = 19,4 m/s De pop verschuift tussen de beeldjes 2 en 5 (ter hoogte van de arm) ongeveer 8,6 hokje (ten opzichte van stilstaande voorwerpen op de foto, bijvoorbeeld het donkere verticale voorwerp rechts op de foto). Dat is 8,6 · 5 = 43 cm. Frem ⋅ srem =

1 2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

Frem ⋅ 0,43 = 0 − 21 ⋅ 75 ⋅ 19,4 2 Frem =

− 21 ⋅ 75 ⋅ 19,4 2 0,43

= – 32822 N (= veel!)

Afgerond: Frem = – 3,3·104 N

b Het hele apparaat verplaatst tussen het eerste en het tweede filmbeeldje 4 hokjes = 4 · 5 = 20 cm: s 0,20 s=v·t ⇒ t = = = 0,010 s Afgerond: t = 1,0·10–2 s v 19,4 Van beeld 3 naar 4 verplaatst de pop (ter hoogte van de arm) ten opzichte van de stilstaande stoel: s = 2,7 · 5 = 13,5 cm s 0,135 v gem = = = 13,5 m/s = 48,6 km/h Afgerond: vgem = 49 km/h t 0,010 c De gemiddelde kracht is ongeveer de piekkracht gedeeld door twee (gezien de tamelijk geleidelijk oplopende en afnemende kracht), dus de gemiddelde kracht is ongeveer 3·104 N. Dit komt goed overeen met de orde van grootte bij opgave a.

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

95

d De gordel oefent de afremmende kracht uit gedurende een grotere ‘remweg’. Als je met je lichaam tegen het stuur en met je hoofd tegen de voorruit botst, is de ‘remweg’ bijzonder klein. e Een gemiddelde kracht uitoefenen van ongeveer 30 000 N (op een personenweegschaal overeenkomend met ongeveer 3000 kg!) lukt uiteraard nooit. Bovendien is de piekkracht nog groter. 48 Airbag a 72 km/h = 20 m/s Frem ⋅ srem =

1 2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

Frem ⋅ (0,35 + 0,20 ) = 0 − 21 ⋅ 70 ⋅ 20 2 Frem =

− 21 ⋅ 70 ⋅ 20 2 0,55

b s = vgem · t ⇒ t =

= – 25455 N

Afgerond: Frem = – 2,5·104 N

s 0,55 = = 0,055 s v gem 10

c Ja, want die is na 30 ms = 0,030 s al half vol en bruikbaar en na 0,050 s is hij helemaal vol. 49 Uitrijdende trein Fres m De vertraging a is dus heel klein als de massa groot is en de wrijvingskracht relatief klein.

a Tweede wet van Newton: Fres = m · a ⇒ a = b 130 km/h = 36,1 m/s Tijdens het remmen: ∆v 36,1 ∆v = a= ⇒ trem = = 144 s a 0,25 ∆t Voor het remmen: s s − s rem t = = tot v v 36,1 ⋅ 144 = 2,61·103 m srem = vgem · t = 2

s s tot − s rem 14 ⋅ 10 3 − 2,61⋅ 10 3 = = = 316 s v v 36,1 In totaal: 144 + 316 = 460 s t=

c 80 km/h = 22,2 m/s Fres 9,9 ⋅ 10 3 = Uitrijden: a = = 0,0309 m/s2 m 3,2 ⋅ 10 5 ∆v 36 − 22 = t= = 452 s a 0,0309 ∆v 22 = Remmen: trem = = 88 s a 0,25 Totaal: 452 + 88 = 540 s

Afgerond: ttot = 4,6·102 s

Afgerond: ttot = 5,4·102 s

d De trein komt 540 – 460 = 80 s later aan.

6.5 Afsluiting Controleren 55 Remvertraging brommer 40 km/h = 11,1 m/s ∆v a= ∆t s 15,5 = s = vgem · t ⇒ t = = 2,79 s v gem 5,55

∆v −11,1 = = – 3,97 m/s2 Afgerond: a = – 4,0 m/s2 ∆t 2,79 Conclusie: Deze brommer voldoet (net) aan de wettelijke voorschriften. a=

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

96

56 Afstand houden 54 km/h = 15 m/s De remweg is gelijk. De afstand die de achterste auto aflegt gedurende de reactietijd mag dus niet groter zijn dan 10 m. Hij rijdt echter 15 m/s en legt in die ene seconde dus 15 m af. Conclusie: 10 m is niet voldoende. 57 Remmen met caravan 100 km/h = 27,8 m/s De snelheid van de auto met caravan is te berekenen met: 2 ⋅ Frem ⋅ s rem Nieuwe onbekende: Frem m De remkracht is even groot als bij de auto zonder caravan:

