Anreal Midi.03

Nama : Nur Hamidah (107017002896) Ihyani Toyibah (107017000770) Siti Khodroh T (107017001101)

TEOREMA 3.3.4 Jika barisan konvergen ke L

konvergen ke L maka setiap barisan bagian dari

juga

1. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y

juga konvergan ke 1 2. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y

juga konvergan ke 0 3. Misal:

Karena juga konvergan ke 3 4. Misal:

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 3, maka y

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 0, maka y

juga konvergan ke 0 5. Misal:

Karena

adalah barisan bagian dari x yang konvergen ke 1, maka y

juga konvergan ke 1

TEOREMA 3.4.4 Jika barisab bilangan real 1.

konvergen ke

konvergen, maka maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas 2.

konvergen ke 0 maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah 0 Batas atas 3.

konvergen ke 3 maka, Bukti:

terbatas

terbatas.

Batas bawah Batas atas 2 4.

konvergen ke

maka,

erbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas 5.

konvergen ke

maka,

terbatas

Bukti: Batas bawah Batas atas TEOREMA 3.4.7 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas diatas, maka

barisan tak turun dan

konvergen.

1. Misalkan

merupakan barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka Bukti:

batasnya Konvergen ke

.

2. Misalkan

merupakan barisan tak

turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya 2 Konvergen ke 2

3. Misalkan

merupakan barisan tak

turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya 3 Konvergen ke 3

4. Misalkan tak turun dan terbatas diatas, maka Bukti:

merupakan barisan .

batasnya Konvergen ke

5. Misalkan

merupakan barisan

tak turun dan terbatas diatas, maka

.

Bukti:

batasnya Konvergen ke

TEOREMA 3.4.8 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas diatas, maka 1. Misalkan

barisan tak turun dan tak

divergen ke + adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 2. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka Bukti :

divergen ke +

tak

barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 3. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

dan tak terbatas di atas,maka

tak naik

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 4. Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen + 5.

Misalkan

adalah barisan bilangan real,jika

naik dan tak terbatas di atas,maka

tak

divergen ke +

Bukti : barisan tak turun dan tak terbatas di atas,maka divergen +

TEOREMA 3.4.9 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas dibawah,maka 1.

konvergen. Barisan bilangan real tak naik

barisan tak naik dan

batasnya Konvergen ke 2.

Barisan bilangan real tak naik

batasnya Konvergen ke 3.

Barisan bilangan real tak naik

batasnya Konvergen ke 4.

Barisan bilangan real tak naik Konvergen ke 0

5.

Barisan bilangan real tak naik Konvergen ke 0

TEOREMA 3.4.10 Misalkan

adalah barisan bilangan real. Jika

terbatas dibawah, maka

divergen ke -

barisab tak naik dan

1.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 2.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 3.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke 4. di bawah,

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

Akan dibuktikan bahwa

divergen ke

5.

Barisan bilangan real tak naik dan tak terbatas

di bawah, Akan dibuktikan bahwa

divergen ke

TEOREMA 3.4.11 Misalkan adalah barisan bilangan real. Maka bagian yang monoton. 1.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

mempunyai barisan

2.

adalah barisan bagian yang tak naik dari 3.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

4.

adalah barisan bagian yang tak naik dari

5.

adalah barisan bagian yang tak naik dari