Frem ⋅ srem =

1 2

Frem ⋅ s rem = vb = −

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

1 2

2

⇒ vb = −

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

2

⇒ Frem =

− 21 ⋅ m ⋅ v b srem

2

=

− 21 ⋅ 1,0 ⋅ 10 3 ⋅ 27,8 2 60

2 ⋅ Frem ⋅ s rem 2 ⋅ −6,43 ⋅ 10 3 ⋅ 60 =− = 21,3 m/s = 76,7 km/h m 1,0 ⋅ 10 3 + 0,7 ⋅ 10 3

= – 6,43·103 N

Afgerond: vb = 77 km/h

58 Kreukelzone 40 km/h = 11,1 m/s De remweg van de proefpop is

0,52 = 1,5 keer zo lang geworden, dus wordt de remkracht 1,5 keer zo klein. 0,35

Je kunt ook eerst de remkracht berekenen: Korte kreukelzone: Frem ⋅ s rem =

1 2

Lange kreukelzone: Frem ⋅ s rem =

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b

1 2

Ook hieruit blijkt dat de remkracht

2

2

⋅ m ⋅ v e − 21 ⋅ m ⋅ v b 1,41⋅ 10 4 0,948 ⋅ 10 4

⇒ Frem = 2

⇒ Frem =

− 21 ⋅ m ⋅ v b

2

=

srem − 21 ⋅ m ⋅ v b srem

− 21 ⋅ 80 ⋅ 11,12

2

=

0,35 − 21 ⋅ 80 ⋅ 11,12 0,52

= – 1,41·104 N = – 0,948·104 N

= 1,5 keer zo klein is geworden.

59 Veiliger op weg De minimale remvertraging bedraagt voor auto’s: a = – 6,2 m/s2 (zie informatieboek). De minimale remweg bedraagt bij 50 km/h = 13,9 m/s: ∆s = vgem · ∆t v + v e vb = vgem = b (ve = 0) 2 2 ∆v ∆v v e − v b −v b a= = = ⇒ ∆t = (ve = 0) ∆t a a a 2

∆s = vgem · ∆t =

vb − vb v 13,9 2 = 15,6 m ⋅ =− b =− 2 a 2a 2 ⋅ −6,2

Afgerond: srem = 16 m

De minimale remweg bedraagt bij 60 km/h = 16,7 m/s: 2

vb 16,7 2 = 22,4 m =− 2a 2 ⋅ −6,2 De auto staat al stil na 22 m. ∆s = −

Conclusie: De informatie klopt niet. Blijkbaar is er uitgegaan van een veel kleinere remvertraging: ∆v a= ∆t s s 2s = v = s = vgem · t ⇒ t = v b v gem b 2

2

a=

v v ∆v v b 13,9 2 = 2s = v b ⋅ b = b = = 3,22 m/s2 ∆t 2s 2s 2 ⋅ 30 v b

Afgerond: srem = 22 m

Newton vwo deel 1a

Uitwerkingen Hoofdstuk 6 – Verkeersveiligheid

97

We gaan nu uit van deze veel kleinere remvertraging van 3,22 m/s2. Wat is dan de snelheid na 30 m bij een beginsnelheid van 60 km/h (= 16,7 m/s)? v + v e ∆v v b + v e v e − v b ⋅ = ⋅ s = vgem · t = b 2 a 2 a 1 ⋅ (v b + v e )(v e − v b ) s= 2a 2

2a ⋅ s = v e − v b 2

v e = 2a ⋅ s + v b

2 2

2 v e = 2a ⋅ s + v b = 2 ⋅ −3,22 ⋅ 30 + 16,7 2 = 9,20 m/s = 33 km/h

Dit komt aardig in de buurt van de 40 km/h van de folder, maar het klopt nog steeds niet helemaal. 60 Formule 1 Oriëntatie Gegeven: ve = 100 km/h = 27,7 m/s t = 2,0 s Pmotor = 800 pk = 800 · 735 = 5,88·105 W (= 588 kW) Gevraagd: Pm Planning/Uitvoering W Pm = t W = F ⋅s ∆v 27,8 F = m⋅a = m⋅ = 505 ⋅ = 7,02·103 N ∆t 2,0 27,8 ⋅ 2,0 = 27,8 m s = vgem · t = 2 W = F ⋅ s = 7,02·103 · 27,8 = 1,95·105 J W 1,95 ⋅ 10 5 = = 9,8·104 W t 2,0 Controle Het aantal significante cijfers klopt. De eenheid klopt. Het lijkt wat weinig vergeleken met de ‘800 pk onder de rechtervoet’. Daarom berekenen we het rendement: P 98 η = mech = = 0,17 = 17% Pmotor 588 Dit is inderdaad wat weinig. Wellicht is het rendement lager dan bij een gewone benzinemotor. Pm =

Andere manier: Pm = Fv · v = (m · a) · vgem = m ⋅

v v ∆v v e 27,8 27,8 ⋅ = m ⋅ e ⋅ e = 505 ⋅ ⋅ = 9,8·104 W ∆t 2 ∆t 2 2,0 2